托勒密定理的三角函数证法.doc

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托勒密定理的三角函数证法

李明中国医科大学数学教研室110001

0定理的背景

古希腊数学家托勒密于公元150年在他的名著《数学汇编》里给出并证明了一条关于圆内接四边形的引理，现称为托勒密定理（参见文献1），其内容是：

圆内接四边形两组对边之积的和等于两条对角线之积，即（如图1）.

对于托勒密定理的证明，数学学者们已经给出了多种方法，

但大多数的方法都包含着一定难度的“引辅助线”技巧，

如比较常用的“构造相似三角形”方法就是这样（参见文献2）.

下文将借助三角函数这个强有力的数学工具来直接证明该定理，

从而巧妙地绕过“引辅助线”等构造性障碍.

1定理的分析

在图1中观察欲证等式两端的六条线段，它们显然都是某个圆内接三角形的边.所以，若设外接圆的直径为，并设边所对应的圆周角依次为，则由正弦定理得.

逆向思维，欲证圆内接四边形边的恒等式，

只需证三角恒等式，

即证.

2定理的证明

由图1，显然，于是

两端乘以外接圆直径的平方，并结合正弦定理得

，定理证毕.

参考文献

1[美]莫里斯·克莱因著，张理京、张锦炎、江泽涵译.古今数学思想[M].上海：

上海科学技术出版社，2002

2苑建广.托勒密定理在解题中的应用[J].中学数学教学参考（下半月初中）,2007,1

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