第三章行列式PPT格式课件下载.ppt

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,n阶行列式的定义（P52定义）,按第一行展开,关于矩阵和行列式的区别，有几点需要注意:

行列式是一个算式，结果是一个数值，而矩阵是一个数表；

记法不一样，行列式行数和列数相等，而矩阵未必。

从n阶行列式的定义我们可得到（定理）：

例.计算4阶行列式（p53）,几个特殊行列式的计算.,一、对角行列式,二,副对角行列式,三,两类特殊的三角形行列式,第二节.行列式的性质,性质1行列式与它的转置行列式相等.,行列式称为行列式的转置行列式.,记,证明,思路：

证得n=2时，;

假设n=k-1（k3）时，结论成立；

借助代数余子式证明n=k时结论也成立.,性质2*互换行列式的两行（列）,行列式变号.,证明,设行列式,说明行列式中行与列具有同等的地位,因此行列式的性质凡是对行成立的对列也同样成立.,由数学归纳法证明，详见P57-58.,例如,推论如果行列式有两行（列）完全相同，则此行列式为零.,证明,互换相同的两行，有,性质3*行列式的某一行（列）中所有的元素都乘以同一数，等于用数乘此行列式.即,推论行列式的某一行（列）中所有元素的公因子可以提到行列式符号的外面,性质行列式中如果有两行（列）元素成比例，则此行列式为零,证明,性质5若行列式的某一列（行）的元素都是两数之和.,则D等于下列两个行列式之和：

例如,性质*把行列式的某一列（行）的各元素乘以同一数然后加到另一列（行）对应的元素上去，行列式不变,例如,性质7行列式的某一行（或列）的各元素乘与另一行（或列）对应元素的代数余子式乘积之和等于零.,证明.作行列式,第i行,第j行,将按第行展开,行列式的展开与计算,定理行列式等于它的任一行（列）的各元素与其对应的的代数余子式乘积之和。

小结,推论行列式中某一行（或列）的元素与另一行（或列）对应元素的代数余子式乘积之和为零。

行列式按行展开得D，串行展开得零。

思考题，与例1（P.60）有何不同？

思考题解答,解,例.设行列式,求

（1）.

（2）.,考虑第二行与第四行元素,利用性质7解答

（1）;

关于

（2）,我们可考虑如下等式,证明,性质8.若为n阶方阵，则性质9.见P.62,证明,其中s为交换行的次数.,性质10.若n阶分块矩阵其中是方阵，则有,性质11.若均为n阶方阵，则证明：

（思路）作如下2n阶辅助行列式一方面有；

另一方面：

采用若干次列初等变换，目的是把右下角的块矩阵化为同阶的零矩阵。

与此同时，右上角的零矩阵变为矩阵,将第i行与第n+i行依次作交换（i=1,2,n）,综合以上两方面的内容：

结论成立,第三节行列式的计算,一、化三角行列式法,例1,例2计算n阶行列式,解：

二、降阶法,例.计算,解：

例.计算n+1阶行列式,行列式的计算方法：

一般是先利用性质6*，将行列式中某一行（或列）的元素尽可能地化为零，最好是只留下一个元素不为零，然后按该（或列）展开，使行列式降阶，最终化为二阶行列式，而得解。

小结,三、数学归纳法,例.5证明n阶范德蒙德（Vandermonde）行列式,其中表示所有同类因子的乘积,50,证明：

用数学归纳法,

（1）当n=2时,结论成立。

（2）设n1阶范德蒙德行列式成立，往证n阶也成立。

51,n-1阶范德蒙德行列式,四、递推法,例.6计算2n阶行列式,解：

分别按最后一列和第一列展开,课后习题3-3,3.计算行列式,解：

4.证明,证明：

构造如下行列式,上式左边的系数为原行列式乘以（-1）；

右边的系数为,5.证明,证明：

从最后一列开始，每一列都乘以x加到前一列，则第一列除最后一个元素为外，其余元素全为零，然后，再按这一列展开，得到,若n阶矩阵A的行列式则称A为非奇异矩阵.反之,若则称A是奇异矩阵.,一.行列式与矩阵可逆,定义1,定理1,若方阵A可逆，则A为非奇异矩阵.,证,第四节行列式的应用,的行列式中元素的代数余子式所构成的方阵,A的伴随矩阵,定义2,若n阶矩阵A的行列式则称A为非奇异矩阵.反之,若则称A是奇异矩阵.,一.行列式与矩阵可逆,第四节行列式的应用,定义1,例1求下列三阶矩阵A的伴随矩阵,解,定理1,证明：

必要性,充分性,例2求例1中矩阵A的逆矩阵.,解,推论设A是n阶方阵,如果存在n阶方阵B,使AB=E（或BA=E）,则,证,关于矩阵A的逆矩阵和伴随矩阵行列式的性质：

