奥数第2讲工程问题.docx

1、奥数第2讲工程问题第二讲 工程问题（一）本讲知识介绍：工程问题是特殊的分数应用题，它是从分率的角度来研究工作总量，工作时间以及工作效率三者之间关系的问题。其特点是：将工作总量看成单位1，用分率来表示工作效率。例如：一条路10天修完，这里把这条路的长度看成单位1，根据分数的意义，每天修了这条路的1/10（十分之一）就是用分率表示的工作效率。工作总量、工作效率、工作时间三者之间的关系（公式）是：工作效率工作时间=工作总量工作总量工作效率=工作时间工作总量工作时间=工作效率通俗地理解：工作总量：需要完成的工作任务工作效率：完成工作任务的快慢速度工作时间：完成工作任务需要的时间培养能力：理解能力 分析

2、能力 综合能力 推算能力 以及转化能力。训练思维：假设思维 比较思维 对应思维 恒等思想。教会学生方法：1、只要看到完成的天数，马上就要想到工作效率为1天数=1/天数（即“天数分之一”）。2、只要看到“一项工程”，马上想到把“这项工程”看成单位1。3、合作的天数与各自做的天数可以灵活转化，如甲、乙合作了8天指的在相同时间内，甲乙各自都做了8天，在时间上是同时进行的；再如甲工作了10天，乙工作了12天，可以转化为甲、乙合作了10天，乙再单独做了2天。4、再根据公式 工作总量工作效率=工作时间 来解题。分数应用题里面有一个非常重要的公式对应量对应分率=单位1举个例子现在有一条公路要修，甲工程队5天

3、可以修完。又知道甲工程队星期一修了600米，请问这条公路全长多少米？分析：首先把这条公路全长看成单位1。5天修完，那么每天就修1/5，这个1/5是每天修的，是用分率表示的工作效率，而题目中还告诉我们甲工程队每天（星期一就是一天的时间）可以修600米，这个600米的工作效率是一个具体的数量，其实1/5和600米都是讲的甲工作队的工作效率，是甲工程队的工作效率的两种不同表示方法，一个是分率一个是量。两者是对应的关系。在讲对应关系时，我们武汉童老师奥数辅导中心一般是这样介绍的六年级一班的班长是小明，那么有一天，大家在课间休息的时候，班主任跑到教室门口，叫 “班长过来一下”，或者是“小明过来一下。”大

4、家可能都有这样的经验，当听到“班长过来一下”时大家都会想到老师找小明干什么？当听到“小明过来一下”时，大家都会想到老师找班长干什么？这里，班长和小明就是一个对应关系。根据 对应量对应分率=单位16001/5=3000（米）这个3000米就是单位1这条公路的长度。名题解析例题1：一条公路，甲乙两个工程队12天可以修完，甲乙两个工程队合修8天后，剩下的由乙队独修10天才能修完，求甲乙两队独修这条公路各需要多少天？分析： 把一条公路看成单位1，甲乙工作效率的和为112=1/12 甲乙合修8天完成了1/128=2/3 还剩下1-2/3=1/3 剩下的1/3乙独修了10天完成，乙的工作效率为1/310=

5、1/30 甲的工作效率就为1/12-1/30=1/20 所以甲单独完成需要多少天？11/20=20（天）乙单独完成需要多少天？ 11/30=30（天）例题2：一件工程，甲乙合作需要10天完成，乙丙合作需要12天完成，甲丙合作需要15天完成。现在由甲乙丙三人合作需要多少天完成？分析：把一件工程看成单位1，那么甲乙工作效率的和为110=1/10 乙丙的工作效率的和为112=1/12 甲丙的工作效率的和为115=1/15也就是甲的工作效率+乙的工作效率=1/10乙的工作效率+丙的工作效率=1/12甲的工作效率+丙的工作效率=1/15三个式子一相加得到：（甲工作效率+乙工作效率+丙工作效率）2=1/1

