8.1向量的坐标表示及其运算优质PPT.ppt
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,当时,与的方向相反;
(3)当时,;
(4)任何实数与零向量的乘积为零向量.,*两个非零向量平行的充要条件:
*单位向量的定义及其计算公式:
*把模为1的向量叫做单位向量.,*对于任意的非零向量,与它同方向的单位向量叫做向量的单位向量.记作:
*单位向量的计算公式:
向量作为一种常见的数学概念.它是即有大小又有方向的.前面已学习了其“形”的相关知识,本节开始就要研究其“数”的相关知识-向量的坐标.,引入:
1.平面内建立了直角坐标系,点A可以用什么来表示?
2.平面向量是否也有类似的表示呢?
A,(a,b),a,b,1,在平面直角坐标系中,方向与x轴和y轴正方向分别相同的两个单位向量叫做基本单位向量,分别记为,A,1,1,1)平面内每一点都有对应的位置向量。
调用几何画板,M,N,(x,y),A,在上式中,向量OA能表示成两个相互垂直的向量i、j分别乘以实数x、y后组成的和式,该和式称为i、j的线性组合,这种向量的表示方法叫做向量的正交分解。
3,向量的坐标表示:
A,在平面直角坐标系内,任意一个向量都存在唯一一个与它相等的位置向量.即平面内任一向量都可以用基本单位来表示.,(x,y),总结:
有序实数对(x,y),记作:
任意向量,位置向量,向量的坐标.,由此可得,相等的向量具有相同的坐标。
二、向量的坐标运算(有了向量的坐标表示之后,向量的运算就可以转化为其坐标的相应运算),向量模的计算公式:
上述法则实现了由向量的作图法运算(形)转化为向量的坐标法运算(数),化繁为简.,例1.如图,写出向量的坐标.,结论:
任意向量坐标=终点坐标-起点坐标,x,y,O,P(x1,y1),Q(x2,y2),即,如图,设P(x1,y1)、Q(x2,y2)是平面直角坐标系内的任意两点,如何用P、Q的坐标来表示向量PQ?
4,平面内任意两点间的向量的坐标:
x,y,O,A(2,1),B(-3,2),C(-1,3),D(x,y),第八章平面向量的坐标表示,8.1.1向量的坐标表示及其运算,8.1.2向量的坐标表示及其运算,观察平行量,它们的坐标有怎样的关系?
满足这一关系的两个向量必定平行吗?
必要性:
,由平行向量基本定理知:
存在唯一实数,使,,则,因此,证:
当时,充要条件显然成立,现考虑,的情形,,此时不全为零,不妨设,平面向量平行条件的坐标表示,定理:
已知任意向量,的充要条件是,证:
当时,充要条件显然成立,现考虑,的情形,,此时不全为零,不妨设,充分性:
则,令,则,,因此,证毕,平面向量平行条件的坐标表示,定理:
已知任意向量,的充要条件是,特别地,若不平行于坐标轴,,,则上式可化为,两个向量平行的充分条件是相应坐标成比例.,即,平面向量平行条件的坐标表示,定理:
已知任意向量,的充要条件是,三、向量平行的充要条件的坐标表示,例2.是坐标原点,,,当为何值时,三点共线?
分析:
三点共线的充要条件是,解:
化简得:
解得:
或,因此时,三点共线.,或,思考取何值时,能够构成三角形?
四、定比分点定义及公式,例:
已知的坐标分别为,求点P的坐标。
2,已知A(3,2),B(8,3),求线段AB的中点G坐标,求点A关于点B的对称点H的坐标,若,求点E的坐标,