江苏省数学竞赛提优教案第67讲图论问题一Word文档格式.docx

1、若对每条线确定一个方向（即确定了线的两个端点中一个为“起点”，另一个为“终点”这时，线是点的“有序对”），则得到“有向图”；对有向图的一个顶点v，degvk，若v是其中n条边的起点，m条边的终点（mnk），则称v的出次为n，入次为m链：若在一个图G（V；E）中取n+1个顶点 v1、v2、vn+1，每两个相邻的顶点vi、vi+1间连有一条边li,则边l1,l2,ln就称为从v1到vn+1的一条链n称为链的长度A类例题例1 证明任意的六人中一定有三个人互相认识或互不认识（约定甲认识乙就意味着乙认识甲） K6的边染成红蓝两色，求证：其中必有两个三角形，其三边同色分析 以点表示人，连红、蓝两色的线分别

2、表示“认识”与“不认识”，问题转化成图的问题要会把题目的语言转译成图的语言：“三人互相认识”就表示三点间都连红线，“三人互不认识”就表示三点间都连蓝线 考虑每个异色三角形的三个角，其中两个角是异色角，而同色三角形的三个角都是同色角证明 用6个点v1，v2，v6表示这6个人，如果某两人相互认识，则在表示此二人的点间连一条红线，否则连一条蓝线于是问题转化为证明此6点间一定连出了三边均为红色或蓝色的三角形在点v1连出的5条线中，由抽屉原理知，必有某色线连有3条或3条以上不妨设红线连了至少3条设v1与v2、v3、v4连的红线现考虑点v2、v3、v4连线的情况，如果此三点间有任两点连的红线，则出现红色三

3、角形（例如v2v3连红线，则v1v2v3是红色三角形），如果这三点间都不连红线，则出现蓝色三角形（v2v3v4是蓝色三角形）故证 考虑K6共连了C15条线，共得到C20个三角形设第i个顶点连了ri（0i5）条红线，5ri条蓝线由于ri（5ri）6所以，连出的异色角个数6636个由于每个异色的三角形有2个异色角，所以图中异色三角形个数18，故图中同色三角形个数20182说明 题是早期匈牙利的一个图论竞赛题解这类“实际问题”时，重要的是会用图的语言解释题意，把实际问题改写为图的问题 用异色角来解相关问题是较好的方法例2 由5人组成一个公司，其中任意三人总有2人彼此认识，也总有2人彼此不认识证明：这

4、五人可以围桌而坐，使每人两旁都是他认识的人（1978年保加利亚数学竞赛）证明 用5个点表示这5个人，若两人互相认识，则在表示这2个人的点间连1条线题目的条件即是：任三点间至少连1条线，但不能连3条线首先，每点都至少连了2条线，若点v1只连出1条线，则它至少与某三点（设为v2、v3、v4）未连线，则此3点间都要连线（若v2与v3没有连线，则v1与v2、v3就都没有连线，与已知矛盾）出现了以v2、v3、v4为顶点的三角形，矛盾其次，若某点连出了3条线，则此三点间都不能连线，与已知矛盾故知：每点都恰连2条线它不能连成三角形，也不能连成四边形，否则余下的点无法连线，故只能如图所示，证毕说明 仔细体会上

5、述两例的特点，明白什么时候应该用图来解相关的题：当涉及多个元素的某些相互关系时，就可能用图来解释情景再现1在例1中，把6个人改为5个人，结论是否一定成立？2图G有n个顶点，n+1条边，证明：图G至少有一个顶点的次数3B类例题例3 设竞赛图（每两个点都连了1条线的有向图）中，点Ak的出次与入次分别为wk与ek（k1，2，n），证明 wwweee分析 根据竞赛图的特点可知： 每点的出次与入次的和都等于n1， 所有点的出次的和与入次的和相等由此可以推出：所有点的出次和与入次和都等于n（n1）这是两个基本的性质在要证的式子中把ek用n1wk代替证明 对于每个点，出次与入次的和都是n1，即wkekn1（

6、k1，2，n）， 所有出次的和与所有入次的和相等，且都等于图中弧的条数：w1w2wne1e2enn（n1）所以 eee（n1w1）2（n1w2）2（n1wn）2n（n1）2www2（w1w2wn）（n1）wwwn（n1）22 （n1）（n1） www说明 本题的证明方法与奇偶分析中的例6相似例4 平面上给定7个点，用一些线段连接它们，每三个点中至少有两点相连，问至少要有多少条线段？试给出一个图（1989蒙古数学竞赛）分析 首先找到连线条数的下界（即至少要连出多少条线），再寻找是否可能达到这个下界，可以分别枚举可能的连线方法，讨论每种方法的连线条数，得到最小的结果解 7个点中共有三点组C=35个

7、每条线段共与其余5点组成5个三角形故线段条数7条如果有一个点没有连线，则其余6点两两都必须连线，要C15条如果有一点只连了一条线，其余5点必须两两连线，连线数C10条 设某点只连了2条线，如点A只连了AB、AC这2条线，则其余4点均未与A连线，于是它们必须两两互连，应连C=6条此时，取B、C两点及其余4点中的任一点，尚不满足条件，故BC应连线，此时连了9条线，所得图形满足题目要求若每点都至少连出3条线，则总度数21，即至少连了+111条线所以，至少连9条线例5 九名数学家在一次国际会议上相遇，发现他们中的任三人中至少有两人能用同一种语言对话，如果每个数学家至多会用三种语言证明：至少有三人可用同

