相似三角形中证明技巧Word下载.doc
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3.如图从ABCD顶点C向AB和AD的延长线引垂线CE和CF，垂足分别为E、F，求证：
。
证明：
过B作BM⊥AC于M，过D作DN⊥AC于N∴∽
∴∴
（1）
又∽∴∴
（2）
（1）+
（2）
又∴AN=CM
∴
三、作延长线
例5.如图，RtABC中，CD为斜边AB上的高，E为CD的中点，AE的延长线交BC于F，FGAB于G，求证：
FG=CFBF
解析：
欲证式即由“三点定形”，ΔBFG与ΔCFG会相似吗？
显然不可能。
（因为ΔBFG为RtΔ），但由E为CD的中点，∴可设法构造一个与ΔBFG相似的三角形来求解。
不妨延长GF与AC的延长线交于H
则
又ED=EC∴FG=FH又易证RtΔCFH∽RtΔGFB
∴∴FG·
FH=CF·
BF
∵FG=FH∴FG2=CF·
BF
四、作中线
例6如图，中，AB⊥AC，AE⊥BC于E，D在AC边上，若BD=DC=EC=1，求AC。
解：
取BC的中点M，连AM∵AB⊥AC∴AM=CM∴∠1=∠C
又BD=DC∴∴
∴∽∴又DC=1MC=BC
∴
（1）
又∽又∵EC=1∴
（2）
由
（1）
（2）得，∴
小结：
利用等腰三角形有公共底角，则这两个三角形相似，取BC中点M，构造与相似是解题关键
练习题
1、在△ABC中，D为AC上的一点，E为CB延长线上的一点，BE=AD，DE交AB于F。
求证：
EF×
BC=AC×
DF
2、中，，AC=BC，P是AB上一点，Q是PC上一点（不是中点），MN过Q且MN⊥CP，交AC、BC于M、N，求证：
例1：
已知：
如图，△ABC中，AB＝AC，BD⊥AC于D．
BC2＝2CD·
AC．
证法一（构造2CD）：
如图，在AC截取DE＝DC，
∵BD⊥AC于D，
∴BD是线段CE的垂直平分线，
∴BC=BE，∴∠C=∠BEC，
又∵AB＝AC，
∴∠C=∠ABC．
∴△BCE∽△ACB．
∴，∴
∴BC2＝2CD·
证法二（构造2AC）：
如图，在CA的延长线上截取AE＝AC，连结BE，
∵AB＝AC，
∴AB＝AC=AE．
∴∠EBC=90°
，
又∵BD⊥AC．
∴∠EBC=∠BDC=∠EDB=90°
∴∠E=∠DBC，
∴△EBC∽△BDC
∴即
证法三（构造）：
如图，取BC的中点E，连结AE，则EC=．
又∵AB=AC，
∴AE⊥BC，∠ACE=∠C
∴∠AEC=∠BDC=90°
∴△ACE∽△BCD．
∴即．
证法四（构造）：
如图，取BC中点E，连结DE，则CE=．
∵BD⊥AC，∴BE=EC=EB，
∴∠EDC=∠C
又∵AB=AC，∴∠ABC=∠C，
∴△ABC∽△EDC．
∴J即．
例2．已知梯形中，，，是腰上的一点，连结
（1）如果，，，求的度数；
（2）设和四边形的面积分别为和，且，试求的值
（1）设，则
解法1 如图，延长、交于点
，，，为的中点
又，又为等边三角形故
解法2 如图
作分别交、于点、
则，得平行四边形
同解法1可证得为等边三角形
故
解法3 如图
作交于，交的延长线于
作，分别交、于点、
则，得矩形
，
又，故为、的中点
以下同解法1可得是等边三角形
解法4 如图，
作，交于，作，交于，得平行四边形，且
读者可自行证得是等边三角形，故
解法5 如图
延长、交于点，作，分别交、于点、，得平行四边形
可证得为的中点，则，故
得为等边三角形，故
解法6 如图（补形法），
读者可自行证明是等边三角形，
得
（注：
此外可用三角形相似、等腰三角形三线合和一、等积法等）
（2）设，则
解法1（补形法）如图
补成平行四边形，连结，则
设，则，
由得，，
解法2 （补形法）如图，延长、交于点，
，，又
设，则，，
解法3（补形法）如图
连结，作交延长线于点
连结
则∽，故
（1）
故
（2）
由
（1）、
（2）两式得 即
解法4（割补法）如图
连结与的中点并延长交延长线于点，如图，过、分别作高、，则且，
，又
，，故
说明本题综合考查了等腰三角形的性质，相似三角形的判定和性质，解题关键是作辅助线，构造相似三角形.
