高等数学第五章定积分及其应用PPT格式课件下载.ppt

1、1）分割.在 区间 a,b 中任意入插 n 1 个分点bxxxxxann1210,1iiixx用直线ixx曲梯形分成 将边n 小曲梯个边形;2）近似.在第 i 窄曲梯形上个边任取作以,1iixx底 为,）（if高的小矩形为,以此小并梯形面近似代替相积应窄曲梯形面边积,iA得）（）（1iiiiiixxxxfA）,2,1,nii机 目 上 下 返回 束 动录页页结 3）3）求和求和.niiAA1niiixf1）（4）取极限.令,max1inix曲梯形面则边积niiAA10limniiixf10）（lim机 目 上 下 返回 束 动录页页结xabyo1xix1ixi 1、分割 将 a，b 分割为n小

2、个区间2、取介点 在每小上任取一点个区间ii）（if3、局部以直代曲 每小上的曲个区间线y=f（x）用直段线y=f（i）代替）（xfy0 xa1x2x1ixix1nxbxn4、作和：S=11）（xf22）（xfiixf）（nnxf）（）（）（11iiiniiixxxxfyx 1、分割 将 a，b 分割为n小个区间2、取介点 在每小上任取一点个区间i3、局部以直代曲 每小上的曲个区间线y=f（x）用直段线y=f（i）代替）（xfy4、作和：S=11）（xf22）（xfiixf）（nnxf）（）（）（11iiiniiixxxxfbaniiidxxfxfS）（）（lim10|5、取极限）max|（|

3、）（lim10|iniiixxfSa byx 2.2.变速直线运动的路程变速直线运动的路程某物体作直设线运动,）（21TTCtvv且,0）（tv求在物体所的路程 运动时间内经过s.解决步骤:1）分割.,1iiitt任取分成将它,）,2,1（,1nittii在每小段上物体个经2）近似.,）（代替速变以iv得iiitvs）（,1,21分点个中任意入插在nTT）,2,1（nisi）,2,1（ni已知速度机 目 上 下 返回 束 动录页页结n 小个段的路程过为 3）3）求和求和.iniitvs1）（4）取极限.iniitvs10）（lim）max（1init上述的两个问题共性:解的方法步相同 决问题骤

4、:“分割,近似,求和,取限极”所求量限式相同极结构:特殊乘和式的限积极机 目 上 下 返回 束 动录页页结 abxo5.1.2 5.1.2 定积分概念定积分概念,）（上定在义函设数baxf的若对,ba任一种分法,210bxxxxan,1iiixxx令任取,1iiixxi时只要0max1inixiniixf1）（于确定的限总趋极 I,此限 则称极I 函为数）（xf在区间,ba上的定积分,1xix1ixbaxxfd）（即baxxfd）（iniixf10）（lim此 时称 f（x）在 a,b 上可积.作记机 目 上 下 返回 束 动录页页结 baxxfd）（iniixf10）（lim分上限积分下限积

5、被函积数被表式积达分量积变分和积分称为积区间,ba定分被函及分有 积仅与积数积区间关,而分与积量用什字母表示无 变么关,即baxxfd）（battfd）（bauufd）（机 目 上 下 返回 束 动录页页结 如果如果 0）（xf，则，则（）d0baf xx,此时此时（）dbaf xx表示由曲线表示由曲线（）yf x，,xa xb及及 x轴所围成的曲边轴所围成的曲边梯形的面积梯形的面积A，即，即baAxxfd）（.x O y a b A 如果如果）（xf0，则则（）d0baf xx，此时此时（）dbaf xx表示由曲线表示由曲线（）yf x，,xa xb及及 x轴所围成的曲轴所围成的曲边梯形的面

6、积边梯形的面积A的的负值负值，即，即（）dbaf xxA .x O y a b-A 123（）d.baf xxAAA=-+如果如果）（xf 在在,ba上有上有正有负时，则正有负时，则（）dbaf xx表示由表示由曲线曲线）（xfy，直线，直线,xa xb及及 x轴所围成的平面图形的轴所围成的平面图形的面积位于面积位于x轴上方的面积减去轴上方的面积减去位于位于x轴下方的面积，如右图轴下方的面积，如右图所示，即所示，即 3 A）（x f y O a b x y 2 A 1 A 定积分的几何意义定积分的几何意义:Axxfxfbad）（,0）（曲梯形面边积baxxfxfd）（,0）（曲梯形面的边积负值

7、abyx1A2A3A4A5A54321d）（AAAAAxxfbaA机 目 上 下 返回 束 动录页页结 o1xyni定理 1.上连续在函数,）（baxf.,）（可积在baxf可积的充分条件可积的充分条件:例 1.利用定算定义计积分.d102xx解:将 0,1 n 等分,分点为niix）,1,0（ninix1,nii取）,2,1（ni机 目 上 下 返回 束 动录页页结2xy iiiixxf2）（则32ni o1xyniiinixf）（1niin1231）12）（1（6113nnnn）12）（11（61nniniixxx120102limdnlim31）12）（11（61nn2xy 注 目 上

8、下 返回 束 录页页结 注注 利用利用,133）1（233nnnn得133）1（233nnnn1）1（3）1（3）1（233nnnn1131312233端分相加两别,得1）1（3n）21（3nn即nnn3323nii12332）1（nnnnii1261）12）（1（nnn）21（3222n 121lim）2（ppppnnnnnipn1lim1nixxpd10iix例例 2.2.用定分表示下列限积极用定分表示下列限积极:ninnin111lim）1（121lim）2（ppppnnn解:ninnin111lim）1（nninin11lim1iixxxd110机 目 上 下 返回 束 动录页页结x0

