1、3. 如图从 ABCD顶点C向AB和AD的延长线引垂线CE和CF,垂足分别为E、F,求证:。证明:过B作BMAC于M,过D作DNAC于N (1) 又 (2) (1)+(2) 又 AN=CM 三、作延长线例5. 如图,RtABC中,CD为斜边AB上的高,E为CD的中点,AE的延长线交BC于F,FGAB于G,求证:FG=CFBF解析:欲证式即 由“三点定形”,BFG与CFG会相似吗?显然不可能。(因为BFG为Rt),但由E为CD的中点,可设法构造一个与BFG相似的三角形来求解。 不妨延长GF与AC的延长线交于H则 又ED=EC FG=FH 又易证RtCFHRtGFB FGFH=CFBF FG=FH
2、 FG2=CFBF四、作中线例6 如图,中,ABAC,AEBC于E,D在AC边上,若BD=DC=EC=1,求AC。解:取BC的中点M,连AM ABAC AM=CM 1=C 又 BD=DC 又 DC=1 MC=BC (1) 又 又 EC=1 (2) 由(1)(2)得, 小结:利用等腰三角形有公共底角,则这两个三角形相似,取BC中点M,构造与相似是解题关键练习题 1、在ABC中,D为AC上的一点,E为CB延长线上的一点,BE=AD,DE交AB于F。求证:EFBC=ACDF2、中,AC=BC,P是AB上一点,Q是PC上一点(不是中点),MN过Q且MNCP,交AC、BC于M、N,求证:例1: 已知:如
3、图,ABC中,ABAC,BDAC于D BC22CDAC 证法一(构造2CD):如图,在AC截取DEDC,BDAC于D,BD是线段CE的垂直平分线,BC=BE,C=BEC,又 ABAC,C=ABC BCEACB, BC22CD证法二(构造2AC):如图,在CA的延长线上截取AEAC,连结BE, ABAC, ABAC=AEEBC=90,又BDACEBC=BDC=EDB=90E=DBC,EBCBDC即证法三(构造) :如图,取BC的中点E,连结AE,则EC=又AB=AC,AEBC,ACE=CAEC=BDC=90ACEBCD即证法四(构造):如图,取BC中点E,连结DE,则CE= BDAC,BE=EC
4、=EB,EDC=C又AB=AC,ABC=C,ABCEDCJ即 例2已知梯形中,是腰上的一点,连结(1)如果,求的度数;(2)设和四边形的面积分别为和,且,试求的值(1)设,则解法1如图,延长、交于点, ,为的中点又 ,又 为等边三角形 故 解法2如图作分别交、于点、则,得平行四边形同解法1可证得为等边三角形故解法3如图作交于,交的延长线于作,分别交、于点、则,得矩形 ,又 ,故为、的中点以下同解法1可得是等边三角形解法4如图,作,交于,作,交于,得平行四边形,且读者可自行证得是等边三角形,故解法5如图延长、交于点,作,分别交、于点、,得平行四边形可证得为的中点,则,故得为等边三角形,故解法6如
5、图(补形法),读者可自行证明是等边三角形,得(注:此外可用三角形相似、等腰三角形三线合和一、等积法等)(2)设,则解法1(补形法)如图补成平行四边形,连结,则设,则,由得, ,解法2(补形法)如图,延长、交于点,又设,则,解法3(补形法)如图连结,作交延长线于点连结则,故(1)故(2)由(1)、(2)两式得即解法4(割补法)如图连结与的中点并延长交延长线于点,如图,过、分别作高、,则且,又,故说明 本题综合考查了等腰三角形的性质,相似三角形的判定和性质,解题关键是作辅助线,构造相似三角形. 例3如图4-1,已知平行四边ABCD中,E是AB的中点,连E、F交AC于G求AG:AC的值解法1: 延长
