二次函数中寻找等腰三角形问题Word文件下载.docx

1、0）的图象经过点 B（ 14,0 ）和C （0, 8）,对称轴 为 x = 4.（1）求该抛物线的解析式；（2）点D在线段AB上且AD= AC,若动点P从A出发沿线段AB以每秒1个单位长度的速度匀速运动，同时另一动点 Q以某一速度从 C出发沿线段CB匀速运动，问是否存在某一时刻，使线段 PQ被直线CD垂直平分？若存在，请求出此时的时间 t （秒）和点Q的运动速度；若不存在，请说明理由；（3） 在（2）的结论下，直线 x= 1上是否存在点 M使厶MPQ为等腰三角形？若存在，_ 26.在平面直角坐标系中，二次函数 y ax bx 2的图象与x轴交于A （- 3, 0）, B（1, 0）两点，与y轴

2、交于点C.（1）求这个二次函数的关系解析式；（2） 点P是直线AC上方的抛物线上一动点，是否存在点 只使厶ACP的面积最大？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由；（3） 在平面直角坐标系中，是否存在点 Q使厶BCQ是以BC为腰的等腰直角三角形？右存在，直接写出点 Q的坐标；右不存在，说明理由;7 如图所示，已知抛物线的顶点为坐标原点 O,矩形ABCD勺顶点A，D在抛物线上，且AD平行x轴，交y轴于点F，AB的中点E在x轴上，B点的坐标为（2，1 ），点P （a， b）在抛物线上运动.（点P异于点O（1）求此抛物线的解析式.（2） 过点P作CB所在直线的垂线，垂足为点 R,1求证：PF=P

3、R2是否存在点P,使得 PFR为等边三角形？若存在，求出点 P的坐标；若不存在，请说明理由； 延长PF交抛物线于另一点 Q,过Q作BC所在直线的垂线，垂足为 S,试判断 RSF的形状.CFBOE 、 AX/D F八8.在平面直角坐标系 xoy中，一块含60角的三角板作如图摆放， 斜边AB在x轴上,C三点的抛物线解析式；（2）现有与上述三角板完全一样的三角板 DEF （其中/ EDF=90，/ DEF=60 ）,把顶点E放在线段AB上（点E是不与A、B两点重合的动点），并使ED所在直线经过点 C.此时，EF所 在直线与（1 ）中的抛物线交于第一象限的点 M1设AE=x当x为何值时， OCOA O

4、BC2在的条件下探究：抛物线的对称轴上是否存在点 P使APEM是等腰三角形，若存在，请求点P的坐标；若不存在，请说明理由.9.如图 1,在 Rt AOB中，/ AOB=90 , AO=8j3，/ ABO=30 .动点 P 在线段 AB上从点A向终点B以每秒2 3个单位的速度运动， 设运动时间为t秒.在直线0B上取两点M N作等边 PMN（1）求当等边厶PMN的顶点M运动到与点0重合时t的值.（2）求等边 PMN的边长（用t的代数式表示）；（3）如果取0B的中点D,以0D为边在Rt AOB内部作如图2所示的矩形 ODCE点C 在线段AB上.设等边厶PMN和矩形ODCE重叠部分的面积为 S,请求出

5、当0 t 2秒时 S与t的函数关系式，并求出 S的最大值.（4）在（3）中，设PN与EC的交点为R,是否存在点 农使厶ODF是等腰三角形？图21 210 .如图，已知抛物线y x2 bx c与y轴相交于C,与x轴相交于A B,点A的2坐标为（2, 0）,点C的坐标为（0, -1 ）.（1）求抛物线的解析式；（2）点E是线段AC上一动点，过点 E作DEI x轴于点D,连结DC,当厶DCE的面积最大时，求点D的坐标；（3） 在直线BC上是否存在一点 巳使厶ACP为以AC为腰的等腰三角形，若存在，求点P的坐标，若不存在，说明理由.参考答案1.【解析】（1）根据题意可得点 C的纵坐标为3,代入直线解析

6、式可得岀点 C的横坐标，继而也可得岀点D的坐标；（2）由题意可得点 C和点D关于抛物线的对称轴对称，从而得岀抛物线的对称轴为，再由抛物线的顶点在直线，可得出顶点坐标为 （），设出顶点式，代入点 C的坐标即可得出答案.（3 ）分EF=EG GF=EG GF=EF三种情况分析。解：C（4，），D（1，）；顶点（），解析式；EF=EGGF=EGGF=EF3.解：由勾股定理，得（ oC+oB）+（ oC+oA）=b6+aC=aB，又 0B=3 OA=1, AB=4, C =曲，.点 C的坐标是 2 闪由题意可设抛物线的函数解析式为 y=a （x- 1） （x+3），把C （0，、彳）代入fl = ，函

