知识点归纳总结等差数列Word下载.docx

1、0,则数列Sn有最大项 B.若数列Sn有最大项，则 d：0 C.若数列Sn是递增数列，则对任意 n 均有 SnO D.若对任意 nN*,均有 Sn0,则有数列Sn是递增数列 答案：C【10】公比为 q的等比数列an的各项为正数，且 a?ai2=16,log qa二 7,则公比 q=_ 答案：2【11】设等比数列an的前 n 项和为 Sn,若 a2or3S2oi2-2010,a2oi2=3S2on 2010,则 公比 q=（）A.4 B.1 或 4 C.2 D.1 或 2 答案：A 答案：255或 85【13】设等比数列匕的前 n项和为 Sn,若二 3,则色二（）S3 S6 A.2 D c 8

2、d.3 B.-答案：B【14】已知 laj是首项为 1 的等比数列，Sn 是%的前项和，且 9Ss=,则数列丄 的 前 5项和为（）A.B或 5 D.15 16 16 答案：A【15】公比不为 1 的等比数列an的前 n 项和为 Sn,且-3ai,-a2,as 成等差数列，若 1,答案：4 递推数列：数列an的任一项 Qn与它前一项弘-】（或它的前几项）间关系用一个 公式表示.解题规律 an 的求法 两类：（1）利用递推关系求出前 n项，然后归纳猜想数列的通项公式（2）利用递推关系的变形，转化为一些特殊数列（等差、等比数列），在利用公 式求解 Sn的求法 递推法：.9 o C 一 n（n 1）

3、（2n 1）常用求和公式：I2+22+32+n2 6 2 2-3 小 3 小 3 3 n（n+1）1+2+3+n=4 裂项相消法：把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间项口 J 以相互抵消，从而求得其和 1 1 1 1 11 1 常见的拆项公式有：（1）（2）一（）n（n+1）n n+1 n（n+k）k n n+k 1111 1 1 1（3）J）（2n-1）（2 n+1）2 2n-l 2n+1 A（4）1 _jn+1 Jn+7 n+1（5）n n!=（n+1）!n!错位相减法：适用于由一个等差数列和一个等比数列构成对应项之积构成的数列求和 女口：求和 Sn=1 2】+2 22+3，23+n 2

4、n 步骤：（1）式子两边同时乘以等比数列公比 2,得到 2Sn=1 22+2 23+3 2+（n1）2n+n 2n+（2）两式相减（等号右边要错一位相减），得到 Sn-2+2+2+2 n 十-）n2 2 n,2 何 1-9 即 Sn=n 2 诃2n+2 倒序相加法：如果一个数列an）,与首末位置等“距离”的两项和相等，那么这个数列可以采用倒序来求和 -般使用于组合数列与等差数列求和 女口：求和 Sn=C：+C：+2C；+3C；+（n 1）C：+nC：反序 Sn=n（-）+（n 12 U+（n 2）C+（n 3）C 严+C1+Co 相加得 2&二 n（Co+C：+C；）=n-2n,即 S n 2

5、J 分组转化法：适用于可以将数列拆开，转化为几个可求和的数列 女口：求数列（-1）n+n 的前 2n项和 Sn=（_1+11）+（2+2?）+（-3+3?）+（_（2 n1）+（2 n1）2）+（2 n+（2 n）2）2 2 2=（_1+2_3 十 4_ 2n）+（l+2 十（2n）2n（2n+1）（4n+l）8n+6n 十 4ri n十 6 3 专题：数列通项公式及求和专题：数列通项公式及求和 常规数列的通项与求和 方法：定义法（利用等差数列、等比数列的通项与求和公式来求）1.等差数列：通项公式：an=a+（n-1）d=am+（n-m）d,f S n（d+an）+n（n一 1）.求和公式：n

6、 一=n 十 d 二 9 9 n 4 n _m 2.等比数列：亦二印 q=am q,q 式 0 8（q=l）求和公 Sn=*式：）（q*l）ks=13 23 3彳川 n3 n（n 1）2-2 【例 1】已知等差数列an满足葩心 6=10 （1）求数列an的通项公式；（2）设等比数列bn各项均为正数，其前 n项和几，若厂 b2 3二 7,求 Tn.【例 2】已知垃 J 是等比数列，*2,且印卍 3 l,a成等差数列 求数列aj 的通项公式；若 bn二 10g 2 an,求数列bn的前 K1项和 Sn.非常规数列的通项公式 常用通项公式的求法有四种：求法 1累加法 适用于 anl 二 8n f（n

7、）型.特点：递推公式关于相邻两项的关系且系数、幕数都相同【例 3】已知数列an满足 an.iZlan 2 3n 1,a：3,求数列弘的通项公式【例 4已知数列an满足&二 1 月 2=2,an2=（1）令 bnZlan 1-an,证明：bn是等比数列；（2）求aj 通项公式 an-jr,n N 求法 2:累乘法 适用于 an*an f（n）型【例 6已知数列？a“满足&二一，an.=s 3 n+1 求法 3：公式法 现彖：题目屮出现為与 Sn的关系式.解决：利用 Qn Sn-Snj 求解.【例 7】已知数列乩?满足：Sn=l-an（n,N*）,其中 Sn为数列的前 fl 项和求 dm【同类演练