6、0+1/12+1/15所以得到甲乙丙三人工作效率的和为（1/10+1/12+1/15）2=1/8所以甲乙丙三人合作完成的时间就是11/8=8（天）例题3：一项工程，甲队独做需要30天，乙队独做需要20天。现在由甲乙两队合作，甲队在施工过程中因故离开，使得这次工程从开工到结束一共花了16天时间。求甲队离开了几天？分析：把这项工程看成单位1，乙队没有离开，那么乙队就工作了16天，乙队的工作效率是120=1/20 乙队工作了16天完成了1/2016=4/5 那么甲一共完成了多少工作量呢？1-4/5=1/5 又知道甲队的工作效率为130=1/30 所以甲队完成1/5用了多少天呢？1/51/30=6（天

7、） 所以甲队离开了16-6=10（天）时间。例题4：一项工程，甲、乙合作5小时完成。乙、丙合作4小时完成。现在乙先做6小时后离开，甲、丙接着合作2小时正好做完。那么甲单独做需要多少小时？分析：把一项工程看成单位1，甲乙的工作效率的和为1/5,乙丙的工作效率的和为1/4。现在乙先做6小时后离开，甲丙接着合作2小时正好做完。可以转化为甲乙合作2小时，乙丙合作2小时，乙再单独做2小时恰好做完。甲乙合作2小时完成1/52=2/5乙丙合作2小时完成1/42=1/2可见乙单独做2小时完成的工作量为1-1/2-2/5=1/10所以乙的工作效率为1/102=1/20又知道甲乙的工作效率的和为1/5，那么甲的工

8、作效率为1/5-1/20=3/20那么甲单独完成一项工程所需要的时间为13/20=6又2/3（小时）例题5：师徒二人合作10天可以完成一批零件。现在师傅先做1天后离开，徒弟接着做5天，这时还剩下这批零件的23/30。已知土地一共比师傅多加工96个。求这批零件有多少个？分析：把这批零件看成单位1,师徒二人的工作效率的和为1/10。现在“师傅先做1天后离开，徒弟再接着做5天”可以转化为“师徒二人合作1天后，徒弟再接着单独做4天”完成了这批零件的1-23/30=7/30 师徒二人合作1天完成了1/10 可见徒弟单独做4天一共完成了这批零件的7/30-1/10=2/15 徒弟每天完成2/154=1/3

9、0 师傅的工作效率为1/10-1/30=1/15 徒弟一共做了5天，一共完成了1/305=1/6 师傅1天1共完成了1/151=1/15 所以徒弟比师傅一共多完成了这批零件的1/6-1/15=1/10.徒弟比师傅多完成的分率对应徒弟比师傅多完成的量96个零件。利用 对应量对应分率=单位1961/10=960（个）.单位1即这批零件的个数总数。例题6：甲、乙、丙三人合修一条公路，甲、乙6天合修1/3；乙、丙2天合修余下的1/4，剩下的再由甲、乙、丙三人合修5天完成。现在领工资2700元。依工作量分配，甲、乙、丙应该各得多少元工资？分析：把一条路的全长看成单位1,甲乙6天合修了1/3 乙丙2天合修

10、了余下的即（1-1/3）=2/3的1/4即2/3 1/4=1/6，那么一共修了1/3+1/6=1/2 所以甲乙丙三人合修5天一共合修了1-1/2=1/2.，所以甲乙丙三人的工作效率的和为1/2 5=1/10 ，甲乙每天合修1/36=1/18即甲乙的工作效率的和，乙丙每天合修1/62=1/12即乙丙的工作效率的和，又知道甲乙的工作效率的和为1/18 所以丙的工作效率为1/10-1/18=2/45，又知道乙丙的工作效率的和为1/12，所以甲的工作效率为1/10-1/12=1/60，又知道三人工作效率的和为1/10，所以乙的工作效率为1/10-1/12-2/45=7/180 ，修好这条路前后甲一共工