6、FE交CB的延长线于H, 四边形ABCD是平行四边形, , H=AFE,DAB=HBE又AE=EB, AEFBEH,即AF=BH, , ,即 ADCH,AGF=CGH,AFG=BHE, AFGCGH AG:GC=AF:CH, AG:GC=1:4, AG:AC=1:5解法2: 如图42,延长EF与CD的延长线交于M,由平行四边形ABCD可知,即ABMC, AF:FD=AE:MD,AG:GC=AE:MC , AF:FD=1:2, AE:MD=1:2 AE:MC=1:4,即AG:4,5例4、如图45,B为AC的中点,E为BD的中点,则AF:AE=_.取CF的中点G,连接BG B为AC的中点, BG:
7、AF=1:2,且BGAF,又E为BD的中点, F为DG的中点 EF:BG=1:故EF:4, AF:AE=4:3例5、如图4-7,已知平行四边形ABCD中,对角线AC、BD交于O点,E为AB延长线上一点,OE交BC于F,若AB=a,BC=b,BE=c,求BF的长 过O点作OMCB交AB于M, O是AC中点,OMCB, M是AB的中点,即, OM是ABC的中位线,且OMBC,EFB=EOM,EBF=EMO BEFMOE,即,. 如图4-8,延长EO与AD交于点G,则可得AOGCOF, AG=FC=b-BF, BFAG,即, .解法3: 延长EO与CD的延长线相交于N,则BEF与CNF的对应边成比例
8、,即解得.例6、已知在ABC中,AD是BAC的平分线求证:分析1 比例线段常由平行线而产生,因而研究比例线段问题,常应注意平行线的作用,在没有平行线时,可以添加平行线而促成比例线段的产生此题中AD为ABC内角A的平分线,这里不存在平行线,于是可考虑过定点作某定直线的平行线,添加了这样的辅助线后,就可以利用平行关系找出相应的比例线段,再比较所证的比例式与这个比例式的关系,去探求问题的解决证法1: 如图49,过C点作CEAD,交BA的延长线于E在BCE中, DACE, 又 CEAD, 1=3,2=4,且AD平分BAC, 1=2,于是3=4, AC=AE代入式得分析2 由于BD、CD是点D分BC而得
9、,故可过分点D作平行线证法2: 如图410,过D作DEAC交AB于E,则2=3 1=2, 1=3于是EA=ED又, , .分析3 欲证式子左边为AB:AC,而AB、AC不在同一直线上,又不平行,故考虑将AB转移到与AC平行的位置证法3: 如图411,过B作BEAC,交AD的延长线于E,则2=E 1=2, 1=E,AB=BE又, .分析4 由于AD是BAC的平分线,故可过D分别作AB、AC的平行线,构造相似三角形求证证法4 如图412,过D点作DEAC交AB于E,DFAB交AC于F易证四边形AEDF是菱形则 DE=DF由BDEDFC,得又 , .一、如何证明三角形相似例1、如图:点G在平行四边形
10、ABCD的边DC的延长线上,AG交BC、BD于点E、F,则AGD 。例2、已知ABC中,AB=AC,A=36,BD是角平分线,求证:ABCBCD例3:已知,如图,D为ABC内一点连结ED、AD,以BC为边在ABC外作CBE=ABD,BCE=BADDBEABC例4、矩形ABCD中,BC=3AB,E、F,是BC边的三等分点,连结AE、AF、AC,问图中是否存在非全等的相似三角形?请证明你的结论。二、如何应用相似三角形证明比例式和乘积式例5、ABC中,在AC上截取AD,在CB延长线上截取BE,使AD=BE,求证:DFAC=BCFE例6:已知:如图,在ABC中,BAC=900,M是BC的中点,DMBC于点E,交BA的延长线于点D。(1)MA2=MDME;(2)例7:如图ABC中,AD为中线,CF为任一直线,CF交AD于E,交AB于F,求证:AE:ED=2AF:FB。三、如何用相似三角形证明两角相等、两线平行和线段相等。例8:如图E、F分别是正方形ABCD的边AB和AD上的点,且。AEF=FBD例9、在平行四边形ABCD内,AR、BR、CP、DP各为四角的
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