第三章行列式PPT格式课件下载.ppt

1、,n 阶行列式的定义（P52定义）,按第一行展开,关于矩阵和行列式的区别，有几点需要注意:,行列式是一个算式，结果是一个数值，而矩阵是一个数表；记法不一样，行列式行数和列数相等，而矩阵未必。,从n 阶行列式的定义我们可得到（定理）：,例.计算4阶行列式（p53）,几个特殊行列式的计算.,一、对角行列式,二,副对角行列式,三,两类特殊的三角形行列式,第二节.行列式的性质,性质1 行列式与它的转置行列式相等.,行列式 称为行列式 的转置行列式.,记,证明,思路：证得n=2时，;假设 n=k-1（k 3）时，结论成立；借助代数余子式证明 n=k 时结论也 成立.,性质2*互换行列式的两行（列）,行列

2、式变号.,证明,设行列式,说明 行列式中行与列具有同等的地位,因此行列式的性质凡是对行成立的对列也同样成立.,由数学归纳法证明，详见P57-58.,例如,推论 如果行列式有两行（列）完全相同，则此行列式为零.,证明,互换相同的两行，有,性质3*行列式的某一行（列）中所有的元素都乘以同一数，等于用数 乘此行列式.即,推论行列式的某一行（列）中所有元素的公因子可以提到行列式符号的外面,性质行列式中如果有两行（列）元素成比例，则此行列式为零,证明,性质5若行列式的某一列（行）的元素都是两数之和.,则D等于下列两个行列式之和：,例如,性质*把行列式的某一列（行）的各元素乘以同一数然后加到另一列（行）对

3、应的元素上去，行列式不变,例如,性质7行列式的某一行（或列）的各元素乘与另一行（或列）对应元素的代数余子式乘积之和等于零.,证明.作行列式,第i 行,第j 行,将 按第 行展开,行列式的展开与计算,定理 行列式等于它的任一行（列）的各元素与其对应的的代数余子式乘积之和。,小结,推论 行列式中某一行（或列）的元素与另一行（或列）对应元素的代数余子式乘积之和为零。,行列式按行展开得D，串行展开得零。,思考题，与例1（P.60）有何不同？,思考题解答,解,例.设行列式,求（1）.（2）.,考虑第二行与第四行元素,利用性质7解答（1）;关于（2）,我们可考虑如下等式,证明,性质8.若 为n 阶方阵，则

4、性质9.见P.62,证明,其中 s 为交换行的次数.,性质10.若n 阶分块矩阵其中 是方阵，则有,性质11.若 均为 n 阶方阵，则证明：（思路）作如下2n 阶辅助行列式一方面有；另一方面：采用若干次列初等变换，目的是把 右下角的块矩阵 化为同阶的零矩阵。与此同时，右上角的零矩阵 变为 矩阵,将第i 行与第n+i行依次作交换（i=1,2,n）,综合以上两方面的内容：结论成立,第三节 行列式的计算,一、化三角行列式法,例 1,例 2 计算n 阶行列式,解：,二、降阶法,例.计算,解：,例.计算n+1 阶行列式,行列式的计算方法：一般是先利用性质6*，将行列式中某一行（或列）的元素尽可能地化为零

5、，最好是只留下一个元素不为零，然后按该（或列）展开，使行列式降阶，最终化为二阶行列式，而得解。,小结,三、数学归纳法,例.5 证明n 阶范德蒙德（Vandermonde）行列式,其中 表示所有同类因子的乘积,50,证明：,用数学归纳法,（1）当n=2时,结论成立。,（2）设n1阶范德蒙德行列式成立，往证n阶也成立。,51,n-1阶范德蒙德行列式,四、递推法,例.6 计算2n阶行列式,解：,分别按最后一列 和第一列展开,课后习题3-3,3.计算行列式,解：,4.证明,证明：构造如下行列式,上式左边 的系数为原行列式乘以（-1）；右边 的系数为,5.证明,证明：从最后一列开始，每一列都乘以x 加到

6、前一列，则第一列除最后一个元素为 外，其余元素全为零，然后，再按这一列展开，得到,若n阶矩阵A的行列式 则称A为非奇异矩阵.反之,若 则称A是奇异矩阵.,一.行列式与矩阵可逆,定义1,定理1,若方阵A可逆，则A为非奇异矩阵.,证,第四节 行列式的应用,的行列式 中元素 的代数余子式 所构成的方阵,A的伴随矩阵,定义2,若n阶矩阵A的行列式 则称A为非奇异矩阵.反之,若 则称A是奇异矩阵.,一.行列式与矩阵可逆,第四节 行列式的应用,定义1,例1 求下列三阶矩阵A的伴随矩阵,解,定理1,证明：必要性,充分性,例2 求例1中矩阵A的逆矩阵.,解,推论 设A是n阶方阵,如果存在n阶方阵B,使AB=E

7、（或BA=E）,则,证,关于矩阵 A 的逆矩阵和伴随矩阵行列式的性质：,（1）,（2）,例,求方阵,的逆矩阵,解,求得,存在,例3 求 的逆矩阵，其中,解,课堂练习p73.求矩阵 的逆矩阵（）,总结：,定义1 在 mn 矩阵 A 中任取 k 行、k 列（k m,k n），位于这些行列交叉处的 k2 个元素，不改变它们在 A 中所处的位置次序而得到的 k 阶行列式，称为矩阵 A 的 k 阶子式。,mn 矩阵A 的 k 阶子式共有CmkCnk个。,定义2 设在矩阵A 中有一个不等于0的 r 阶子式 D，且所有 r+1 阶子式（如果有的话）全等于0，那么 D 称为矩阵A 的最高阶非零子式，数 r 称

