离散证明题集锦Word格式.docx

1、若AB，则对于A、B所包含的分量的任意指派，A、B均取相同的真值，即AB是一个重言式；若AB是一个重言式，即对于分量的任意指派，A、B均取相同的真值，即AB设A1是命题公式A的子公式，若A1B1，则若将A中的A1用B1来替换，得到公式B ，则B与A等价，即AB.（替换规则）。 因为对变元的任一组指派， A1与B1真值相同，故以B1取代A1后，公式B与公式A相对于变元的任一指派的真值也必相同，所以AB。 证明下列命题公式（可以利用基本等价式） Q（P（PQ）QP （PQ）（PQ）P （PQ）（QR）PQR PQQPQ 解：1.原式Q（PP） （PQ） QP（PQ） QP2.原式 （PQ）P） （

2、PQ） Q） （PP） （PQ） （PQ） （QQ） P（PQ） （PQ） PPP3.原式（PQ）（QR） （PQ） （QR） （PQR） （QQR） PQR（零率）4.原式（ PQ）Q（PQ）（QQ） PQ（运算次序优先级：，）例: 求证: （P Q） （P Q） 为永真式。原式（PQ）（PQ）（PQP） （PQQ）T 求证Q（PQ）P证法1：前件真推导后件真证法2：后件假推导前件假 证法3：定义定理：设P、Q为任意两个命题公式，PQ的充分必要条件是PQ且QP。证明：若PQ，则PQ为重言式，即PQ和QP是重言式；若有PQ且QP，则PQ和QP是重言式，即PQ为重言式例 已知A是B的充分条件,

3、B是C的必要条件，C是D的必要条件, D是B的必要条件, 问：（1） A是D的什么条件?（2） B是D的什么条件?解 已知AB, CB, DC, BD, 故有（1） AB, BD, 所以 AD, 即 A是D的充分条件（2） DC, CB, 所以 DB, 又因为BD, 所以 BD, 即 B是D的充要条件。如果AB，则A* B*。设P1,P2,Pn是出现在命题公式A、B中的原子变元，因为AB，即：A（P1,P2,Pn）B（P1,P2,Pn）是一个重言式。故有： A（P1,P2,Pn）B（P1,P2,Pn）是一个重言式。即A（P1,P2,Pn）B（P1,P2,Pn） A* B* ，即A* B*例 判

4、断下面各推理是否正确. （1）如果天气凉快,小王就不去游泳.天气凉快,所以小王没去游泳. （2）如果我上街,我一定去新华书店.我没上街.所以我没去新华书店.解: 解上述类型的推理问题,应先将命题符号化,然后写出前提、结论和推理的形式结构,最后进行判断. （1）P：天气凉快; Q：小王去游泳. 前提：PQ, P. 结论： Q. 推理的形式结构为 （PQ）P） Q. （*）判断（*）是否为重言式.真值表法 真值表的最后一列全为1,因而（*）是重言式.所以推理正确.等价演算法 （P Q）P） Q 1.主析取范式法 （P Q）P） Q m0m1m2m3 由,同样能判断推理正确.（2）P：我上街;我去新

5、华书店.PQ, P. 结论： （PQ） P） Q. （*） （PQ） P） Q m0m2m3可见（*）不是重言式,所以推理不正确.还可用其他方法判断之.例 证明下列前提是不相容的。1. 若A因病缺了许多课, 那么他中学考试失败。2. 若A中学考试失败, 则他没有知识。3. 若A读了许多书, 则他有知识。4. A因病缺了许多课, 而且读了许多书。证明 符号化题目: P: 因病缺了许多课, Q: 中学考试失败, R: 有知识, S: 读了许多书。 问题要证明前提 PQ, QR, SR, PS是不相容的。下面我们用另外一种形式的格式证明（即后面讲的“构造证明”的格式）： 编号 公式 依据 （1） P

6、S P （2） P （1）; I1 （3） S （1）; I2 （4） PQ P （5） Q （2）,（4）; I8 （6） SR P （7） R （3）,（6）; （8） QR P （9） R （5）,（8）; I9 （10） RR （7）,（9）例 张三说李四在说谎, 李四说王五在说谎, 王五说张三、李四都在说谎。问谁说真话, 谁说假话？解 设A:张三说真话; B:李四说真话; C:王五说真话 依题意有 AB, BC, CAB。 （A B）（B C）（C AB） （AB）（BA）（BC）（C B） （C（AB）（AB）C） （ABC）（AB）C） （ABC）（AC）（BC） ABC即: 李

