奥数第2讲工程问题.docx

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奥数第2讲工程问题

第二讲 工程问题

（一）

本讲知识介绍：

工程问题是特殊的分数应用题，它是从分率的角度来研究工作总量，工作时间以及工作效率三者之间关系的问题。

其特点是：

将工作总量看成单位1，用分率来表示工作效率。

例如：

一条路10天修完，这里把这条路的长度看成单位1，根据分数的意义，每天修了这条路的1/10（十分之一）就是用分率表示的工作效率。

工作总量、工作效率、工作时间三者之间的关系（公式）是：

工作效率×工作时间=工作总量

工作总量÷工作效率=工作时间

工作总量÷工作时间=工作效率

通俗地理解：

工作总量：

需要完成的工作任务

工作效率：

完成工作任务的快慢速度

工作时间：

完成工作任务需要的时间

培养能力：

理解能力分析能力综合能力推算能力以及转化能力。

训练思维：

假设思维比较思维对应思维 恒等思想。

教会学生方法：

1、只要看到完成的天数，马上就要想到工作效率为1÷天数=1/天数（即“天数分之一”）。

2、只要看到“一项工程”，马上想到把“这项工程”看成单位1。

3、合作的天数与各自做的天数可以灵活转化，如甲、乙合作了8天指的在相同时间内，甲乙各自都做了8天，在时间上是同时进行的；再如甲工作了10天，乙工作了12天，可以转化为甲、乙合作了10天，乙再单独做了2天。

4、再根据公式 工作总量÷工作效率=工作时间来解题。

分数应用题里面有一个非常重要的公式

对应量÷对应分率=单位1

举个例子

现在有一条公路要修，甲工程队5天可以修完。

又知道甲工程队星期一修了600米，请问这条公路全长多少米？

分析：

首先把这条公路全长看成单位1。

5天修完，那么每天就修1/5，这个1/5是每天修的，是用分率表示的工作效率，而题目中还告诉我们甲工程队每天（星期一就是一天的时间）可以修600米，这个600米的工作效率是一个具体的数量，其实1/5和600米都是讲的甲工作队的工作效率，是甲工程队的工作效率的两种不同表示方法，一个是分率一个是量。

两者是对应的关系。

在讲对应关系时，我们武汉童老师奥数辅导中心一般是这样介绍的

六年级一班的班长是小明，那么有一天，大家在课间休息的时候，班主任跑到教室门口，叫“班长过来一下”，或者是“小明过来一下。

”

大家可能都有这样的经验，当听到“班长过来一下”时大家都会想到老师找小明干什么？

当听到“小明过来一下”时，大家都会想到老师找班长干什么？

这里，班长和小明就是一个对应关系。

根据 对应量÷对应分率=单位1

 600÷1/5=3000（米）这个3000米就是单位1这条公路的长度。

名题解析

例题1：

一条公路，甲乙两个工程队12天可以修完，甲乙两个工程队合修8天后，剩下的由乙队独修10天才能修完，求甲乙两队独修这条公路各需要多少天？

分析：

把一条公路看成单位1，甲乙工作效率的和为1÷12=1/12 甲乙合修8天完成了1/12×8=2/3  还剩下1-2/3=1/3  剩下的1/3乙独修了10天完成，乙的工作效率为1/3÷10=1/30  甲的工作效率就为1/12-1/30=1/20   所以甲单独完成需要多少天？

1÷1/20=20（天）乙单独完成需要多少天？

 1÷1/30=30（天）

例题2：

一件工程，甲乙合作需要10天完成，乙丙合作需要12天完成，甲丙合作需要15天完成。

现在由甲乙丙三人合作需要多少天完成？

分析：

把一件工程看成单位1，那么甲乙工作效率的和为1÷10=1/10 乙丙的工作效率的和为1÷12=1/12  甲丙的工作效率的和为1÷15=1/15 

也就是甲的工作效率+乙的工作效率=1/10

乙的工作效率+丙的工作效率=1/12

甲的工作效率+丙的工作效率=1/15

三个式子一相加得到：

（甲工作效率+乙工作效率+丙工作效率）×2=1/10+1/12+1/15

所以得到甲乙丙三人工作效率的和为（1/10+1/12+1/15）÷2=1/8

所以甲乙丙三人合作完成的时间就是1÷1/8=8（天）

例题3：

一项工程，甲队独做需要30天，乙队独做需要20天。

现在由甲乙两队合作，甲队在施工过程中因故离开，使得这次工程从开工到结束一共花了16天时间。

求甲队离开了几天？

分析：

把这项工程看成单位1，乙队没有离开，那么乙队就工作了16天，乙队的工作效率是1÷20=1/20 乙队工作了16天完成了1/20×16=4/5  那么甲一共完成了多少工作量呢？