（1）,

（2）,例,求方阵,的逆矩阵,解,求得,存在,例3求的逆矩阵，其中,解,课堂练习p73.求矩阵的逆矩阵（）,总结：

定义1在mn矩阵A中任取k行、k列（km,kn），位于这些行列交叉处的k2个元素，不改变它们在A中所处的位置次序而得到的k阶行列式，称为矩阵A的k阶子式。

mn矩阵A的k阶子式共有CmkCnk个。

定义2设在矩阵A中有一个不等于0的r阶子式D，且所有r+1阶子式（如果有的话）全等于0，那么D称为矩阵A的最高阶非零子式，数r称为矩阵A的秩，记作R（A）=r。

规定零矩阵的秩等于0。

二、行列式与矩阵的秩,（3）对于任何mn矩阵A，都有唯一确定的秩，且R（A）min（m,n）；

（4）若矩阵A中有一个r1阶子式不为零，则R（A）r1；

若矩阵A的所有r11阶子式全等于零，则R（A）r1。

（2）A的转置矩阵AT的秩R（AT）=R（A）；

总结如下：

（1）矩阵A的秩R（A）就是A中不等于0的子式的最高阶数；

（5）对于n阶可逆矩阵A，有,|A|0R（A）=nA的标准形为n阶单位阵E,可逆阵又称为满秩矩阵。

奇异阵又称为降秩矩阵。

例1,求矩阵A和B的秩，其中,解,在A中，容易看出左上角一个2阶子式,A的3阶子式只有一个|A|，经计算可知|A|=0，因此R（A）=2。

B是一个阶梯形矩阵，其非零行有3行，即知B的所有4阶子式全为零，而3阶子式,因此R（B）=3。

上页,下页,返回,从本例可知，由矩阵A的秩的定义求秩，关键在于找A中不等于0的子式的最高阶数。

一般当行数与列数都较高时，按定义求秩是很麻烦的。

对于行阶梯形矩阵，显然它的秩就等于非零行的行数。

因此自然想到用初等变换把矩阵化为行阶梯形矩阵，但两个等价的矩阵的秩是否相等呢？

上页,下页,返回,经一次初等行变换矩阵的秩不变，即可知经有限,次初等行变换矩阵的秩也不变。

定理1若AB，则R（A）=R（B）。

定理1说明：

矩阵经初等变换后其秩不变，因而把,矩阵用初等变换化为行阶梯形矩阵，行阶梯形矩阵中非,零行的行数即为所求矩阵的秩。

这是求矩阵秩的一种常,用方法。

证明:

略,注1,注2,例3,求矩阵A的秩，并,求A的一个最高阶非零子式。

解,先求A的秩，为此对A作初等行变换变成行,阶梯形矩阵：

易见R（B）=R（A）=3。

再求A的一个最高阶非零子式。

因R（A）=3，知A的最高阶非零子式为3阶。

A的3阶子式共有,要从40个子式中,找出一个非零子式，是比较麻烦的。

根据A的行阶梯,形矩阵,的前三行构成的子式,因此，这个式子便是A的一个最高阶非零子式。

与矩阵对应的A的,注：

A的最高阶非零子式不一定唯一。

事实上，,从上例中还可以找到很多非零的3阶子式。

由矩阵的秩的定义，可以进一步得到如下结论：

设矩阵A中有一个r阶子式,而所有包含,r+1阶子式（如果有的话）全为0，则A中所有r+1,阶子式全为0，从而R（A）=r。

课堂练习.,求矩阵A的秩，并求A的一个最高阶非零子式。

解,先求A的秩，对A作初等行变换化为行阶梯形：

故R（A）=3。

因R（A）=3，知A的最高阶非零子式为3阶，,由A的行阶梯形矩阵可,知，在矩阵,中可,找到3阶非零子式。

不妨在,中找，记B=,则B的行阶梯形矩阵为,可见R（B）=3，故B中必有3阶非零子式，而B,的3阶子式有4个，,易计算B的前三行构成的子式,因此这个子式便是A的一个最高阶子式。

克莱姆法则,下面以行列式为工具,研究含有n个未知量、n个方程的n元线性方程组的问题.定理（克莱姆法则）如果n元线性方程组,则方程组有唯一解,的系数行列式,定理,其中Dj（j=1,2,n）是把系数行列式D中第j列的元素换成方程组的常数项b1,b2,bn所构成的n级行列式,即,定理的结论有两层含义：

方程组

（1）有解；

解唯一且可由式

（2）给出.,证首先证明方程组

（1）有解.事实上,将,代入第i个方程的左端，再将Dj按第j列展开,得,即式

（2）给出的是方程组

（1）的解.,下面证明解唯一.设xj=cj（j=1,2,n）为方程组

（1）的任意一个解，则,以D的第j列元素的代数余子式A1j,A2j,Anj依次乘以上各等式，相加得,从而Dcj=Dj由于D0,因此,即方程组的解是唯一的.,推论1如果线性方程组

（1）无解或有两个不同解则D=0推论2如果齐次线性方程组,的系数行列式D0，则方程组只有零解;

而若方程组有非零解，则D=0.可以证明:

系数行列式D=0，是方程组（3）有非零解的充分必要条件.,例3用克莱姆法则解方程组,解,且,注意克莱姆法则有两个条件：

一是方程组的未知数的个数等于方程的个数，二是系数行列式不等于零,例四.当k取何值时，方程组有唯一解、无解、无穷多解？

在有解的情况下，求出方程组的全部解.,解:

计算系数行列式,根据Gram法则，当时，方程有唯一解，这时解为,