算法设计与分析习题.docx

1、算法设计与分析习题算法设计与分析习题第一章算法引论1、 算法的定义？答：算法是指在解决问题时，按照某种机械步骤一定可以得到问题结果的处理过程。通俗讲，算法：就是解决问题的方法或过程。2、 算法的特征？答：1)算法有零个或多个输入； )算法有一个或多个输出； 3)确定性 ； )有穷性3、 算法的描述方法有几种？答：自然语言、图形、伪代码、计算机程序设计语言4、 衡量算法的优劣从哪几个方面？答：(1) 算法实现所耗费的时间（时间复杂度）； (2) 算法实现所所耗费的存储空间（空间复杂度）； (3) 算法应易于理解，易于编码，易于调试等等。5、 时间复杂度、空间复杂度定义？答：指的是算法在运行过程中

2、所需要的资源（时间、空间）多少。6、时间复杂度计算： i=1； while（i=n） i=i*2； 答：语句执行次数1次， 语句执行次数f(n), 2f(n)=n,则f(n) 0) hanoi(n-1, a, c, b); move(a,b); hanoi(n-1, c, b, a); 兔子序列（fibonaci数列 ） 递归实现：Int F(int n) if(n=2) return 1; else return F(n-1)+ F(n-2); 上楼梯问题Int F(int n) if(n=1) return 1 if(n=2) return 2; else return F(n-1)+ F

3、(n-2); 整数划分问题问题描述：将正整数n表示成一系列正整数之和，n=n1+n1+n3+将最大加数不大于m的划分个数，记作q(n,m)。正整数n的划分数p(n)=q(n,n)。 可以建立q(n,m)的如下递归关系：递归算法：Int q( int n, int m)if(n1|m1) return 0;If(n=1)|(m=1) return 1;If (nm) return q(n,n);If(n=m) return q(n,m-1)+1;else return q(n,m-1)+q(n-m,m);（2） 蛮力法：百鸡百钱问题算法设计1：设x，y，z分别为公鸡、母鸡、小鸡的数量。 约束条件

4、： x+y+z=100 且 5*x+3*y+z/3=100main( ) int x,y,z;for(x=1;x=20;x=x+1) for(y=1;y=34;y=y+1) for(z=1;z=100;z=z+1) if(100=x+y+z and 100=5*x+3*y+z/3) print(the cock number is,x)； print(the hen number is, y)；print(the chick number is z);算法分析：以上算法需要枚举尝试20*34*100=68000次。算法的效率显然太低 算法设计2： 在公鸡（x）、母鸡（y）的数量确定后，小鸡的数

5、量 z就固定为100-x-y，无需再进行枚举了 。 此时约束条件只有一个： 5*x+3*y+z/3=100 main( ) int x,y,z;for(x=1;x=20;x=x+1) for(y=1;y=33;y=y+1) z=100-x-y; if(z mod 3=0 and 5*x+3*y+z/3=100)print(the cock number is,x)； print(the hen number is, y)；print(the chick number is z); 算法分析：以上算法只需要枚举尝试20*33=660次。实现时约束条件又限定Z能被3整除时，才会判断“5*x+3*y

6、+z/3=100”。这样省去了z不整除3时的算术计算和条件判断，进一步提高了算法的效率。(3) 倒推法：穿越沙漠问题desert（ ） int dis，k，oil,k; / dis表示距终点的距离，k表示贮油点从后到前的序号 dis=500;k=1;oil=500; /初始化 while ( dis1000) print(“storepoint”,k,”distance”, 1000-dis,”oilquantity”,oil) /1000- dis则表示距起点的距离， k=k+1; /k表示储油点从后到前的序号 dis=dis+500/(2*k-1); oil= 500*k; print(“

7、storepoint”,k,”distance”,dis,”oilquantity”,oil)； 第二章 分治算法1、分治算法基本思想是什么？ 适合用分治算法解决的问题，一般具有几个特征？ 分治算法基本步骤是什么？答：1) 基本思想: 将一个难以直接解决的大问题，分割成一些规模较小的相同问题，以便各个击破，分而治之。2) 特征： 该问题的规模缩小到一定的程度就可以容易解决; 该问题可以分解为若干个规模较小的相同子问题，即该问题具有最优子结构性质； 该问题所分解出的各个子问题是相互独立的，即子问题之间不包含公共的子问题。 4)利用该问题分解出子问题解可以合并为该问题解; 3）基本步骤： 分解、求

8、小问题解、合并2、改写二分查找算法：设a1n是一个已经排好序的数组，改写二分查找算法: 当搜索元素x不在数组中时，返回小于x的最大元素位置i，和大于x的最小元素位置j； (即返回x的左、右2个元素) 当搜索元素x在数组中时，i和j相同，均为x在数组中的位置。并计算其时间复杂度？答：、设计一个合并排序的算法？（分治法解） 并计算其时间复杂度？(要求写出递推公式，及其求解过程)答：void MergeSort (int A，int low，int high) int middle; if (lowhigh) middle=(low+high)/2; /取中点 MergeSort(A,low,mid

9、dle); MergeSort(A,middle+1,high); Merge(A,low,middle,high); /合并算法 void Merge(int A，int low，int middle，int high) /合并过程描述：int i,j,k; int *B=new inthigh-low+1;i=low; j=middle+1; k=low; while(i=middle&j=high) /两个子序列非空 if(Ai=Aj) Bk+=Ai+; else Bk+=Aj+; while (i=middle) Bk+=Ai+;/子序列Alow，middle非空，将A复制到Bwhil

10、e (j=high) Bk+=Aj+; /子序列Amiddle+1， high非空，将A复制到Bfor(i=low;i时，T(n)=2 T(n/2) + O(n) =2 (2T(n/22)+O(n/2) ) + O(n) =22T(n/22) + 2 O(n) =23T(n/23) + 3O(n) = =2x T(n/2x) + x*O(n)分解到最后只有2个元素可以求解，n/2x1， x=logn; 故 T(n)=n*T(1)+n*logn ，故时间复杂度记为：O（n * logn）、金块问题（求最大最小元问题）老板有一袋金块(共n块)，最优秀的雇员得到其中最重的一块，最差的雇员得到其中最轻

11、的一块。假设有一台比较重量的仪器，我们希望用最少的比较次数找出最重的金块。要求：）设计一算法求解该问题？ （分治法解） ）计算其时间复杂度？(要求写出递推公式，及其求解过程)答：递归求取最大和最小元素 maxmin （int i, int j ,float &fmax, float &fmin） int mid; float lmax, lmin, rmax, rmin;if (i=j) fmax= ai; fmin=ai; /只有1个元素 else if (i=j-1) /只有2个元素 if(airmax) fmax=lmax; /合并取大 else fmax=rmax; if(lminrmin) fmin=rmin; /合并取小 else fmin=lmin; 分析该算法时间复杂度：令T(n)为元素个数为n时所需比较次数（时间）：当n=2时，查找查找最大最小元只需要1次比较，T(2)=1； 时间复杂度记为O(1)。当n2时， T(n)=2T(n/2) + 2 T(2) =4T(n/4) + 4 T(2) + 2 T(2) =8T(n/8) + 8 4 2 = =2x T(n/2x) + 2x +2x-1+8+4+2分解到最后只有2个元素可以求解，n/2x2， T(n)= 2x *1 + 2x +2x-1 + 22