1、,当 时,与 的方向相反;,(3)当 时,;,(4)任何实数与零向量的乘积为 零向量.,*两个非零向量平行的充要条件:,*单位向量的定义及其计算公式:,*把模为1的向量叫做单位向量.,*对于任意的非零向量,与它同方向的单位向 量叫做向量 的单位向量.记作:,*单位向量的计算公式:,向量作为一种常见的数学概念.它是即有大小又有方向的.前面已学习了其“形”的相关知识,本节开始就要研究其“数”的相关知识-向量的坐标.,引入:,1.平面内建立了直角坐标系,点A可以用什么来 表示?,2.平面向量是否也有类似的表示呢?,A,(a,b),a,b,1,在平面直角坐标系中,方向与x轴和y轴正方向分别相同的两个单
2、位向量叫做基本单位向量,分别记为,A,1,1,1)平面内每一点都有对应的位置向量。,调用几何画板,M,N,(x,y),A,在上式中,向量OA能表示成两个相互垂直的向量i、j 分别乘以实数x、y后组成的和式,该和式称为i、j 的线性组合,这种向量的表示方法叫做向量的正交分解。,3,向量的坐标表示:,A,在平面直角坐标系内,任意一个向量都存在唯一一个与它相等的位置向量.即平面内任一向量都可以用基本单位来表示.,(x,y),总结:,有序实数对(x,y),记作:,任意向量,位置向量,向量 的坐标.,由此可得,相等的向量具有相同的坐标。,二、向量的坐标运算(有了向量的坐标表示之后,向量的运算就可以转化为
3、其坐标的相应运算),向量模的计算公式:,上述法则实现了由向量的作图法运算(形)转化为向量的坐标法运算(数),化繁为简.,例1.如图,写出向量 的坐标.,结论:任意向量坐标=终点坐标-起点坐标,x,y,O,P(x1,y1),Q(x2,y2),即,如图,设P(x1,y1)、Q(x2,y2)是平面直角坐标系内的任意两点,如何用P、Q的坐标来表示向量PQ?,4,平面内任意两点间的向量的坐标:,x,y,O,A(2,1),B(-3,2),C(-1,3),D(x,y),第八章平面向量的坐标表示,8.1.1 向量的坐标表示及其运算,8.1.2 向量的坐标表示及其运算,观察平行量,它们的坐标有怎样的关系?,满足
4、这一关系的两个向量必定平行吗?,必要性:,,由平行向量基本定理知:,存在唯一实数,使,,则,因此,证:当 时,充要条件显然成立,现考虑,的情形,,此时 不全为零,不妨设,平面向量平行条件的坐标表示,定理:已知任意向量,的充要条件是,证:当 时,充要条件显然成立,现考虑,的情形,,此时 不全为零,不妨设,充分性:,则,令,则,,因此,证毕,平面向量平行条件的坐标表示,定理:已知任意向量,的充要条件是,特别地,若 不平行于坐标轴,,,则上式可化为,两个向量平行的充分条件是相应坐标成比例.,即,平面向量平行条件的坐标表示,定理:已知任意向量,的充要条件是,三、向量平行的充要条件的坐标表示,例2.是坐标原点,,,当 为何值时,三点共线?,分析:三点共线的充要条件是,解:,化简得:,解得:,或,因此 时,三点共线.,或,思考 取何值时,能够构成三角形?,四、定比分点定义及公式,例:已知 的坐标分别为,求点P的坐标。,2,已知A(3,2),B(8,3),求线段AB的中点G坐标,求点A关于点B的对称点H的坐标,若,求点E的坐标,