离散证明题集锦Word格式.docx
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若AB，则对于A、B所包含的分量的任意指派，A、B均取相同的真值，即A↔B是一个重言式；
若A↔B是一个重言式，即对于分量的任意指派，A、B均取相同的真值，即AB
设A1是命题公式A的子公式，若A1B1，则若将A中的A1用B1来替换，得到公式B，则B与A等价，即AB.（替换规则）。
因为对变元的任一组指派，A1与B1真值相同，故以B1取代A1后，公式B与公式A相对于变元的任一指派的真值也必相同，所以AB。
●证明下列命题公式（可以利用基本等价式）
Q→（P∨（P∧Q））Q→P
（P∧Q）∨（P∧┐Q）P
（P→Q）→（Q∨R）P∨Q∨R
P∧┐Q∨QP∨Q
解：
1.原式Q→（P∨P）∧（P∨Q）Q→P∧（P∨Q）Q→P
2.原式（（P∧Q）∨P）∧（（P∧Q）∨┐Q）（P∨P）∧（P∨Q）∧（P∨┐Q）∧（Q∨┐Q）P∧（P∨Q）∧（P∨┐Q）P∧PP
3.原式┐（┐P∨Q）∨（Q∨R）（P∧┐Q）∨（Q∨R）（P∨Q∨R）∧（Q∨┐Q∨R）P∨Q∨R（零率）
4.原式（P∧┐Q）∨Q（P∨Q）∧（┐Q∨Q）P∨Q（运算次序优先级：
┐，∧，∨，→，↔）
例:
求证:
（P→Q）∨┐（P→Q）为永真式。
原式（┐P∨Q）∨（P∧┐Q）（┐P∨Q∨P）∧（┐P∨Q∨┐Q）T
求证┐Q∧（P→Q）┐P
证法1：
前件真推导后件真
证法2：
后件假推导前件假
证法3：
定义
定理：
设P、Q为任意两个命题公式，PQ的充分必要条件是PQ且QP。
证明：
若PQ，则P↔Q为重言式，即P→Q和Q→P是重言式；
若有PQ且QP，则P→Q和Q→P是重言式，即P↔Q为重言式
例已知A是B的充分条件,B是C的必要条件，C是D的必要条件,D是B的必要条件,问：
（1）A是D的什么条件?
（2）B是D的什么条件?
解已知AB,CB,DC,BD,故有
（1）AB,BD,所以AD,即A是D的充分条件
（2）DC,CB,所以DB,又因为BD,所以BD,即B是D的充要条件。
如果AB，则A*B*。
设P1,P2,…,Pn是出现在命题公式A、B中的原子变元，因为AB，即：
A（P1,P2,…,Pn）↔B（P1,P2,…,Pn）是一个重言式。
故有：
A（┐P1,┐P2,…,┐Pn）↔B（┐P1,┐P2,…,┐Pn）是一个重言式。
即A（┐P1,┐P2,…,┐Pn）B（┐P1,┐P2,…,┐Pn）
┐A*┐B*，即A*B*
例判断下面各推理是否正确.
（1）如果天气凉快,小王就不去游泳.天气凉快,所以小王没去游泳.
（2）如果我上街,我一定去新华书店.我没上街.所以我没去新华书店.
解:
解上述类型的推理问题,应先将命题符号化,然后写出前提、结论和推理的形式结构,最后进行判断.
（1）P：
天气凉快;
Q：
小王去游泳.
前提：
P→Q,P.
结论：
Q.
推理的形式结构为
（（P→Q）∧P）→Q.（*）
判断（*）是否为重言式.
①真值表法
真值表的最后一列全为1,因而（*）是重言式.所以推理正确.
②等价演算法
（P→Q）∧P）→Q1.
③主析取范式法
（（P→Q）∧P）→Q
m0∨m1∨m2∨m3
由②,③同样能判断推理正确.
（2）P：
我上街;
我去新华书店.
P→Q,P.结论：
（（P→Q）∧P）→Q.（**）
（（P→Q）∧P）→Q
m0∨m2∨m3
可见（**）不是重言式,所以推理不正确.还可用其他方法判断之.
