算法设计与分析习题.docx
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算法设计与分析习题
《算法设计与分析》习题
第一章算法引论
1、算法的定义?
答:
算法是指在解决问题时,按照某种机械步骤一定可以得到问题结果的处理过程。
通俗讲,算法:
就是解决问题的方法或过程。
2、算法的特征?
答:
1)算法有零个或多个输入;2)算法有一个或多个输出;3)确定性;4)有穷性
3、算法的描述方法有几种?
答:
自然语言、图形、伪代码、计算机程序设计语言
4、衡量算法的优劣从哪几个方面?
答:
(1)算法实现所耗费的时间(时间复杂度);
(2)算法实现所所耗费的存储空间(空间复杂度);
(3)算法应易于理解,易于编码,易于调试等等。
5、时间复杂度、空间复杂度定义?
答:
指的是算法在运行过程中所需要的资源(时间、空间)多少。
6、时间复杂度计算:
{i=1;
while(i<=n)
i=i*2;}
答:
语句①执行次数1次,
语句②③执行次数f(n),2^f(n)<=n,则f(n)<=log2n;
算法执行时间:
T(n)=2log2n+1
时间复杂度:
记为O(log2n);
7.递归算法的特点?
答:
①每个递归函数都必须有非递归定义的初值;否则,递归函数无法计算;(递归终止条件)
②递归中用较小自变量函数值来表达较大自变量函数值;(递归方程式)
8、算法设计中常用的算法设计策略?
答:
①蛮力法;②倒推法;③循环与递归;④分治法;
⑤动态规划法;⑥贪心法;⑦回溯法;⑧分治限界法
9、设计算法:
递归法:
汉诺塔问题?
兔子序列(上楼梯问题)?
整数划分问题?
蛮力法:
百鸡百钱问题?
倒推法:
穿越沙漠问题?
答:
算法如下:
(1)递归法
●汉诺塔问题
voidhanoi(intn,inta,intb,intc)
{if(n>0)
{
hanoi(n-1,a,c,b);
move(a,b);
hanoi(n-1,c,b,a);
}}
●兔子序列(fibonaci数列)
递归实现:
IntF(intn)
{
if(n<=2)return1;
else
returnF(n-1)+F(n-2);
}
●上楼梯问题
IntF(intn)
{
if(n=1)return1
if(n=2)return2;
else
returnF(n-1)+F(n-2);
}
●整数划分问题
问题描述:
将正整数n表示成一系列正整数之和,n=n1+n1+n3+…
将最大加数不大于m的划分个数,记作q(n,m)。
正整数n的划分数p(n)=q(n,n)。
可以建立q(n,m)的如下递归关系:
递归算法:
Intq(intn,intm){
if(n<1||m<1)return0;
If((n=1)||(m=1))return1;
If(nIf(n=m)returnq(n,m-1)+1;
else
returnq(n,m-1)+q(n-m,m);
}
(2)蛮力法:
百鸡百钱问题
算法设计1:
设x,y,z分别为公鸡、母鸡、小鸡的数量。
约束条件:
x+y+z=100且5*x+3*y+z/3=100
main()
{intx,y,z;
for(x=1;x<=20;x=x+1)
for(y=1;y<=34;y=y+1)
for(z=1;z<=100;z=z+1)
if(100=x+y+zand100=5*x+3*y+z/3)
{ print(thecocknumberis",x);
print(thehennumberis",y);
print(thechicknumberis"z);}
}
算法分析:
以上算法需要枚举尝试20*34*100=68000次。
算法的效率显然太低
算法设计2:
在公鸡(x)、母鸡(y)的数量确定后,小鸡 的数量 z就固定为100-x-y,无需再进行枚举了。
此时约束条件只有一个:
5*x+3*y+z/3=100
main()
{ intx,y,z;
for(x=1;x<=20;x=x+1)
for(y=1;y<=33;y=y+1)
{ z=100-x-y;
if(zmod3=0and
5*x+3*y+z/3=100)
{print(thecocknumberis",x);
print(thehennumberis",y);
print(thechicknumberis"z);}
}
}
算法分析:
以上算法只需要枚举尝试20*33=660次。
实现时约束条件又限定Z能被3整除时,才会判断“5*x+3*y+z/3=100”。
这样省去了z不整除3时的算术计算和条件判断,进一步提高了算法的效率。
(3)倒推法:
穿越沙漠问题
desert()
{intdis,k,oil,k;//dis表示距终点的距离,k表示贮油点从后到前的序号
dis=500;k=1;oil=500; //初始化
while(dis<1000)
{
print(“storepoint”,k,”distance”,1000-dis,”oilquantity”,oil)//1000-dis则表示距起点的距离,
k=k+1;//k表示储油点从后到前的序号
dis=dis+500/(2*k-1);
oil=500*k;
}
print(“storepoint”,k,”distance”,dis,”oilquantity”,oil);
}
第二章分治算法
1、分治算法基本思想是什么?