7、数解析式得 3y =- 仪 1 /广上丰3丿所以，抛物线的函数解析式为 3（2）截得三条线段的数量关系为 KD=DE=EF理由如下：可求得直麓1】的解析式再y = + 直建1：的解析式丸y二乜；抛韧無的对称轴为直线EU由此可求得豈K的坐标酋（7 洛）, 点D的坐标为（-1,坯），点E的坐标为（-1, 点F的坐标肯【70）C - （ - It （3）当点M的坐标分别为 时， MCK为等腰三角形.（i ）连接BK交抛物线于点 G,易知点G的坐标为（-2,又点C的坐标为（0, 可求得 AB=BK=4且/ ABK=60，即 ABK为正三角形, CGK为正三角形当12与抛物线交于点 G,即12 / AB

8、时，符合题意，此时点2x3（ii ）连接CD由KD=h, CK=CG=2 / CKD=30，易知 KDC为等腰三角形,当12过抛物线顶点D时，符合题意，此时点 M2坐标为（-1, ）,（iii ）当点M在抛物线对称轴右边时，只有点 M与点A重合时，满足 CM=CK但点A C K在同一直线上，不能构成三角形，宀 （-2, J3）, （ -1,埠）综上所述，当点 M的坐标分别为 时， MCK为等腰三角形.4. （1）设 y=ax （x- 4）,把 A点坐标（3, 3）代入得：a=- 1,函数的解析式为 y= - x2+4x, （2） 03 时，PC=CD- PD=m 3m OC颌口，由勾股定理得：

9、 Op=oD+Dp=m+m （ m- 4） 2,1当 OC=PC寸，-.,解得：2当 OC=O时，一 -.T- 1m=5, m=3 （舍去），二 P （ 5, - 5）；3当 PC=OP寸，m2 （m- 3） 2=m2+m2 （ m- 4） 2,m=4 二 P （ 4, 0）,存在 P 的坐标是（3- . :, 1+2. 一：）或（3+ 二，1-2 .二）或（5, - 5）或（4, 0）.（2）存在，理由如下:-X1-垂直平分 珀.AD-ACt -ZADC = ACD, dCCL0?在取曲C 中，dC= 70 +CC2- -10 AP=1Q.又肌尸&，：QDN,卩卫在寸称轴上 根据对称性可知A

10、LFDi Z.A8DQ* &Q为EC的中在RtABOC中，胆X 4朋=2屈，二笑二届，TD、Q为ABr M的中点，-.型=*卫52DFQMDQF、-皿=匹=门4尸二jW-M：工=罕=亍二卩=字=寧，4（d）设 F陋=./l +ir -D）=血 yj五 +0 X） = & 斗卩+刃,尸鸟=M1 当F0FH时，诈&+3二2逅，二M（l,20-2西）2胪 当 F4QM时，勒5土 & 十旳卄比，j = Y2T, /. M （lT-4-F2jTJiJ.（W-2jT）-3* 当 PI=QM 时，$ = -6, /- if （1,-6）卫帧（1+2厲少口7-2航）.-外 综上所述：存在 5个M点，即6.【解

11、析】 解：（1由抛物线过 A （- 3, 0）, B （1 , 0）,贝9，解得。二次函数的关系解析式为。（2）设点P坐标为（m n）,贝0。连接PO,作PML x轴于 M PN丄y轴于N。PM = , , A0=3当时，所以OC=2111tv 0,函数有最大值，当时，有最大值。此时。存在点，使 ACP的面积最大。（3）存在。点7.【解析】 解：（1）v抛物线的顶点为坐标原点， A、D关于抛物线的对称轴对称/ E是AB的中点， O是矩形ABCD寸角线的交点又 B （2, 1）,二 A （ 2, 1）、D （- 2, 1 ）。抛物线的顶点为（0, 0）,二可设其解析式为： y=ax，则有：4a= 1, a=抛物线的解析式为： y=- x2。（2）证明：由抛物线的解析式知：P （a, a），而 R （a, 1）、F （0, 1）,则：PF=PR=,PF=PR RF=,.若厶PFR为等边三角形，则由得 RF=PF=PR得:=，即：a4 8a2 48=0，得：a2= 4 （舍去），a2=12。, 2a= 2, a = 3。存在符合条件的 P点，坐标为（2, 3）、（- 2, 3）。同可证得：QF=QS在等腰 SQF中，/ 1= （180-/ SQF）。同理，在等腰 RPF中，/ 2= （ 180/ RPF）。/ QSL BC PR! BC, QS/ PR, / SQP/ RPF=180