11、作了6+5=11（天）乙一共工作了6+2+5=13（天） 丙一共工作了2+5=7（天）那么甲一共完成了1/6011=11/60的工作量 乙一共完成了7/18013=91/180的做量 丙一共完成了2/457=14/45的工作量修了这条路的几分之几就应该得到几分之几的工资，否则就会不公平。所以甲应该得到工资的11/60即270011/60=495（元）乙应该得到工资的91/180即270091/180=1365（元）丙应该得到工资的14/45即270014/45=840（元）例题7：一项工程由甲、乙两队承包2又2/9天可以完成，需要支付1800元；由乙、丙两队承包3又1/13天可以完成，需要支付

12、1520元；由甲、丙两队承包2又2/3天可以完成，需要支付1680元。现在要在保证7天内完工的前提下，选择哪一个工程队单独承包花费最少？分析：题目求的是在保证7天内完工的前提下，选择哪个工程队单独承包花费最少。第一 要在时间上满足等于7天或者少于7天。第二 再在时间满足的基础上考虑哪个的费用最少要知道三个队各自单独完成这项工程所用的时间，那么就需要知道三个队各自的工作效率。知道了各自的工作效率，再求出所对应的各自的工作时间，就可以排除其中的一个或者是两个，显然这里是排除一个。再找个时间的基础上，我们再求出三个队各自每天需要支付的工资是多少？再求出在满足时间前提下各自所需要的总的花费各是多少，谁

13、越少就选择谁？把一项工程看成单位1先求出各自的工作效率甲乙的工作效率的和为12又2/9=9/20乙丙的工作效率的和为13又1/13=13/40甲丙的工作效率的和为12又2/3=3/8甲乙丙三人工作效率的和为=（9/20+13/40+3/8）2=23/40甲的工作效率为23/40-13/40=1/4乙的工作效率为23/40-3/8=1/5丙的工作效率为23/40-9/20=1/8可见甲乙丙三人单独完成这项工程所需要的时间分别是11/4=4（天） 11/5=5（天） 11/8=8（天）所以丙的时间大于7天，被排除了。时间少于7天的内，只有甲乙两个符合。现在再考虑花费问题。甲乙1天一共花费18002

14、又2/9=810（元）乙丙1天一共花费15203又1/13=494（元）甲丙1天一共花费16802又2/3=630（元）那么甲乙丙三人一天一共花费（810+494+630）2=19342=967（元）这里只要求甲和乙就行，甲一天花费967-494=473（元）乙1天花费967-630=337（元）再综合考虑甲乙两人单独完成的时间内各自共花费多少元？甲每天花费473元，需要4天一共花费4734=1892（元）乙每天花费337元，需要5天一共花费3375=1685（元）所以乙工程队花费少，而且还能在规定时间内完成，所以选择乙工程队。例题8：甲乙丙三人合做一项工作，计划按照甲乙丙的顺序每人一天轮流去

15、做，正好整数天可以完成，并且结束工作的是乙；如果按乙丙甲的顺序每人一天轮流去做，就比计划多用1/2天；如果按照丙甲乙的顺序每人一天轮流去做，就比计划多用1/3天。已知甲单独完成这项工作需要9天，求三人一起合做需要多少天完成？分析：把这项工作看成单位1。计划情况、第一种假设情况 第二种假设情况分别如下图甲乙丙 甲乙丙 甲乙丙 甲乙丙 甲乙丙.甲乙丙 甲乙丙 甲、乙乙丙甲 乙丙甲 乙丙甲 乙丙甲 乙丙甲.乙丙甲 乙丙甲 乙、丙、甲的1/2天丙甲乙 丙甲乙 丙甲乙 丙甲乙 丙甲乙.丙甲乙 丙甲乙 丙、甲、乙的1/3天不管是三种里面的那一种，每个周期都是3天，每个周期都包括甲乙丙三人各一天的工作，所以每个周期完成的工作量是相等的。所以计划情况中竖线左边有多少个甲乙丙的周期，第二种第三种情况就会对应多少个“乙丙甲“和多少个“丙甲乙”。所以竖线右边的工作量也是一样多的。可见甲1天+乙1天=乙1天+丙1天+甲的1/2天所以得到甲的1/2天=丙