例3．如图4-1，已知平行四边ABCD中，E是AB的中点，，连E、F交AC于G．求AG：
AC的值．
解法1：
延长FE交CB的延长线于H，
∵四边形ABCD是平行四边形，∴，∴∠H=∠AFE，∠DAB=∠HBE
又AE=EB，∴△AEF≌△BEH，即AF=BH，
∵，∴，即．
∵AD∥CH，∠AGF=∠CGH，∠AFG=∠BHE，∴△AFG∽△CGH．∴AG：
GC=AF：
CH，
∴AG：
GC=1：
4，∴AG：
AC=1：
5．
解法2：
如图4—2，延长EF与CD的延长线交于M，由平行四边形ABCD可知，，即AB∥MC，
∴AF：
FD=AE：
MD，AG：
GC=AE：
MC．∵，∴AF：
FD=1：
2，
∴AE：
MD=1：
2．
∵．∴AE：
MC=1：
4，即AG：
4，
5
例4、如图4—5，B为AC的中点，E为BD的中点，则AF：
AE=___________.
取CF的中点G，连接BG．∵B为AC的中点，
∴BG：
AF=1：
2，且BG∥AF，又E为BD的中点，
∴F为DG的中点．
∴EF：
BG=1：
故EF：
4，∴AF：
AE=4：
3．
例5、如图4-7，已知平行四边形ABCD中，对角线AC、BD交于O点，E为AB延长线上一点，OE交BC于F，若AB=a，BC=b，BE=c，求BF的长．
过O点作OM∥CB交AB于M，
∵O是AC中点，OM∥CB，
∴M是AB的中点，即，
∴OM是△ABC的中位线，，
且OM∥BC，∠EFB=∠EOM，∠EBF=∠EMO．
∴△BEF∽△MOE，∴，
即，∴.
如图4-8，延长EO与AD交于点G，则可得△AOG≌△COF，
∴AG=FC=b-BF，∵BF∥AG，∴．即，
∵∴.
解法3：
延长EO与CD的延长线相交于N，则△BEF与△CNF的对应边成比例，即．
解得.
例6、已知在△ABC中，AD是∠BAC的平分线．求证：
．
分析1比例线段常由平行线而产生，因而研究比例线段问题，常应注意平行线的作用，在没有平行线时，可以添加平行线而促成比例线段的产生．此题中AD为△ABC内角A的平分线，这里不存在平行线，于是可考虑过定点作某定直线的平行线，添加了这样的辅助线后，就可以利用平行关系找出相应的比例线段，再比较所证的比例式与这个比例式的关系，去探求问题的解决．
证法1：
如图4—9，过C点作CE∥AD，交BA的延长线于E．在△BCE中，∵DA∥CE，∴①
又∵CE∥AD，∴∠1=∠3，∠2=∠4，且AD平分∠BAC，
∵∠1=∠2，于是∠3=∠4，
∴AC=AE．代入②式得．
分析2由于BD、CD是点D分BC而得，故可过分点D作平行线．
证法2：
如图4—10，过D作DE∥AC交AB于E，则∠2=∠3．
∵∠1=∠2，∴∠1=∠3．
于是EA=ED．
又∵，∴，∴.
分析3欲证式子左边为AB：
AC，而AB、AC不在同一直线上，又不平行，故考虑将AB转移到与AC平行的位置．
证法3：
如图4—11，过B作BE∥AC，交AD的延长线于E，则∠2=∠E．
∵∠1=∠2，∴∠1=∠E，AB=BE．
又∵，∴.
分析4由于AD是∠BAC的平分线，故可过D分别作AB、AC的平行线，构造相似三角形求证．
证法4如图4—12，过D点作DE∥AC交AB于E，DF∥AB交AC于F．
易证四边形AEDF是菱形．则DE=DF．
由△BDE∽△DFC，得．
又∵，∴.
一、如何证明三角形相似
例1、如图：
点G在平行四边形ABCD的边DC的延长线上,AG交BC、BD于点E、F，则△AGD∽∽。
例2、已知△ABC中，AB=AC，∠A=36°
，BD是角平分线，求证：
△ABC∽△BCD
例3：
已知，如图，D为△ABC内一点连结ED、AD，以BC为边在△ABC外作∠CBE=∠ABD，∠BCE=∠BAD
△DBE∽△ABC
例4、矩形ABCD中，BC=3AB，E、F，是BC边的三等分点，连结AE、AF、AC，问图中是否存在非全等的相似三角形？
请证明你的结论。
二、如何应用相似三角形证明比例式和乘积式
例5、△ABC中，在AC上截取AD，在CB延长线上截取BE，使AD=BE，求证：
DFAC=BCFE
例6：
已知：
如图，在△ABC中，∠BAC=900，M是BC的中点，DM⊥BC于点E，交BA的延长线于点D。
（1）MA2=MDME；
（2）
例7：
如图△ABC中，AD为中线，CF为任一直线，CF交AD于E，交AB于F，求证：
AE：
ED=2AF：
FB。
三、如何用相似三角形证明两角相等、两线平行和线段相等。
例8：
如图E、F分别是正方形ABCD的边AB和AD上的点，且。
∠AEF=∠FBD
例9、在平行四边形ABCD内，AR、BR、CP、DP各为四角的
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