高等数学第五章定积分及其应用PPT格式课件下载.ppt

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1）分割.在区间a,b中任意入插n1个分点bxxxxxann1210,1iiixx用直线ixx曲梯形分成将边n小曲梯个边形;

2）近似.在第i窄曲梯形上个边任取作以,1iixx底为,）（if高的小矩形为,以此小并梯形面近似代替相积应窄曲梯形面边积,iA得）（）（1iiiiiixxxxfA）,2,1,nii机目上下返回束动录页页结3）3）求和求和.niiAA1niiixf1）（4）取极限.令,max1inix曲梯形面则边积niiAA10limniiixf10）（lim机目上下返回束动录页页结xabyo1xix1ixi1、分割将a，b分割为n小个区间2、取介点在每小上任取一点个区间ii）（if3、局部以直代曲每小上的曲个区间线y=f（x）用直段线y=f（i）代替）（xfy0xa1x2x1ixix1nxbxn4、作和：

S=11）（xf22）（xfiixf）（nnxf）（）（）（11iiiniiixxxxfyx1、分割将a，b分割为n小个区间2、取介点在每小上任取一点个区间i3、局部以直代曲每小上的曲个区间线y=f（x）用直段线y=f（i）代替）（xfy4、作和：

S=11）（xf22）（xfiixf）（nnxf）（）（）（11iiiniiixxxxfbaniiidxxfxfS）（）（lim10|5、取极限）max|（|）（lim10|iniiixxfSabyx2.2.变速直线运动的路程变速直线运动的路程某物体作直设线运动,）（21TTCtvv且,0）（tv求在物体所的路程运动时间内经过s.解决步骤:

1）分割.,1iiitt任取分成将它,）,2,1（,1nittii在每小段上物体个经2）近似.,）（代替速变以iv得iiitvs）（,1,21分点个中任意入插在nTT）,2,1（nisi）,2,1（ni已知速度机目上下返回束动录页页结n小个段的路程过为3）3）求和求和.iniitvs1）（4）取极限.iniitvs10）（lim）max（1init上述的两个问题共性:

解的方法步相同决问题骤:

“分割,近似,求和,取限极”所求量限式相同极结构:

特殊乘和式的限积极机目上下返回束动录页页结abxo5.1.25.1.2定积分概念定积分概念,）（上定在义函设数baxf的若对,ba任一种分法,210bxxxxan,1iiixxx令任取,1iiixxi时只要0max1inixiniixf1）（于确定的限总趋极I,此限则称极I函为数）（xf在区间,ba上的定积分,1xix1ixbaxxfd）（即baxxfd）（iniixf10）（lim此时称f（x）在a,b上可积.作记机目上下返回束动录页页结baxxfd）（iniixf10）（lim分上限积分下限积被函积数被表式积达分量积变分和积分称为积区间,ba定分被函及分有积仅与积数积区间关,而分与积量用什字母表示无变么关,即baxxfd）（battfd）（bauufd）（机目上下返回束动录页页结如果如果0）（xf，则，则（）d0bafxx,此时此时（）dbafxx表示由曲线表示由曲线（）yfx，,xaxb及及x轴所围成的曲边轴所围成的曲边梯形的面积梯形的面积A，即，即baAxxfd）（.xOyabA如果如果）（xf0，则则（）d0bafxx，此时此时（）dbafxx表示由曲线表示由曲线（）yfx，,xaxb及及x轴所围成的曲轴所围成的曲边梯形的面积边梯形的面积A的的负值负值，即，即（）dbafxxA.xOyab-A123（）d.bafxxAAA=-+如果如果）（xf在在,ba上有上有正有负时，则正有负时，则（）dbafxx表示由表示由曲线曲线）（xfy，直线，直线,xaxb及及x轴所围成的平面图形的轴所围成的平面图形的面积位于面积位于x轴上方的面积减去轴上方的面积减去位于位于x轴下方的面积，如右图轴下方的面积，如右图所示，即所示，即3A）（xfyOabxy2A1A定积分的几何意义定积分的几何意义:

Axxfxfbad）（,0）（曲梯形面边积baxxfxfd）（,0）（曲梯形面的边积负值abyx1A2A3A4A5A54321d）（AAAAAxxfbaA机目上下返回束动录页页结o1xyni定理1.上连续在函数,）（baxf.,）（可积在baxf可积的充分条件可积的充分条件:

例1.利用定算定义计积分.d102xx解:

将0,1n等分,分点为niix）,1,0（ninix1,nii取）,2,1（ni机目上下返回束动录页页结2xyiiiixxf2）（则32nio1xyniiinixf）（1niin1231）12）（1（6113nnnn）12）（11（61nniniixxx120102limdnlim31）12）（11（61nn2xy注目上下返回束录页页结注注利用利用,133）1（233nnnn得133）1（233nnnn1）1（3）1（3）1（233nnnn1131312233端分相加两别,得1）1（3n）21（3nn即nnn3323nii12332）1（nnnnii1261）12）（1（nnn）21（3222n121lim）2（ppppnnnnnipn1lim1nixxpd10iix例例2.2.用定分表示下列限积极用定分表示下列限积极:

ninnin111lim）1（121lim）2（ppppnnn解:

ninnin111lim）1（nninin11lim1iixxxd110机目上下返回束动录页页结x01ni1ni说明说明:

机目上下返回束动录页页结,）（baCxf设,d）（存在则baxxf根据定积分定可得如下近似算方法义计:

）,1,0（nixiaxi,nabx）,1,0（）（niyxfii记baxxfd）（.1xyxyxyn110）（110nnabyyy将a,b分成n等份:

abxoyix1ix（左矩形公式）（21nnabyyy（右矩形公式）baxxfd）（.2xyxyxyn21baxxfd）（.3xyyii211）（）（21110nnyyyynab（梯形公梯形公式式）11ni了提高精度为,可建立更好的求公式还积,例如辛普森机目上下返回束动录页页结abxoyix1ix公式,化求公式等复积,有成的件可供用并现数学软调.性质1常数因子可提到积分号外性质2函数代数和的积分等于它们积分的代数和。

babadxxfkdxxkf）（）（bababadxxgdxxfdxxgxf）（）（）（）（5.2定积分的简单性质性质3若在区间a,b上f（x）K，则性质4定积分的区间可加性若c是a,b内的任一点，则）（）（abKdxkkdxdxxfbabababccabadxxfdxxfdxxf）（）（）（abdxdxdxxfbababa1）（abcabc当当a,a,b,cb,c的相位置任意对时的相位置任意对时,例例如如,cba有则caxxfd）（baxxfd）（cbxxfd）（caxxfd）（baxxfd）（cbxxfd）（caxxfd）（bcxxfd）（机目上下返回束动录页页结性质5如果在区间a,b上，f（x）g（x），则性质6设在区间a,b上（a1收时敛;

p1散时发.,因此,当p1时,反常分收积敛,其值为;

11pap当p1时,反常分积发散.机目上下返回束动录页页结例例2.2.算广计义积算广计义积分分.）0（d0ptettp解:

tpept原式00d1teptptpep21021p机目上下返回束动录页页结22、暇积分无界函数的积、暇积分无界函数的积分分引例:

曲线xy1所成的围1x与x轴,y和直轴线口曲梯形的面开边积可作记10dxxA其含可理解义为10dlimxxA12lim0x）1（2lim02xy10A1xy机目上下返回束动录页页结定义定义2.2.设设,（）（baCxf而在点a的右域无界邻内,存在,（）dlim（）dbbattafxxfxx+=蝌蝌暇分这时称积xxfbad）（收敛;

如果上述限不存在极,就暇分称积xxfbad）（散发.似地类,若,）,）（baCxf而在b的左域无界邻内,xxfxxftabtbad）（limd）（若限极lim（）dbttafxx+数f（x）在（a,b上的暇分积,记作定则义机目上下返回束动录页页结此限函则称极为,）（,）（外连续上除点在若bcacbaxf而在点c的无界点常称域无界邻内,xxfbad）（xxfcad）（xxfbcd）（为瑕点.机目上下返回束动录页页结定则义112dxx211111x下述解法是否正确:

分收积敛例例3.3.算暇分计积算暇分计积0arcsinatatlim.）0（d022axaxa解:

然瑕点显为a,所以原式atlimatlim2机目上下返回束动录页页结例4.暇分讨论积112dxx的收性敛.解:

112dxx012dxx102dxx101limtxtttx101lim所以暇分积112dxx散发.tdxxa02210arcsintax备用题备用题试试证证xxxxxd11d04204,求其并值.解:

041dxx令xt1tttd1112014tttd1042xxxd1042xxxxxxxd11d211d0420404xxxd1121042xxxxd121021122机目上下返回束动录页页结xxxxd121021122）1（d2）（121021xxxx012arctan221xx22机目上下返回束动录页页结5.6.25.6.2、函数函数1.定义:

函数）0（d）（01sxexsxs2.2.性质性质

（1）推公式递机目上下返回束动录页页结证:

0d）1（xexsxs）0（）（）1（ssss（分部分积）0dxsex01d0xexsexxsxs）（ss注意到:

0d）1（xex1有,Nn）（）1（nnn）1（）1（nnn）1（!

n!

n

（2）

（2）机目上下返回束动录页页结得令,2ux）0（d）（01sxexsxs）0（d2）（0122suuessu0d2ueu21212习题课习题课一、与定积分概念有关的问题的解法机目上下返回束动录页页结二、有关定积分计算和证明的方法定积分及其相关问题第五章一、与定积分概念有关的问题的解法一、与定积分概念有关的问题的解法1.用定分念性求限积概与质极2.用定分性估积质值3.限分有的与变积关问题机目上下返回束动录页页结例1.求.d1lim10xeexxxnn解:

因为1,0x时,xxneex10所以xeexxxnd1100xxnd1011n利用逼准得夹则0d1lim10xee