学年新教材高中数学第2章一元二次函数方程和不等式21等式性质与不等式性质教学案新人教A版必修第.docx

学年新教材高中数学第2章一元二次函数方程和不等式21等式性质与不等式性质教学案新人教A版必修第.docx

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学年新教材高中数学第2章一元二次函数方程和不等式21等式性质与不等式性质教学案新人教A版必修第

2.1等式性质与不等式性质

（教师独具内容）

课程标准：

1.梳理等式的性质，理解不等式的概念，掌握不等式的性质，能运用不等式的性质比较大小.2.能运用不等式的性质证明不等式和解决简单的实际问题．

教学重点：

1.不等式的性质.2.用不等式的性质证明不等式．

教学难点：

用作差法比较代数式的大小．

【知识导学】

知识点一　　　等式的性质

（1）如果a＝b，那么a＋c＝b＋c.

（2）如果a＝b，那么ac＝bc或＝（c≠0）．

（3）如果a＝b，b＝c，那么a＝c.

知识点二　　　作差比较法

（1）理论依据：

a－b>0⇔a>b；a－b＝0⇔a＝b；a－b<0⇔a

（2）方法步骤：

①作差；②整理；③判断符号；④下结论．

知识点三　　　两个实数大小的比较

（1）a>b⇔a－b>0；

（2）a＝b⇔a－b＝0；

（3）a

知识点四　　　不等式的性质

（1）如果a>b，那么bb，即a>b⇔b

（2）如果a>b，且b>c，那么a>c，即a>b，b>c⇒a>c.

（3）如果a>b，那么a＋c>b＋c.

（4）如果a>b，c>0，那么ac>bc；如果a>b，c<0，那么ac

（5）如果a>b，c>d，那么a＋c>b＋d.

（6）如果a>b>0，c>d>0，那么ac>bd；

如果a>b>0，c

（7）如果a>b>0，那么an>bn（n∈N，n≥2）．

（8）如果a>b>0，那么>（n∈N，n≥2）．

【新知拓展】

1．关于不等式性质的理解

两个同向不等式可以相加，但不可以相减，如a>b，c>d不能推出a－c>b－d.

2．常用的结论

（1）a>b，ab>0⇒<；

（2）b<0；

（3）a>b>0，c>d>0⇒>；

（4）若a>b>0，m>0，则>；<（b－m>0）；<；>（b－m>0）．

3．比较大小的方法

比较数（式）的大小常用作差与0比较．

作差法中常用的变形手段是分解因式和配方等恒等变形，前者将“差”化为“积”，后者将“差”化为一个完全平方式或几个完全平方式的“和”，也可二者并用．

4．利用不等式求范围应注意的问题

求指定代数式的取值范围，必须依据不等式的性质进行求解，同向不等式具有可加性与可乘性，但是不能相减或相除，解题时必须利用性质，步步有据，避免改变代数式的取值范围．

1．判一判（正确的打“√”，错误的打“×”）

（1）若x2＝0，则x≥0.（　　）

（2）两个实数a，b之间，有且只有a>b，a＝b，a

（3）若a>b，则ac2>bc2.（　　）

（4）若a>b>0，则>.（　　）

（5）若x>1，则x3＋2x与x2＋2的大小关系为x3＋2x>x2＋2.（　　）

答案　

（1）√　

（2）√　（3）×　（4）×　（5）√

2．做一做

（1）已知a＋b>0，b<0，那么a，b，－a，－b的大小关系是（　　）

A．a>b>－b>－aB．a>－b>－a>b

C．a>－b>b>－aD．a>b>－a>－b

（2）设b

A．a－c>b－dB．ac>bd

C．a＋c>b＋dD．a＋d>b＋c

（3）已知x<1，则x2＋2与3x的大小关系是________．

答案　

（1）C　

（2）C　（3）x2＋2>3x

题型一作差法比较大小　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

例1　比较下列各组中两数的大小：

（1）已知a，b为正数，且a≠b，比较a3＋b3与a2b＋ab2；

（2）已知x<1，比较x3－1与2x2－2x；

（3）已知x，y均为正数，设m＝＋，n＝，比较m与n的大小．

[解]　