7、四说真话, 张三和王五说假话。 例1.9.3：求证： S是前提W，WQ,QR和RS的有效结论。 证明：1 （1） WQ P2 （2） QR P 1,2 （3） WR T,（1）（2）I11 3 （4） W P1,2,3 （5） R T,（3）（4）I84 （6） RS P1,2,3,4 （7） S T,（5）（6）I8（这部分的T，I8等是另外一本书的内容，所以不用管，只要会推就行）例 前提: 如果马会飞或羊吃草, 则母鸡就会是飞鸟; 如果母鸡是飞鸟, 那么烤熟的鸭子还会跑; 烤熟的鸭子不会跑。结论: 羊不吃草。解 符号化上述语句, P: 马会飞, Q: 羊吃草, R: 母鸡是飞鸟, S: 烤

8、熟的鸭子还会跑, S: 烤熟的鸭子不会跑, Q: 前提集合PQR, RS, S, 结论C : Q。 （1） S P （2） RS P （3） R （1）, （2）, I9 （4） PQR P （5） （PQ） （3）, （4）, I9 （6） PQ （5）, E5 （7） Q （6）, I 2例 如果我的考试通过, 那么我很快乐。如果我快乐, 那么阳光很好。现在是凌晨一点, 天很暖和。试给出结论。解 设P: 我的考试通过, Q: 我很快乐, R: 阳光很好, S: 天很暖和。把“凌晨一点”理解为阳光不好。 前提为: PQ, QR, RS。 编号 公式 依据 （1） PQ P （2） QR P

9、（3） PR （1）, （2）；I11 （4） RS P （5） R （4）；I1 （6） P （3）, （5）；I9 P, 我的考试没通过。 PQ, PR, RS; 结论: SQ。证明 （1） S CP （2） RS P （3） SR （2）, E （4） R （1）, （3）, I （5） PR P （6） RP （5）, E （7） P （4）, （6）, I （8） PQ P （9） PQ （8）, E （10） Q （7）, （9）, I （11） SQ （1）, （10）, CP（CP规则这部分因为好像多了一个条件，所以用起来可能会比较简单）例1.9.5：证明RS可从前提P（QS）

10、，RP和Q推出。（CP规则，因为结论RS为条件式）1 （1） RP P2 （2） R P（附加前提） 1,2 （3） P T,（1）（2）I10 3 （4） P（QS） P1,2,3 （5） QS T, （3,4）I84 （6） Q P1,3,4 （8） RS CP,（2）（7）例1.9.4：证明从前提PQ，（QR）可演绎出P.（反证法）1 （1） P P（附加前提）2 （2） PQ P 1,2 （3） Q T,（1）（2）I8 3 （4） （QR） P3 （5） QR T, （4）E53 （6） Q T，（5）I11,2,3 （7） QQ T,（3）（6）例 “如果春暖花开, 燕子就会飞回北

11、方。如果燕子飞回北方, 则冰雪融化。所以, 如果冰雪没有融化, 则没有春暖花开。 ”证明这些语句构成一个正确的推理。证: 令 P: 春暖花开。Q: 燕子飞回北方。R:冰雪融化。则上述问题转化成证明: PQ, QR RP 利用CP规则, 将R作为附加前提, 推导P, 从而推导出RP。 编号 公式 依据 （1） QR P （2） R P（附加前提） （3） Q （1）,（2）; （4） PQ 前提 （5） P （3）,（4）;课堂练习：1. 用基本等价公式的转换方法验证下列推断是否有效。（1）P Q，RS，Q RS；（2）P Q，Q R，R P PQR；（3）P，Q R，RS Q S；（4）QR，RP，Q PQ。2. 用推理规则证明下述论断的正确性。（1）P，P （Q （RS） Q S；（2）P （Q R），R （Q S） P （Q S）；（3）P （Q R） （Q （R S） （P （Q S）；（4）（P Q） （RS），（Q P）R，R P Q。3. A, B, C, D四人中要派两个人出差，按下述三个条件有几种派法？如何派？（1）若A去，则C 和D中要去一人。（2）B和C不能都去。（3）C去则D要留下。4. A, B, C, D四人参加考试后，有人问它们，谁的成绩最好。A说“不是我”，B说“是D”， C说“是B”，D说“不是我”。四人的回答只有一人符合实际，问