8、为矩阵 A 的秩，记作R（A）=r。规定零矩阵的秩等于 0。,二、行列式与 矩阵的秩,（3）对于任何mn 矩阵A，都有唯一确定的秩，且R（A）min（m,n）；（4）若矩阵A 中有一个r1 阶子式不为零，则 R（A）r1；若矩阵A 的所有r1 1阶子式全等于零，则R（A）r1。,（2）A 的转置矩阵AT 的秩R（AT）=R（A）；,总结如下：,（1）矩阵A 的秩 R（A）就是 A 中不等于 0 的子式的最高阶数；,（5）对于 n 阶可逆矩阵A，有,|A|0 R（A）=n A 的标准形为 n 阶单位阵E,可逆阵又称为满秩矩阵。奇异阵又称为降秩矩阵。,例1,求矩阵A 和B 的秩，其中,解,在A 中

9、，容易看出左上角一个2阶子式,A 的 3 阶子式只有一个|A|，经计算可知|A|=0，因此R（A）=2。,B是一个阶梯形矩阵，其非零行有 3 行，即知B 的所有4 阶子式全为零，而 3 阶子式,因此R（B）=3。,上页,下页,返回,从本例可知，由矩阵A 的秩的定义求秩，关键在于找 A 中不等于 0 的子式的最高阶数。一般当行数与列数都较高时，按定义求秩是很麻烦的。对于行阶梯形矩阵，显然它的秩就等于非零行的行数。因此自然想到用初等变换把矩阵化为行阶梯形矩阵，但两个等价的矩阵的秩是否相等呢？,上页,下页,返回,经一次初等行变换矩阵的秩不变，即可知经有限,次初等行变换矩阵的秩也不变。,定理1 若AB

10、，则 R（A）=R（B）。,定理1说明：矩阵经初等变换后其秩不变，因而把,矩阵用初等变换化为行阶梯形矩阵，行阶梯形矩阵中非,零行的行数即为所求矩阵的秩。这是求矩阵秩的一种常,用方法。,证明:略,注1,注2,例3,求矩阵A的秩，并,求A 的一个最高阶非零子式。,解,先求A 的秩，为此对A 作初等行变换变成行,阶梯形矩阵：,易见R（B）=R（A）=3。,再求A 的一个最高阶非零子式。,因R（A）=3，知A 的最高阶非零子式为 3 阶。,A 的 3 阶子式共有,要从 40 个子式中,找出一个非零子式，是比较麻烦的。,根据A 的行阶梯,形矩阵,的前三行构成的子式,因此，这个式子便是A 的一个最高阶非零

11、子式。,与矩阵 对应的A的,注：A 的最高阶非零子式不一定唯一。事实上，,从上例中还可以找到很多非零的 3 阶子式。,由矩阵的秩的定义，可以进一步得到如下结论：,设矩阵A 中有一个 r 阶子式,而所有包含,r+1 阶子式（如果有的话）全为 0，则A 中所有r+1,阶子式全为 0，从而R（A）=r。,课堂练习.,求矩阵A 的秩，并求A 的一个最高阶非零子式。,解,先求A 的秩，对A 作初等行变换化为行阶梯形：,故R（A）=3。,因R（A）=3，知A 的最高阶非零子式为 3 阶，,由A 的行阶梯形矩阵可,知，在矩阵,中可,找到 3 阶非零子式。,不妨在,中找，记B=,则B 的行阶梯形矩阵为,可见R

12、（B）=3，故B 中必有 3 阶非零子式，而B,的 3 阶子式有 4 个，,易计算B 的前三行构成的子式,因此这个子式便是A 的一个最高阶子式。,克莱姆法则,下面以行列式为工具,研究含有n个未知量、n个方程的n元线性方程组的问题.定理（克莱姆法则）如果n元线性方程组,则方程组有唯一解,的系数行列式,定理,其中Dj（j=1,2,n）是把系数行列式D中第j列的元素换成方程组的常数项b1,b2,bn所构成的n级行列式,即,定理的结论有两层含义：方程组（1）有解；解唯一且可由式（2）给出.,证 首先证明方程组（1）有解.事实上,将,代入第i个方程的左端，再将Dj按第j列展开,得,即式（2）给出的是方程

13、组（1）的解.,下面证明解唯一.设xj=cj（j=1,2,n）为方程组（1）的任意一个解，则,以D的第j列元素的代数余子式 A1j,A2j,Anj依次乘以上各等式，相加得,从而 Dcj=Dj 由于D0,因此,即方程组的解是唯一的.,推论1 如果线性方程组（1）无解或有两个不同解 则D=0 推论2 如果齐次线性方程组,的系数行列式D0，则方程组只有零解;而若方程组有非零解，则D=0.可以证明:系数行列式D=0，是方程组（3）有非零解的充分必要条件.,例3 用克莱姆法则解方程组,解,且,注意 克莱姆法则有两个条件：一是方程组的未知数的个数等于方程的个数，二是系数行列式不等于零,例四.当 k 取何值时，方程组 有唯一解、无解、无穷多解？在有解的情况下，求出方程组的全部解.,解:计算系数行列式,根据 Gram 法则，当 时，方程有唯一解，这时解为,