（1）（a3＋b3）－（a2b＋ab2）

＝a3＋b3－a2b－ab2

＝a2（a－b）－b2（a－b）

＝（a－b）（a2－b2）

＝（a－b）2（a＋b）．

∵a>0，b>0且a≠b，∴（a－b）2>0，a＋b>0，

∴（a3＋b3）－（a2b＋ab2）>0，即a3＋b3>a2b＋ab2.

（2）x3－1－（2x2－2x）＝x3－2x2＋2x－1

＝（x3－x2）－（x2－2x＋1）＝x2（x－1）－（x－1）2

＝（x－1）（x2－x＋1）＝（x－1）.

∵x<1，∴x－1<0.又2＋>0，

∴（x－1）<0，∴x3－1<2x2－2x.

（3）∵m－n＝＋－＝－＝＝.

又x，y均为正数，

∴x>0，y>0，xy>0，x＋y>0，（x－y）2≥0.

∴m－n≥0，即m≥n（当x＝y时，等号成立）．

[变式探究]　若将本例

（2）中“x<1”改为“x∈R”，则x3－1与2x2－2x的大小又如何呢？

解　由例题知x3－1－（2x2－2x）＝（x－1），∵2＋>0，

∴当x－1<0，即x<1时，x3－1<2x2－2x；

当x－1＝0，即x＝1时，x3－1＝2x2－2x；

当x－1>0，即x>1时，x3－1>2x2－2x.

金版点睛

作差比较法的四个步骤

（1）比较x3＋6x与x2＋6的大小；

（2）已知a，b∈R，x＝a3－b，y＝a2b－a，试比较x与y的大小．

解　

（1）（x3＋6x）－（x2＋6）＝x（x2＋6）－（x2＋6）＝（x－1）（x2＋6）．

∵x2＋6>0，

∴当x>1时，x3＋6x>x2＋6；

当x＝1时，x3＋6x＝x2＋6；

当x<1时，x3＋6x

（2）x－y＝a3－b－a2b＋a＝a2（a－b）＋a－b

＝（a－b）（a2＋1）．

当a＞b时，x－y＞0，所以x＞y；

当a＝b时，x－y＝0，所以x＝y；

当a＜b时，x－y＜0，所以x＜y.

题型二不等式的性质及应用　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

例2　下列命题正确的是________．

①<且c>0⇒a>b；

②a>b且c>d⇒ac>bd；

③a>b>0且c>d>0⇒>；

④>⇒a>b.

[解析]　①⇒<；当a<0，b>0时，满足已知条件，但推不出a>b，∴①错误．

②当a＝3，b＝1，c＝－2，d＝－3时，命题显然不成立．∴②错误．

③⇒>>0⇒>成立．∴③正确．

④显然c2>0，∴两边同乘以c2得a>b.∴④正确．

[答案]　③④

金版点睛

解决这类问题，主要是根据不等式的性质判定，其实质是看是否满足性质所需的条件，若要判断一个命题是假命题，可以从条件入手，推出与结论相反的结论，也可举出一个反例予以否定.

（1）判断下列命题是否正确，并说明理由：

①若>，则ad>bc；

②设a，b为正实数，若a－

（2）若a

①<；②>.

解　

（1）①由>，所以－>0，

即>0，所以或

即ad>bc且cd>0或ad

②因为a－0，b>0，所以a2b－b

（2）①成立．由a

所以<.

②成立．因为a

所以>.

题型三利用不等式的性质证明不等式　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

例3　

（1）已知a>b，e>f，c>0，求证：

f－ac

（2）已知a>b>0，c

<；

（3）已知bc－ad≥0，bd>0.求证：

≤.

