学年新教材高中数学第2章一元二次函数方程和不等式21等式性质与不等式性质教学案新人教A版必修第.docx

1、学年新教材高中数学第2章一元二次函数方程和不等式21等式性质与不等式性质教学案新人教A版必修第 2.1 等式性质与不等式性质 (教师独具内容)课程标准：1.梳理等式的性质，理解不等式的概念，掌握不等式的性质，能运用不等式的性质比较大小.2.能运用不等式的性质证明不等式和解决简单的实际问题教学重点：1.不等式的性质.2.用不等式的性质证明不等式教学难点：用作差法比较代数式的大小【知识导学】知识点一等式的性质(1)如果ab，那么acbc.(2)如果ab，那么acbc或(c0)(3)如果ab，bc，那么ac.知识点二作差比较法(1)理论依据：ab0ab；ab0ab；ab0abab0；(2)abab0

2、；(3)ababb，那么ba；如果bb，即abbb，且bc，那么ac，即ab，bcac.(3)如果ab，那么acbc.(4)如果ab，c0，那么acbc；如果ab，c0，那么acb，cd，那么acbd.(6)如果ab0，cd0，那么acbd；如果ab0，cd0，那么acb0，那么anbn(nN，n2)(8)如果ab0，那么(nN，n2)【新知拓展】1关于不等式性质的理解两个同向不等式可以相加，但不可以相减，如ab，cd不能推出acbd.2常用的结论(1)ab，ab0；(2)b0；(3)ab0，cd0；(4)若ab0，m0，则；0)；(bm0)3比较大小的方法比较数(式)的大小常用作差与0比较作

3、差法中常用的变形手段是分解因式和配方等恒等变形，前者将“差”化为“积”，后者将“差”化为一个完全平方式或几个完全平方式的“和”，也可二者并用4利用不等式求范围应注意的问题求指定代数式的取值范围，必须依据不等式的性质进行求解，同向不等式具有可加性与可乘性，但是不能相减或相除，解题时必须利用性质，步步有据，避免改变代数式的取值范围1判一判(正确的打“”，错误的打“”)(1)若x20，则x0.()(2)两个实数a，b之间，有且只有ab，ab，ab，则ac2bc2.()(4)若ab0，则.()(5)若x1，则x32x与x22的大小关系为x32xx22.()答案(1)(2)(3)(4)(5) 2做一做(

4、1)已知ab0，bbba BababCabba Dabab(2)设ba，dbd BacbdCacbd Dadbc(3)已知x3x题型一 作差法比较大小 例1比较下列各组中两数的大小：(1)已知a，b为正数，且ab，比较a3b3与a2bab2；(2)已知x0，b0且ab，(ab)20，ab0，(a3b3)(a2bab2)0，即a3b3a2bab2.(2)x31(2x22x)x32x22x1(x3x2)(x22x1)x2(x1)(x1)2(x1)(x2x1)(x1).x1，x10，(x1)0，x310，y0，xy0，xy0，(xy)20.mn0，即mn(当xy时，等号成立)变式探究若将本例(2)中

5、“x0，当x10，即x1时，x310，即x1时，x312x22x.金版点睛作差比较法的四个步骤(1)比较x36x与x26的大小；(2)已知a，bR，xa3b，ya2ba，试比较x与y的大小解(1)(x36x)(x26)x(x26)(x26)(x1)(x26)x260，当x1时，x36xx26；当x1时，x36xx26；当x1时，x36xx26.(2)xya3ba2baa2(ab)ab(ab)(a21)当ab时，xy0，所以xy；当ab时，xy0，所以xy；当ab时，xy0，所以xy.题型二 不等式的性质及应用 例2下列命题正确的是_0ab；ab且cdacbd；ab0且cd0 ；ab.解析；当a

6、0时，满足已知条件，但推不出ab，错误当a3，b1，c2，d3时，命题显然不成立错误0 成立正确显然c20，两边同乘以c2得ab.正确答案金版点睛解决这类问题，主要是根据不等式的性质判定，其实质是看是否满足性质所需的条件，若要判断一个命题是假命题，可以从条件入手，推出与结论相反的结论，也可举出一个反例予以否定.(1)判断下列命题是否正确，并说明理由：若，则adbc；设a，b为正实数，若ab，则ab.(2)若ab0，分别判断下列式子是否成立，并简述理由：.解(1)由，所以0，即0，所以或即adbc且cd0或adbc且cd0，故不正确因为a0，b0，所以a2bbab2aa2bab2ba0ab(ab

7、)(ab)0(ab)(ab1)0，所以ab0，即ab正确(2)成立由ab0得aab0，所以.成立因为ab0，所以abb.题型三 利用不等式的性质证明不等式 例3(1)已知ab，ef，c0，求证：facb0，cd0，求证：0.求证：.证明(1)ab，c0，acbc.acbc.fe，facebc.(2)cdd0.又ab0，acbd0.0.再由0ba，0，.11.金版点睛利用不等式的性质证明不等式的实质与技巧(1)实质：就是根据不等式的性质把不等式进行变形，要注意不等式的性质成立的条件(2)技巧：若不能直接由不等式的性质得到，可先分析需要证明的不等式的结构然后利用不等式的性质进行逆推，寻找使其成立的

8、充分条件(1)已知cab0，求证：；(2)已知a，b，x，y都是正数，且，xy，求证：.证明(1)ab，aab0，0ca0.又ab0，.(2)a，b，x，y都是正数，且，xy，故，则11，即.题型四 利用不等式的性质求取值范围 例4(1)已知2a5,3b10，求ab，的取值范围；(2)已知，求，的取值范围解(1)3b10，10b3.又2a5，8ab2.又，.(2)，.两式相加得.，两式相加得.又，0，0.变式探究将本例(1)中，条件不变，求ab，ab的取值范围解由2a5,3b10得 23ab510,23ab510，即5ab15,6ab50.金版点睛利用不等式的性质求取值范围应注意的问题本题中不

9、能直接用a的范围去减或除b的范围，应严格利用不等式的性质去求范围；其次在有些题目中，还要注意整体代换的思想，即弄清要求的与已知的“范围”间的联系如已知20xy30,15xy18，要求2x3y的范围，不能分别求出x，y的范围，再求2x3y的范围，应把已知的“xy”“xy”视为整体，即2x3y(xy)(xy)，所以需分别求出(xy)，(xy)的范围，两范围相加可得2x3y的范围“范围”必须对应某个字母变量或代数式，一旦变化出其他的范围问题，则不能再间接得出，必须“直来直去”，即直接找到要求的量与已知的量间的数量关系，然后去求已知1ab2，且2ab4，求4a2b的取值范围解令ab，abv，则24,1

10、v2.由解得因为4a2b4222vv3v，而24,33v6，所以53v10.所以54a2b10.1若mx21，n2(x1)24(x1)1，则m与n的大小关系是()Amn Cmn Dmn答案D解析nmx20，nm.2设a，b，c，dR，则()Aab，cdacabCa3b3，ab0b2，ab0答案C解析用排除法，A错误，显然cd0时，结论不成立B错误，c0时，结论不成立D错误，a2，b1时，结论不成立故选C.3已知a0，1babab2 Bab2abaCabaab2 Dabab2a答案D解析本题可以根据不等式的性质来解，由于1b0，所以0b21aab20，易得答案为D.本题也可以根据a，b的范围取特殊值，比如令a1，b，也容易得到正