适合用分治算法解决的问题,一般具有几个特征?
分治算法基本步骤是什么?
答:
1)基本思想:
将一个难以直接解决的大问题,分割成一些规模较小的相同问题,以便各个击破,分而治之。
2)特征:
Ø该问题的规模缩小到一定的程度就可以容易解决;
Ø该问题可以分解为若干个规模较小的相同子问题,即该问题具有最优子结构性质;
Ø该问题所分解出的各个子问题是相互独立的,即子问题之间不包含公共的子问题。
Ø4)利用该问题分解出子问题解可以合并为该问题解;
3)基本步骤:
分解、求小问题解、合并
2、改写二分查找算法:
设a[1…n]是一个已经排好序的数组,改写二分查找算法:
✓当搜索元素x不在数组中时,返回小于x的最大元素位置i,和大于x的最小元素位置j;(即返回x的左、右2个元素)
✓当搜索元素x在数组中时,i和j相同,均为x在数组中的位置。
并计算其时间复杂度?
答:
3、设计一个合并排序的算法?
(分治法解) 并计算其时间复杂度?
(要求写出递推公式,及其求解过程)
答:
voidMergeSort(intA[],intlow,inthigh)
{intmiddle;
if(low{
middle=(low+high)/2;//取中点
MergeSort(A,low,middle);
MergeSort(A,middle+1,high);
Merge(A,low,middle,high); //合并算法
}
}
voidMerge(intA[],intlow,intmiddle,inthigh)//合并过程描述:
{
inti,j,k;int*B=newint[high-low+1];
i=low;j=middle+1;k=low;
while(i<=middle&&j<=high){ //两个子序列非空
if(A[i]<=A[j]) B[k++]=A[i++];
else B[k++]=A[j++];
}
while(i<=middle) B[k++]=A[i++]; //子序列A[low,middle]非空,将A复制到B
while(j<=high) B[k++]=A[j++];/子序列A[middle+1,high]非空,将A复制到B
for(i=low;i<=high;i++) A[i++]=B[i++]; //将合并后的序列复制回A
}
•合并排序算法运行时间T(n)的递归形式为:
◆分析该算法时间复杂度:
令T(n)为元素个数为n时所需比较次数(时间):
当n=1时, 时间复杂度记为O
(1)。
当n>1时,T(n)=2T(n/2)+O(n)
=2(2T(n/22)+O(n/2))+O(n)
=22T(n/22)+2O(n)
=23T(n/23)+3O(n)
=……
=2xT(n/2x)+x*O(n)
分解到最后只有2个元素可以求解,n/2x=1,x=logn;
故T(n)=n*T
(1)+n*logn,故时间复杂度记为:
O(n*logn)
4、金块问题(求最大最小元问题)
老板有一袋金块(共n块),最优秀的雇员得到其中最重的一块,最差的雇员得到其中最轻的一块。
假设有一台比较重量的仪器,我们希望用最少的比较次数找出最重的金块。
要求:
1)设计一算法求解该问题?
(分治法解)
2)计算其时间复杂度?
(要求写出递推公式,及其求解过程)
答:
递归求取最大和最小元素
maxmin(inti,intj,float&fmax,float&fmin)
{intmid;floatlmax,lmin,rmax,rmin;
if(i=j){fmax=a[i];fmin=a[i];}//只有1个元素
elseif(i=j-1)//只有2个元素
if(a[i]else{fmax=a[i];fmin=a[j];}
else//多于2个元素
{mid=(i+j)/2;
maxmin(i,mid,lmax,lmin);//递归调用算法求最大最小
maxmin(mid+1,j,rmax,rmin);//递归调用算法求最大最小
if(lmax>rmax)fmax=lmax;//合并取大
elsefmax=rmax;
if(lmin>rmin)fmin=rmin;//合并取小
elsefmin=lmin;
}
◆分析该算法时间复杂度:
令T(n)为元素个数为n时所需比较次数(时间):
当n=2时,查找查找最大最小元只需要1次比较,T
(2)=1;时间复杂度记为O
(1)。
当n>2时,T(n)=2T(n/2)+2T
(2)
=4T(n/4)+4T
(2)+2T
(2)
=8T(n/8)+8+4+2
=……
=2xT(n/2x)+2x+2x-1+…+8+4+2
分解到最后只有2个元素可以求解,n/2x=2,
T(n)=2x*1+2x+2x-1…+22