江苏省数学竞赛提优教案第67讲图论问题一Word文档格式.docx

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若对每条线确定一个方向（即确定了线的两个端点中一个为“起点”，另一个为“终点”．这时，线是点的“有序对”），则得到“有向图”；

对有向图的一个顶点v，degv＝k，若v是其中n条边的起点，m条边的终点（m＋n＝k），则称v的出次为n，入次为m．

链：

若在一个图G＝（V；

E）中取n+1个顶点v1、v2、…、vn+1，每两个相邻的顶点vi、vi+1间连有一条边li,则边l1,l2,…,ln就称为从v1到vn+1的一条链．n称为链的长度．

A类例题

例1⑴证明任意的六人中一定有三个人互相认识或互不认识（约定甲认识乙就意味着乙认识甲）．

⑵K6的边染成红蓝两色，求证：

其中必有两个三角形，其三边同色．

分析⑴以点表示人，连红、蓝两色的线分别表示“认识”与“不认识”，问题转化成图的问题．要会把题目的语言转译成图的语言：

“三人互相认识”就表示三点间都连红线，“三人互不认识”就表示三点间都连蓝线．⑵考虑每个异色三角形的三个角，其中两个角是异色角，而同色三角形的三个角都是同色角．

证明⑴用6个点v1，v2，…，v6表示这6个人，如果某两人相互认识，则在表示此二人的点间连一条红线，否则连一条蓝线．于是问题转化为证明此6点间一定连出了三边均为红色或蓝色的三角形．

在点v1连出的5条线中，由抽屉原理知，必有某色线连有3条或3条以上．不妨设红线连了至少3条．设v1与v2、v3、v4连的红线．现考虑点v2、v3、v4连线的情况，如果此三点间有任两点连的红线，则出现红色三角形（例如v2v3连红线，则v1v2v3是红色三角形），如果这三点间都不连红线，则出现蓝色三角形（v2v3v4是蓝色三角形）．故证．

⑵考虑K6共连了C＝15条线，共得到C＝20个三角形．设第i个顶点连了ri（0≤i≤5）条红线，5－ri条蓝线．由于ri（5－ri）≤6．所以，连出的异色角个数≤6×

6＝36个．由于每个异色的三角形有2个异色角，所以图中异色三角形个数≤18，故图中同色三角形个数≥20－18＝2．

说明题⑴是早期匈牙利的一个图论竞赛题．解这类“实际问题”时，重要的是会用图的语言解释题意，把实际问题改写为图的问题．

⑵用异色角来解相关问题是较好的方法．

例2由5人组成一个公司，其中任意三人总有2人彼此认识，也总有2人彼此不认识．证明：

这五人可以围桌而坐，使每人两旁都是他认识的人．（1978年保加利亚数学竞赛）

证明用5个点表示这5个人，若两人互相认识，则在表示这2个人的点间连1条线．题目的条件即是：

任三点间至少连1条线，但不能连3条线．

首先，每点都至少连了2条线，若点v1只连出1条线，则它至少与某三点（设为v2、v3、v4）未连线，则此3点间都要连线（若v2与v3没有连线，则v1与v2、v3就都没有连线，与已知矛盾）．出现了以v2、v3、v4为顶点的三角形，矛盾．