例证明下列前提是不相容的。
1.若A因病缺了许多课,那么他中学考试失败。
2.若A中学考试失败,则他没有知识。
3.若A读了许多书,则他有知识。
4.A因病缺了许多课,而且读了许多书。
证明符号化题目:
P:
因病缺了许多课,
Q:
中学考试失败,
R:
有知识,
S:
读了许多书。
问题要证明前提
PQ,QR,SR,P∧S是不相容的。
下面我们用另外一种形式的格式证明
（即后面讲的“构造证明”的格式）：
编号公式依据
（1）P∧SP
（2）P
（1）;
I1
（3）S
（1）;
I2
（4）PQP
（5）Q
（2）,（4）;
I8
（6）SRP
（7）R（3）,（6）;
（8）QRP
（9）R（5）,（8）;
I9
（10）R∧R（7）,（9）
例张三说李四在说谎,李四说王五在说谎,王五说张三、李四都在说谎。
问谁说真话,谁说假话？
解设A:
张三说真话;
B:
李四说真话;
C:
王五说真话
依题意有AB,BC,CA∧B。
（AB）∧（BC）∧（CA∧B）
（AB）∧（BA）∧（BC）∧（CB）∧（C（A∧B））∧（（A∧B）C）
（A∧B∧C）∧（（A∨B）∧C））∧（（A∧B∧C）∨（A∧C）∨（B∧C））
A∧B∧C
即:
李四说真话,张三和王五说假话。
●例1.9.3：
求证：
S是前提W，W→┐Q,┐Q→R和R→S的有效结论。
●证明：
{1}
（1）W→┐QP
{2}
（2）┐Q→RP
{1,2}（3）W→RT,
（1）
（2）I11
{3}（4）WP
{1,2,3}（5）RT,（3）（4）I8
{4}（6）R→SP
{1,2,3,4}（7）ST,（5）（6）I8
（这部分的T，I8等是另外一本书的内容，所以不用管，只要会推就行）
例前提:
如果马会飞或羊吃草,则母鸡就会是飞鸟;
如果母鸡是飞鸟,那么烤熟的鸭子还会跑;
烤熟的鸭子不会跑。
结论:
羊不吃草。
解符号化上述语句,P:
马会飞,Q:
羊吃草,R:
母鸡是飞鸟,S:
烤熟的鸭子还会跑,S:
烤熟的鸭子不会跑,Q:
前提集合{P∨QR,RS,S},结论C:
Q。
（1）SP
（2）RSP
（3）R
（1）,
（2）,I9
（4）P∨QRP
（5）（P∨Q）（3）,（4）,I9
（6）P∧Q（5）,E5
（7）Q（6）,I2
例如果我的考试通过,那么我很快乐。
如果我快乐,那么阳光很好。
现在是凌晨一点,天很暖和。
试给出结论。
解设P:
我的考试通过,Q:
我很快乐,R:
阳光很好,S:
天很暖和。
把“凌晨一点”理解为阳光不好。
前提为:
PQ,QR,R∧S。
编号公式依据
（1）PQP
（2）QRP
（3）PR
（1）,
（2）；
I11
（4）R∧SP
（5）R（4）；
I1
（6）P（3）,（5）；
I9
P,我的考试没通过。
P∨Q,PR,RS;
结论:
SQ。
证明
（1）SCP
（2）RSP
（3）SR
（2）,E
（4）R
（1）,（3）,I
（5）PRP
（6）RP（5）,E
（7）P（4）,（6）,I
（8）P∨QP
（9）PQ（8）,E
（10）Q（7）,（9）,I
（11）SQ
（1）,（10）,CP
（CP规则这部分因为好像多了一个条件，所以用起来可能会比较简单）
例1.9.5：
证明R→S可从前提P→（Q→S），┐R∨P和Q推出。
（CP规则，因为结论R→S为条件式）
{1}
（1）┐R∨PP
{2}
（2）RP（附加前提）
{1,2}（3）PT,
（1）
（2）I10
{3}（4）P→（Q→S）P
{1,2,3}（5）Q→ST,（3,4）I8
{4}（6）QP
{1,3,4}（8）R→SCP,
（2）（7）
例1.9.4：
证明从前提P→Q，┐（Q∨R）可演绎出┐P.
（反证法）
{1}
（1）PP（附加前提）
{2}
（2）P→QP
{1,2}（3）QT,
（1）
（2）I8
{3}（4）┐（Q∨R）P
{3}（5）┐Q∧┐RT,（4）E5
{3}（6）┐QT，（5）I1
{1,2,3}（7）Q∧┐QT,（3）（6）
例“如果春暖花开,燕子就会飞回北方。
如果燕子飞回北方,则冰雪融化。
所以,如果冰雪没有融化,则没有春暖花开。
”证明这些语句构成一个正确的推理。
证:
令P:
春暖花开。
Q:
燕子飞回北方。
R:
冰雪融化。
则上述问题转化成证明:
PQ,QRRP
利用CP规则,将R作为附加前提,推导P,从而推导出RP。
编号公式依据
（1）QRP
（2）RP（附加前提）
（3）Q
（1）,
（2）;
（4）PQ前提
（5）P（3）,（4）;
课堂练习：
1.用基本等价公式的转换方法验证下列推断是否有效。
（1）PQ，R∧S，QR∧S；
（2）PQ，QR，RPP∨Q∨R；
（3）P，QR，R∨SQS；
（4）Q∧R，R∧P，QP∨Q。
2.用推理规则证明下述论断的正确性。
（1）P，P（Q（R∧S））QS；
（2）P（QR），R（QS）P（QS）；
（3）P（QR）（Q（RS））（P（QS））；
（4）（PQ）（R∨S），（QP）∨R，RPQ。
3.A,B,C,D四人中要派两个人出差，按下述三个条件有几种派法？
如何派？
（1）若A去，则C和D中要去一人。
（2）B和C不能都去。
（3）C去则D要留下。
4.A,B,C,D四人参加考试后，有人问它们，谁的成绩最好。
A说“不是我”，B说“是D”，C说“是B”，D说“不是我”。
四人的回答只有一人符合实际，问
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