8、】例 15 第一问求法 4:构造法 类型 1构造等比数列 凡是岀现关于后项和前项的一次递推形式的现象都可以构造等比 现彖：Qn P3n Q,（P,q 为常数）【例 8】已知数列an中，ai=l,务=2aJ 1（n亠 2）,求数列：&f的通项公式【同类演练】例 18 第一问 现彖 I 3,n pa.n qn（p,q 为常数）【例 9】已知数列a.中，耳 i 二：an Q）nl,求 a.6 3 2【同类演练】例 17 第一问 现象 3：dn p3.n f（n）,P 为常数 2【例 10】已知数列an满足笳 2an 3 n 4n 5,a 求数列a.的通项公式 现彖 dn pdri 1 QSn,（p,

9、Q 为常数）类型 2:构造等差数列 题目中出现后项与前项分式递推形式可以构造等差解决办法：取倒数 a.*【例 12】已知在数列务屮印=1,anl 巴 么 N）.2an+l（1）求数列an的通项公式；2 1（2）若 1R=（1 bi）（1 bs）（1 bs）1（1 b2nj）,求证：Pn、2n 1.bn 3n 三非常规数列的求和 常用的求和方法一般有四种：方法 1:裂项相消法 把数列的通项拆成两项之差，在求和时屮间项可以相互抵消，从而求得其和 1 1 1 常见的拆项公式有：（1）n（n+1）n n+1（2）1 n（n k）（3）1 1（1_ _（2n-1）（2n 1 1）2（2n-l 2nl n

10、 n!二（n 1）!a（6）lo =log a.i 一 log 93-23,6.【例 13】（2011新课标）等比数列的各项均为正数，且 力-1 3a2=l,a32 （1）求数列的通项公式;1 b 1 nj 【例 141等差数列an）+a2=11,2as 二 a2*6-4,其前 n项和为 Sn.（1）求数列an的通项公式;1（2）设数列bn满足 bn,其前 n项和为 Tn,求证：Tn Sn 卅一 1 3*（n,N）.4【例 15】已知数列an的前 n 项和 Sn,ai=l,Sn=na.u-n（n-1）（/?-N）.求数列為的通项公式;5 2 设 bn,求数列bn的前前 n项和为 Tn ann4

11、t 方法 2:错位相减法适用于由一个等差数列和一个等比数列构成对应项之积构成的数列求和 即a.等差，:bn 匚等比，求 aibi a2b*a iL an bn 的和 S.解题步骤：d）Sn a?b2 V a.nbn,将式子两边同时乘以bn的公比 q，得到 qSn.用 qSn（3）利用等比数列求和公式求解【例 16】（2011 辽宁理）已知等差数列 3n 满足 3,2=0,36-10.（1）求数列an的通项公式；1 n*【例 17】已知数列an满足 ai=2,an 昂勺2n（N）（1）求证：数列*是等差数列；七好 kl J-砧曲 s Tff；工 rt O 2*181已知数列的前 n 罚和 S._

12、-n 4nfn N k 数列bn满足 bl=1,bn 1=2bn 1.（1）求数列an,bn的通项公式；,求数列Cn的前 n 项和 Tn.為3）（bn 1）方法 3:分组求和法适用于可以将数列适当拆开，分为几个等差，等比或常见的数列，先分别求 和，然后在合并，形如：an bn其中dn为等差数列，bn 为等比数列【例 19】已知数列等差数列aj 满足：a9,a2 a4.（1）求数列an的通项公式；（2）若 L-an 2an,求数列bn的前 n项和 Sn 方法 4：倒序相加法 如果一个数列an,与首末位置等“距离”的两项和相等，那么这个数列可以采用倒序来求和.般使用于组合数列与等差数列求和【例 2

13、0已知 lg xy=a,Sn=lg xn Ig xn y Ig xn 求 Sn 已知递增等比数列 8n,公比为 q,满足 83 S i=28,且比 2是 Q2,Ql 的等岸屮 项.（1）求数列务的通项公式;已知数列an为等差数列，a“为正整数，其前 n项和为&,数列0为等比数列，且 a八 3,d=1,数列ban是公比为 64 的等比数列，b2S2 二 64 3求 an,1 1 1 3（2）求证：丄丄丄/1 n+1 在数列 Qn 中，SL 1,且 n 1=（1）且 n n 2 a（1）设求数列bn的通项公式;n（2）求数列an的前 n 项和 Sn 已知数列an的前 n 项和 Sn=2an-3 2n 4,n=1,2,3,（1）求数列an的通项公式；n（2）设 Tn为数列Sn-4的前 项和，求 Tn