其次，若某点连出了3条线，则此三点间都不能连线，与已知矛盾．

故知：

每点都恰连2条线．它不能连成三角形，也不能连成四边形，否则余下的点无法连线，故只能如图所示，证毕．

说明仔细体会上述两例的特点，明白什么时候应该用图来解相关的题：

当涉及多个元素的某些相互关系时，就可能用图来解释．

情景再现

1．在例1中，把6个人改为5个人，结论是否一定成立？

2．图G有n个顶点，n+1条边，证明：

图G至少有一个顶点的次数≥3．

B类例题

例3设竞赛图（每两个点都连了1条线的有向图）中，点Ak的出次与入次分别为wk与ek（k＝1，2，…，n），

证明w＋w＋…＋w＝e＋e＋…＋e．

分析根据竞赛图的特点可知：

⑴每点的出次与入次的和都等于n－1，⑵所有点的出次的和与入次的和相等．由此可以推出：

所有点的出次和与入次和都等于n（n－1）．这是两个基本的性质．在要证的式子中把ek用n－1－wk代替．

证明对于每个点，出次与入次的和都是n－1，即

wk＋ek＝n－1（k＝1，2，…，n），①

所有出次的和与所有入次的和相等，且都等于图中弧的条数：

w1＋w2＋…＋wn＝e1＋e2＋…＋en＝n（n－1）．②

所以e＋e＋…＋e

＝（n－1－w1）2＋（n－1－w2）2＋…＋（n－1－wn）2

＝n（n－1）2＋w＋w＋…＋w－2（w1＋w2＋…＋wn）（n－1）

＝w＋w＋…＋w＋n（n－1）2－2（n－1）（n－1）

＝w＋w＋…＋w．

说明本题的证明方法与《奇偶分析》中的例6相似．

例4平面上给定7个点，用一些线段连接它们，每三个点中至少有两点相连，问至少要有多少条线段？

试给出一个图．（1989蒙古数学竞赛）

分析首先找到连线条数的下界（即至少要连出多少条线），再寻找是否可能达到这个下界，可以分别枚举可能的连线方法，讨论每种方法的连线条数，得到最小的结果．

解7个点中共有三点组C=35个．每条线段共与其余5点组成5个三角形．故线段条数≥＝7条．

如果有一个点没有连线，则其余6点两两都必须连线，要C＝15条．

如果有一点只连了一条线，其余5点必须两两连线，连线数＞C＝10条．

设某点只连了2条线，如点A只连了AB、AC这2条线，则其余4点均未与A连线，于是它们必须两两互连，应连C=＝6条．此时，取B、C两点及其余4点中的任一点，尚不满足条件，故BC应连线，此时连了9条线，所得图形满足题目要求．

若每点都至少连出3条线，则总度数≥21，即至少连了[]+1＝11条线．

所以，至少连9条线．

例5九名数学家在一次国际会议上相遇，发现他们中的任三人中至少有两人能用同一种语言对话，如果每个数学家至多会用三种语言．证明：

至少有三人可用同一种语言对话．（1978年美国数学竞赛）

分析9个人用9个点表示．证法1中，多种语言则用多种颜色的线来表示，转译结论“三人可用同一种语言对话”时，应注意：

如果从一点向另两点连出了同色的两条线，表示另两人也能用相应的语言对话，从而就出现了同色三角形．所以，只要证明从一点一定引出了同色的线即可．而在证法2中，改设若二人不能对话就连1条线（即不存在二人都会的语言）．此时结论就应转译为“存在三点，两两都没有连线”．

证法1用9个点表示这9个人，某二人如能用第r种语言交谈，则在表示此二人的点间连一条线，并涂上第r种颜色，于是，本题即是证明，存在一个同色的三角形．

首先，若v1与v2、v1与v3间都连了第k种颜色线，则v2与v3间也要连第k种颜色线．此时即出现同色的三角形．所以只要证明从其中某一点出发的线中必有两条线的颜色相同．

反设从任一点出发的线中没有同色的线，由于每个人至多会用三种语言．即degvi≤3，于是v1至少与5个点不邻接，设为v2、…、v6，同样，v2至少与5个点不相邻接，于是v3、…、v6中至少有一点与v2不相邻接．设为v3，于是v1、v2、v3不相邻接．与已知“任三人中都至少有两人能用同一种语言对话”矛盾．故证．

证法2取9个点v1，v2，…，v9表示9个人，如果某二人不能对话，则在表示此二人的点间连一条线，于是在任何三点间，都有两个点不相邻，即不存在三角形．

如果有人至少与4个点不连线，由于他最多只能讲三种语言，则他必与其中某两人讲同一种语言．于是相应三人可以用同一种语言来对话．

下面证明存在一点，其度不大于4．从而该点至少与4点不相邻．如果degv1≤4，则v1即为所求．若degv1＞4，则至少degv1＝5，即至少有5个点与之连线，设为v2，…，v6，由于这些点不能连出三角形，故v2，…，v6的任何两个之间都不能连线，从而v2与v3，…，v6均无连线，于是degv2≤4．即可证得原题．