8、一种语言对话（1978年美国数学竞赛）分析 9个人用9个点表示证法1中，多种语言则用多种颜色的线来表示，转译结论“三人可用同一种语言对话”时，应注意：如果从一点向另两点连出了同色的两条线，表示另两人也能用相应的语言对话，从而就出现了同色三角形所以，只要证明从一点一定引出了同色的线即可而在证法2中，改设若二人不能对话就连1条线（即不存在二人都会的语言）此时结论就应转译为“存在三点，两两都没有连线”证法1 用9个点表示这9个人，某二人如能用第r种语言交谈，则在表示此二人的点间连一条线，并涂上第r种颜色，于是，本题即是证明，存在一个同色的三角形首先，若v1与v2、v1与v3间都连了第k种颜色线，则v

9、2与v3间也要连第k种颜色线此时即出现同色的三角形所以只要证明从其中某一点出发的线中必有两条线的颜色相同反设从任一点出发的线中没有同色的线，由于每个人至多会用三种语言即degvi3，于是v1至少与5个点不邻接，设为v2、v6，同样，v2至少与5个点不相邻接，于是v3、v6中至少有一点与v2不相邻接设为v3，于是v1、v2、v3不相邻接与已知“任三人中都至少有两人能用同一种语言对话”矛盾故证证法2 取9个点v1，v2，v9表示9个人，如果某二人不能对话，则在表示此二人的点间连一条线，于是在任何三点间，都有两个点不相邻，即不存在三角形如果有人至少与4个点不连线，由于他最多只能讲三种语言，则他必与其

10、中某两人讲同一种语言于是相应三人可以用同一种语言来对话下面证明存在一点，其度不大于4从而该点至少与4点不相邻如果degv14，则v1即为所求若degv14，则至少degv15，即至少有5个点与之连线，设为v2，v6，由于这些点不能连出三角形，故v2，v6的任何两个之间都不能连线，从而v2与v3，v6均无连线，于是degv24即可证得原题说明 两点间连了1条线，则说这两点相邻本题的两种证明方法从两个方向出发，一种是两人可用同一种语言通话，就在相应两点间连一条边，证法2是反过来，两人不能通话时则连一条边，都能应用图解决问题例6 俱乐部里有14个人想打桥牌，已知过去每个人都与其中的5个人合作过，现在

11、规定4个人中必须任两个人都没有合作过才准许在一起打1局桥牌，这样打了3局就无法再打下去了，如果这时又来了一人，他与原来的14个人都没有合作过，证明：一定可以再打1局分析 打桥牌时，4人分成合作的两对，合作的两人坐在相对的位置打牌于是每局桥牌，都有两对人合作把题目的条件与结论都转述为图的语言，并找出结论的等价命题是：找到三个人互相都没有合作过，即存在3个点互不相邻证明 用14个点表示这14个人，若某两人合作过，则在表示这两人的点间连一条线，于是，题目条件即：其中每个点都已连出了5条线，且在此14个点中，可以找出3组点（每组4个点），这三组点间，两两未连线，若这3组点之间共连出6条线后，对于任意4

12、点，都至少有两点连了线（14个点间一共连了41条线），证明此时一定存在3个点，两两都没有连线（从而添入第15个点后，可与此3点合成4点，两两无连线）由于14个点中的每个点原来都与（1415）8个点不相邻在又打3局连出了6条边以后，至多有12个点又连了线，所以至少还有2个点，每个点仍与8个点不相邻设其中一点为v1与v1不相邻的点集为S下面证明：S中必有一点v2至少与7个点不相邻反设不存在这样的点，则此8点中，每个点都至多与6个点不相邻，故此8个点都至少连了（1461）7条边，于是此8点中的每个点又都新连了至少2条边，故又新连出了8228条边（除以2是因为每条边可能在两个点端点处被计算了2次）这与

13、只连了6条边矛盾，所以存在S中的一点v2，至少与7个点不相邻但8+71514，必有一点v3与v1，v2均未连线此三点即为所求链接 v3存在是根据容斥原理：把这14个人的集合记为S，与v1相邻的点集记为A，与v2相邻的点集记为B，则ABS故card（AB）card（S）而 card（AB）card（A）card（B）card（AB），故 card（A）card（B）card（AB）card（S），现card（A）card（B）15，card（S）14，于是card（AB）03右面的有向图由4个顶点及一些弧（有向线段）组成，指出各点的出次（引出的弧的条数）与入次（引入的弧的条数）求出上题中所有各点

14、的出次的和与入次的和，它们与弧的条数有什么关系？证明：任一有向图中，出次的和与入次的和相等4在n（n3）个点的竞赛图中，一定有两个点的出次相同吗？5在集合S的元素之间引入关系“” 对于任意两个元素a，bS，要么ab，要么ba，二者有且只有一个成立； 对任意三个元素a，b，c，如果ab，bc，则ca问集合S中最多能有多少个元素？（1972年英国数学竞赛）6证明： 如果竞赛图中各点的出次不等， 那么可将这些点排成一列，排在前面的点有弧到达排在后面的任一点（即排在前面的选手胜排在后面的所有选手） 如果点数n3的竞赛图中有三角形回路，那么，图中必有两点的出次相等C类例题例7 某足球赛有16个城市参加，每市派出2个队，根据比赛规