9、1ni1ni 说明说明:机 目 上 下 返回 束 动录页页结,）（baCxf设,d）（存在则baxxf根据定积分定可得如下近似算方法义计:）,1,0（nixiaxi,nabx）,1,0（）（niyxfii记baxxfd）（.1xyxyxyn110）（110nnabyyy 将 a,b 分成 n 等份:abxoyix1ix（左矩形公式）（21nnabyyy（右矩形公式）baxxfd）（.2xyxyxyn21 baxxfd）（.3xyyii211）（）（21110nnyyyynab（梯形公梯形公式式）11ni了提高精度为,可建立更好的求公式还积,例如辛普森机 目 上 下 返回 束 动录页页结abxo

10、yix1ix公式,化求公式等复积,有成的件可供用并现数学软调.性质 1 常数因子可提到积分号外性质 2 函数代数和的积分等于它们积分的代数和。babadxxfkdxxkf）（）（bababadxxgdxxfdxxgxf）（）（）（）（5.2 定积分的简单性质 性质 3 若在区间 a,b 上 f（x）K，则性质 4 定积分的区间可加性 若 c 是 a,b 内的任一点，则）（）（abKdxkkdxdxxfbabababccabadxxfdxxfdxxf）（）（）（abdxdxdxxfbababa1）（abc abc 当 当 a,a,b,cb,c 的相位置任意对时的相位置任意对时,例例如如,cba有

11、则caxxfd）（baxxfd）（cbxxfd）（caxxfd）（baxxfd）（cbxxfd）（caxxfd）（bcxxfd）（机 目 上 下 返回 束 动录页页结 性质 5 如果在区间 a,b 上，f（x）g（x），则性质 6 设在区间 a,b 上（a1 收 时敛;p1 散 时发.,因此,当 p 1 时,反常分收 积敛,其值为;11pap 当 p1 时,反常分积发散.机 目 上 下 返回 束 动录页页结 例例 2.2.算广计义积算广计义积分分.）0（d0ptettp解:tpept原式00d1teptptpep21021p机 目 上 下 返回 束 动录页页结 2 2、暇积分无界函数的积、暇积

12、分无界函数的积分分引例:曲线xy1所成的围1x与 x 轴,y 和直轴线口曲梯形的面开边积可作记10dxxA其含可理解 义为10dlimxxA12lim0 x）1（2lim02xy10A1xy机 目 上 下 返回 束 动录页页结 定义定义 2.2.设设,（）（baCxf而在点 a 的右域无界邻内,存在,（）dlim（）dbbattaf xxf xx+=蝌蝌暇分这时称积xxfbad）（收 敛;如果上述限不存在极,就暇分称积xxfbad）（散 发.似地 类,若,）,）（baCxf而在 b 的左域无界邻内,xxfxxftabtbad）（limd）（若限极lim（）dbttaf xx+数 f（x）在（a

13、,b 上的暇分积,记作定则义机 目 上 下 返回 束 动录页页结此限函 则称极为 ,）（,）（外连续上除点在若bcacbaxf而在点 c 的无界点常称域无界 邻内,xxfbad）（xxfcad）（xxfbcd）（为瑕点.机 目 上 下 返回 束 动录页页结定则义 112dxx211111x下述解法是否正确:,分收积敛例例 3.3.算暇分计积算暇分计积0arcsinatatlim.）0（d022axaxa解:然瑕点显为 a,所以原式atlimatlim2机 目 上 下 返回 束 动录页页结例 4.暇分讨论积112dxx的收性 敛.解:112dxx012dxx102dxx101limtxtttx1

14、01lim所以暇分积112dxx散 发.tdxxa02210arcsintax 备用题备用题 试试证证xxxxxd11d04204,求其 并值.解:041dxx令xt1tttd1112014tttd1042xxxd1042xxxxxxxd11d211d0420404xxxd1121042xxxxd121021122机 目 上 下 返回 束 动录页页结 xxxxd121021122）1（d2）（121021xxxx012arctan221xx22机 目 上 下 返回 束 动录页页结 5.6.25.6.2、函数 函数1.定义:函数）0（d）（01sxexsxs 2.2.性质性质（1）推公式递机 目

15、 上 下 返回 束 动录页页结证:0d）1（xexsxs）0（）（）1（ssss（分部分积）0dxsex01d0 xexsexxsxs）（ss注意到:0d）1（xex1有,N n）（）1（nnn）1（）1（nnn）1（!n!n （2）（2）机 目 上 下 返回 束 动录页页结得令,2ux）0（d）（01sxexsxs）0（d2）（0122suuessu0d2ueu21212 习题课习题课一、与定积分概念有关的问题的解法机 目 上 下 返回 束 动录页页结二、有关定积分计算和证明的方法定积分及其相关问题 第五章 一、与定积分概念有关的问题的解法一、与定积分概念有关的问题的解法1.用定分念性求限积概与质极2.用定分性估积质值3.限分有的与变积关问题机 目 上 下 返回 束 动录页页结例 1.求.d1lim10 xeexxxnn解:因为 1,0 x时,xxneex10所以xeexxxnd1100 xxnd1011n利用逼准得夹则0d1lim10 xee