[证明]　

（1）∵a>b，c>0，∴ac>bc.

∴－ac<－bc.

∵f

（2）∵c－d>0.

又a>b>0，∴a－c>b－d>0.

∴0<<.再由0

（3）∵bc－ad≥0，∴ad≤bc，又∵bd>0，

∴≤.∴＋1≤＋1.∴≤.

金版点睛

利用不等式的性质证明不等式的实质与技巧

（1）实质：

就是根据不等式的性质把不等式进行变形，要注意不等式的性质成立的条件．

（2）技巧：

若不能直接由不等式的性质得到，可先分析需要证明的不等式的结构．然后利用不等式的性质进行逆推，寻找使其成立的充分条件．

（1）已知c>a>b>0，求证：

>；

（2）已知a，b，x，y都是正数，且>，x>y，求证：

>.

证明　

（1）∵a>b，∴－a<－b，又c>a>b>0，∴0

∴>>0.又∵a>b>0，∴>.

（2）∵a，b，x，y都是正数，且>，x>y，∴>，故<，则＋1<＋1，即<.

∴>.

题型四利用不等式的性质求取值范围　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

例4　

（1）已知2

（2）已知－≤α<β≤，求，的取值范围．

[解]　

（1）∵3≤b<10，∴－10<－b≤－3.

又2

又＜≤，∴<≤.

（2）∵－≤α<β≤，

∴－≤<，－<≤.

两式相加得－<<.

∵－≤<，－<≤，－≤－<，

两式相加得－≤<.

又α<β，∴<0，∴－≤<0.

[变式探究]　将本例

（1）中，条件不变，求a＋b，ab的取值范围．

解　由2

2＋3

即5

金版点睛

利用不等式的性质求取值范围应注意的问题

本题中不能直接用a的范围去减或除b的范围，应严格利用不等式的性质去求范围；其次在有些题目中，还要注意整体代换的思想，即弄清要求的与已知的“范围”间的联系．如已知20＜x＋y＜30,15＜x－y＜18，要求2x＋3y的范围，不能分别求出x，y的范围，再求2x＋3y的范围，应把已知的“x＋y”“x－y”视为整体，即2x＋3y＝（x＋y）－（x－y），所以需分别求出（x＋y），－（x－y）的范围，两范围相加可得2x＋3y的范围．“范围”必须对应某个字母变量或代数式，一旦变化出其他的范围问题，则不能再间接得出，必须“直来直去”，即直接找到要求的量与已知的量间的数量关系，然后去求．

　已知1≤a－b≤2，且2≤a＋b≤4，求4a－2b的取值范围．

解　令a＋b＝μ，a－b＝v，

则2≤μ≤4,1≤v≤2.

由解得

因为4a－2b＝4·－2·

＝2μ＋2v－μ＋v＝μ＋3v，

而2≤μ≤4,3≤3v≤6，

所以5≤μ＋3v≤10.

所以5≤4a－2b≤10.

1．若m＝x2－1，n＝2（x＋1）2－4（x＋1）＋1，则m与n的大小关系是（　　）

A．mn

C．m≥nD．m≤n

答案　D

解析　∵n－m＝x2≥0，∴n≥m.

2．设a，b，c，d∈R，则（　　）

A．a>b，c＝d⇒ac

B.>⇒a>b

C．a3>b3，ab>0⇒<

D．a2>b2，ab>0⇒<

答案　C

解析　用排除法，A错误，显然c＝d＝0时，结论不成立．B错误，c<0时，结论不成立．D错误，a＝－2，b＝－1时，结论不成立．故选C.

3．已知a<0，－1

A．a>ab>ab2B．ab2>ab>a

C．ab>a>ab2D．ab>ab2>a

答案　D

解析　本题可以根据不等式的性质来解，由于－10，易得答案为D.

本题也可以根据a，b的范围取特殊值，比如令a＝－1，b＝－，也容易得到正