1-4/5=1/5  又知道甲队的工作效率为1÷30=1/30  所以甲队完成1/5用了多少天呢？

1/5÷1/30=6（天）所以甲队离开了16-6=10（天）时间。

例题4：

一项工程，甲、乙合作5小时完成。

乙、丙合作4小时完成。

现在乙先做6小时后离开，甲、丙接着合作2小时正好做完。

那么甲单独做需要多少小时？

分析：

把一项工程看成单位1，甲乙的工作效率的和为1/5,乙丙的工作效率的和为1/4。

现在乙先做6小时后离开，甲丙接着合作2小时正好做完。

可以转化为甲乙合作2小时，乙丙合作2小时，乙再单独做2小时恰好做完。

甲乙合作2小时完成1/5×2=2/5

乙丙合作2小时完成1/4×2=1/2

可见乙单独做2小时完成的工作量为1-1/2-2/5=1/10

所以乙的工作效率为1/10÷2=1/20

又知道甲乙的工作效率的和为1/5，那么甲的工作效率为1/5-1/20=3/20

那么甲单独完成一项工程所需要的时间为1÷3/20=6又2/3（小时）

例题5：

师徒二人合作10天可以完成一批零件。

现在师傅先做1天后离开，徒弟接着做5天，这时还剩下这批零件的23/30。

已知土地一共比师傅多加工96个。

求这批零件有多少个？

分析：

把这批零件看成单位1,师徒二人的工作效率的和为1/10。

现在“师傅先做1天后离开，徒弟再接着做5天”可以转化为“师徒二人合作1天后，徒弟再接着单独做4天”完成了这批零件的1-23/30=7/30  师徒二人合作1天完成了1/10 可见徒弟单独做4天一共完成了这批零件的7/30-1/10=2/15  徒弟每天完成2/15÷4=1/30师傅的工作效率为1/10-1/30=1/15  徒弟一共做了5天，一共完成了1/30×5=1/6 师傅1天1共完成了1/15×1=1/15 所以徒弟比师傅一共多完成了这批零件的1/6-1/15=1/10…….徒弟比师傅多完成的分率对应徒弟比师傅多完成的量96个零件。

利用对应量÷对应分率=单位1

96÷1/10=960（个）…...单位1即这批零件的个数总数。

例题6：

甲、乙、丙三人合修一条公路，甲、乙6天合修1/3；乙、丙2天合修余下的1/4，剩下的再由甲、乙、丙三人合修5天完成。

现在领工资2700元。

依工作量分配，甲、乙、丙应该各得多少元工资？

分析：

把一条路的全长看成单位1,

甲乙6天合修了1/3  乙丙2天合修了余下的即（1-1/3）=2/3的1/4即2/3×1/4=1/6，

那么一共修了1/3+1/6=1/2 所以甲乙丙三人合修5天一共合修了1-1/2=1/2.，所以甲乙丙三人的工作效率的和为1/2÷5=1/10，

甲乙每天合修1/3÷6=1/18即甲乙的工作效率的和，

乙丙每天合修1/6÷2=1/12即乙丙的工作效率的和，

又知道甲乙的工作效率的和为1/18 所以丙的工作效率为1/10-1/18=2/45， 

又知道乙丙的工作效率的和为1/12，所以甲的工作效率为1/10-1/12=1/60，

又知道三人工作效率的和为1/10，

所以乙的工作效率为1/10-1/12-2/45=7/180，

修好这条路前后

甲一共工作了6+5=11（天）乙一共工作了6+2+5=13（天） 丙一共工作了2+5=7（天）

那么甲一共完成了1/60×11=11/60的工作量 乙一共完成了7/180×13=91/180的做量 丙一共完成了2/45×7=14/45的工作量

修了这条路的几分之几就应该得到几分之几的工资，否则就会不公平。

所以甲应该得到工资的11/60即2700×11/60=495（元）

乙应该得到工资的91/180即2700×91/180=1365（元）

丙应该得到工资的14/45即2700×14/45=840（元）

例题7：

一项工程由甲、乙两队承包2又2/9天可以完成，需要支付1800元；由乙、丙两队承包3又1/13天可以完成，需要支付1520元；由甲、丙两队承包2又2/3天可以完成，需要支付1680元。