说明两点间连了1条线，则说这两点相邻．

本题的两种证明方法从两个方向出发，一种是两人可用同一种语言通话，就在相应两点间连一条边，证法2是反过来，两人不能通话时则连一条边，都能应用图解决问题．

例6俱乐部里有14个人想打桥牌，已知过去每个人都与其中的5个人合作过，现在规定4个人中必须任两个人都没有合作过才准许在一起打1局桥牌，这样打了3局就无法再打下去了，如果这时又来了一人，他与原来的14个人都没有合作过，证明：

一定可以再打1局．

分析打桥牌时，4人分成合作的两对，合作的两人坐在相对的位置打牌．于是每局桥牌，都有两对人合作．

把题目的条件与结论都转述为图的语言，并找出结论的等价命题是：

找到三个人互相都没有合作过，即存在3个点互不相邻．

证明用14个点表示这14个人，若某两人合作过，则在表示这两人的点间连一条线，于是，题目条件即：

其中每个点都已连出了5条线，且在此14个点中，可以找出3组点（每组4个点），这三组点间，两两未连线，若这3组点之间共连出6条线后，对于任意4点，都至少有两点连了线．（14个点间一共连了41条线），证明此时一定存在3个点，两两都没有连线（从而添入第15个点后，可与此3点合成4点，两两无连线）．

由于14个点中的每个点原来都与（14－1－5＝）8个点不相邻．在又打3局连出了6条边以后，至多有12个点又连了线，所以至少还有2个点，每个点仍与8个点不相邻．设其中一点为v1．与v1不相邻的点集为S．

下面证明：

S中必有一点v2至少与7个点不相邻．反设不存在这样的点，则此8点中，每个点都至多与6个点不相邻，故此8个点都至少连了（14－6－1＝）7条边，于是此8点中的每个点又都新连了至少2条边，故又新连出了8×

2÷

2＝8条边（除以2是因为每条边可能在两个点端点处被计算了2次）．这与只连了6条边矛盾，所以存在S中的一点v2，至少与7个点不相邻．

但8+7＝15＞14，必有一点v3与v1，v2均未连线．此三点即为所求．

链接v3存在是根据容斥原理：

把这14个人的集合记为S，与v1相邻的点集记为A，与v2相邻的点集记为B，则A∪BS．故

card（A∪B）≤card（S）．

而card（A∪B）＝card（A）＋card（B）－card（A∩B），

故card（A）＋card（B）－card（A∩B）≤card（S），

现card（A）＋card（B）＝15，card（S）＝14，于是card（A∩B）＞0．

3．⑴右面的有向图由4个顶点及一些弧（有向线段）组成，指出各点的出次（引出的弧的条数）与入次（引入的弧的条数）．

⑵求出上题中所有各点的出次的和与入次的和，它们与弧的条数有什么关系？

⑶证明：

任一有向图中，出次的和与入次的和相等．

4．在n（n≥3）个点的竞赛图中，一定有两个点的出次相同吗？

5．在集合S的元素之间引入关系“→”．⑴对于任意两个元素a，b∈S，要么a→b，要么b→a，二者有且只有一个成立；

⑵对任意三个元素a，b，c，如果a→b，b→c，则c→a．问集合S中最多能有多少个元素？

（1972年英国数学竞赛）

6．证明：

⑴如果竞赛图中各点的出次不等，那么可将这些点排成一列，排在前面的点有弧到达排在后面的任一点（即排在前面的选手胜排在后面的所有选手）．

⑵如果点数n≥3的竞赛图中有三角形回路，那么，图中必有两点的出次相等．

C类例题

例7某足球赛有16个城市参加，每市派出2个队，根据比赛规