1、上式求导,得系统的微分方程为:固有频率和周期为:x2、质量为m1的匀质圆盘置于粗糙水平面上,轮缘上绕有不可伸长的细绳并通过定滑轮A连在质量为m2的物块B上;轮心C与刚度系数为k的水平弹簧相连;不计滑轮A,绳及弹簧的质量,系统自弹簧原长位置静止释放。试采用能量法求系统的固有频率。系统可以简化成单自由度振动系统,以重物B的位移x作为系统的广义坐标,在静平衡位置时 x0,此时系统的势能为零。物体B动能:轮子与地面接触点为速度瞬心,则轮心速度为,角速度为,转过的角度为。轮子动能:在理想约束的情况下,系统的主动力为有势力,则系统的机械能守恒,有: 上式求导得系统的运动微分方程:固有频率为:第二题(20分
2、)1、在图示振动系统中,重物质量为m,外壳质量为2m,每个弹簧的刚度系数均为k。设外壳只能沿铅垂方向运动。采用影响系数方法:(1)以x1和x2为广义坐标,建立系统的微分方程;(2)求系统的固有频率。系统为二自由度系统。当x11,x20时,有:k112k,k212k当x21,x21时,有:k224k,k122k因此系统刚度矩阵为:系统质量矩阵为:系统动力学方程为:频率方程为:解出系统2个固有频率:,2、在图示振动系统中,物体A、B的质量均为m,弹簧的刚度系数均为k,刚杆AD的质量忽略不计,杆水平时为系统的平衡位置。采用影响系数方法,试求:(1)以x1和x2为广义坐标,求系统作微振动的微分方程;(
3、2)系统的固有频率方程。系统可以简化为二自由度振动系统,以物体A和B在铅垂方向的位移x1和x2为系统的广义坐标。当x11,x20时,AD转角为,两个弹簧处的弹性力分别为和对D点取力矩平衡,有:;另外有同理,当x21,x21时,可求得:因此,系统刚度矩阵为:即:第三题(20分)在图示振动系统中,已知:物体的质量m1、m2及弹簧的刚度系数为k1、k2、k3、k4。(1)采用影响系数方法建立系统的振动微分方程;(2)若k1= k3=k4= k0,又k2=2 k0,求系统固有频率;(3)取k0 =1,m1=8/9,m2 =1,系统初始位移条件为x1(0)=9和x2(0)=0,初始速度都为零,采用模态叠
4、加法求系统响应。(1)系统可以简化为二自由度振动系统。k11k1+k2+k4,k21k2k22k2+k3,k12k2。(2)当时,运动微分方程用矩阵表示为:求得:(3)当k0=1,m1=8/9,m2 =1时,系统质量阵:系统刚度阵:主模态矩阵为:主质量阵:主刚度阵:模态空间初始条件:, 模态响应:因此有:第四题(20分)一匀质杆质量为m,长度为L,两端用弹簧支承,弹簧的刚度系数为k1和k2。杆质心C上沿x方向作用有简谐外部激励图示水平位置为静平衡位置。(1)以x和为广义坐标,采用影响系数方法建立系统的振动微分方程;(2)取参数值为m=12,L=1,k1 =1,k2 =3,求出系统固有频率;(2
5、)系统参数仍取前值,试问当外部激励的频率为多少时,能够使得杆件只有方向的角振动,而无x方向的振动?(1)系统可以简化为二自由度振动系统,选x、为广义坐标,x为质心的纵向位移, 为刚杆的角位移,如图示。当、时:因此,刚度矩阵为:质量矩阵为:系统动力学方程:(2)当m=12,L=,k1 =1,k2 =3时,系统动力学方程为:(3)令,代入上述动力学方程,有:由第二行方程,解得,代入第一行的方程,有:要使得杆件只有方向的角振动,而无x方向的振动,则需,因此第五题(20分)如图所示等截面悬臂梁,梁长度为L,弹性模量为E,横截面对中性轴的惯性矩为I,梁材料密度为在梁的位置作用有集中载荷已知梁的初始条件为
6、:(1)推导梁的正交性条件;(2)写出求解梁的响应的详细过程。(假定已知第i阶固有频率为,相应的模态函数为)提示:梁的动力学方程为:,其中为函数。(1)梁的弯曲振动的动力学方程为:可写为:代入梁的动力学方程,有:设与对应有,有: (1) (2)式(1)两边乘以并沿梁长对积分,有: (3)利用分部积分,上式左边可写为: (4)由于在梁的简单边界上,总有挠度或剪力中的一个与转角或弯矩中的一个同时为零,所以,上式右边第一、第二项等于零,成为:将上式代入(3)中,有: (5)式(2)乘积分,同样可得到: (6)由式(5)、(6)得: (7)如果时,则有: 当 (8)上式即梁的主振型关于质量的正交性。再由(3)及(6)可得:上两式即梁的主振型关于刚度的正交性。时,式(7)总能成立,令:即为第j阶主质量和第j阶主刚度。由式(6)知有:如果主振型中的常数按下列归一化条件来确定: (9)则所得的主振型称为正则振型,这时相应的第j阶主刚度式(9)与(8)可合并写为:(2)悬臂梁的运动微分方程为:其中:令:代入运动微分方程,有:上式两边乘,并沿梁长度对x进行积分,有:利用正交性条件,可得:其中广义力为:初始条件可写为:上式乘以,并沿梁长度对x积分,由正交性条件可得:由式(6),可得: (10)利用式(3),梁的响应为:
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