现在要在保证7天内完工的前提下，选择哪一个工程队单独承包花费最少？

分析：

题目求的是在保证7天内完工的前提下，选择哪个工程队单独承包花费最少。

第一．  要在时间上满足等于7天或者少于7天。

第二．  再在时间满足的基础上考虑哪个的费用最少

要知道三个队各自单独完成这项工程所用的时间，那么就需要知道三个队各自的工作效率。

知道了各自的工作效率，再求出所对应的各自的工作时间，就可以排除其中的一个或者是两个，显然这里是排除一个。

再找个时间的基础上，我们再求出三个队各自每天需要支付的工资是多少？

再求出在满足时间前提下各自所需要的总的花费各是多少，谁越少就选择谁？

把一项工程看成单位1

先求出各自的工作效率

甲乙的工作效率的和为1÷2又2/9=9/20

乙丙的工作效率的和为1÷3又1/13=13/40

甲丙的工作效率的和为1÷2又2/3=3/8

甲乙丙三人工作效率的和为=（9/20+13/40+3/8）÷2=23/40

甲的工作效率为23/40-13/40=1/4

乙的工作效率为23/40-3/8=1/5

丙的工作效率为23/40-9/20=1/8

可见甲乙丙三人单独完成这项工程所需要的时间分别是

1÷1/4=4（天）1÷1/5=5（天）1÷1/8=8（天）

所以丙的时间大于7天，被排除了。

时间少于7天的内，只有甲乙两个符合。

现在再考虑花费问题。

甲乙1天一共花费1800÷2又2/9=810（元）

乙丙1天一共花费1520÷3又1/13=494（元）

甲丙1天一共花费1680÷2又2/3=630（元）

那么甲乙丙三人一天一共花费（810+494+630）÷2=1934÷2=967（元）

这里只要求甲和乙就行，甲一天花费967-494=473（元）

乙1天花费967-630=337（元）

再综合考虑甲乙两人单独完成的时间内各自共花费多少元？

甲每天花费473元，需要4天一共花费473×4=1892（元）

乙每天花费337元，需要5天一共花费337×5=1685（元）

所以乙工程队花费少，而且还能在规定时间内完成，所以选择乙工程队。

例题8：

甲乙丙三人合做一项工作，计划按照甲乙丙的顺序每人一天轮流去做，正好整数天可以完成，并且结束工作的是乙；如果按乙丙甲的顺序每人一天轮流去做，就比计划多用1/2天；如果按照丙甲乙的顺序每人一天轮流去做，就比计划多用1/3天。

已知甲单独完成这项工作需要9天，求三人一起合做需要多少天完成？

分析：

把这项工作看成单位1。

计划情况、第一种假设情况 第二种假设情况分别如下图

甲乙丙甲乙丙 甲乙丙 甲乙丙 甲乙丙……..甲乙丙  甲乙丙 ∣甲、乙

乙丙甲乙丙甲 乙丙甲 乙丙甲 乙丙甲……..乙丙甲  乙丙甲 ∣乙、丙、甲的1/2天

丙甲乙丙甲乙 丙甲乙 丙甲乙 丙甲乙……..丙甲乙  丙甲乙 ∣丙、甲、乙的1/3天

不管是三种里面的那一种，每个周期都是3天，每个周期都包括甲乙丙三人各一天的工作，所以每个周期完成的工作量是相等的。

所以计划情况中竖线左边有多少个甲乙丙的周期，第二种第三种情况就会对应多少个“乙丙甲“和多少个“丙甲乙”。

所以竖线右边的工作量也是一样多的。

可见甲1天+乙1天=乙1天+丙1天+甲的1/2天

所以得到甲的1/2天=丙