提公因式法分解因式典型例题.docx

1、提公因式法分解因式典型例题式分解（1）一知识点讲解知识点一：因式分解概念：把一个多项式化为几个整式的积的形式，叫做因式分解，也叫做把这个多项式分解因式。1.因式分解特征：因式分解的结果是几个整式的乘积。2.因式分解与整式乘法关系：因式分解与整式的乘法是相反方向的变形整 式 乘 法(a + b)2 =a2 +2ab + b2因 式 分 解a2 +2ah + b2 =(a + b)2(d /?) = a2 2ab + b2a2 -2ab + b2 =(a-h)2(a + h)(a-h) = a2 一b?a2 -b2 =(a + b)(a-h)(x + 3y)(x _ 3y) = x2 - 9y2x

2、2 -9y2 =(x + 3y)(x_3y)知识点二：寻找公因式1、小学阶段我们学过求一组数字的最大公因（约）数方法：（短除法）例如：求20. 36. 80的最大公（约）数？最大公倍数？22036802203680210184021018405592059201942、寻找公因式的方法:3a2y-3ay + 6y 94 3 8 37-X V,9 27i心 - y)3 + b(x - y)2 + (% - y)3 -27aV +36aV +9a2b1 确定公因式的系数当多项式中各项系数是整数时，公因式的系数是多项式中各项 系数的最大公因数；当多项式中各项系数是分数时，则公因式的系数为分数，而且

3、分母取各项系数中分母的最小公倍数，分子取各项系数中分子的最 大公因数。2.确定相同字母公因式的字母是各项都含有的字母3.看次数相同字母的指数取最低次数4.看整体如果多项式中含有相同的多项式，应将其看成整体不要拆开。5.看符号若多项式的首项是则公因式的符号一般为负。知识点三：因式分解的方法（重点）（-）因式分解的第一种方法（提公因式法）（重点）：1.提取公因式法：如果多项式的各项含有公因式，那么就可以把这个公因式提到括号外面, 把多项式转化成公因式与另一个多项式的积的形，这种因式分解的方法叫做提公因式法。3.提公因式的步骤:（1）确定公因式2 符号语言： ma + mb + me = m（a +

4、 b + c）（2）提岀公因式并确定另一个因式（依据多项式除以单项式）4注意事项：因式分解一定要彻底二、例题讲解模块1:考察因式分解的概念1. （2017春峰城区期末）下列各式从左到右的变形，是因式分解的是（ ）A、疋-9 + 6x = （x + 3）（x-3） + 6x B、（x + 5）（x-2）=疋+3x-102. （2017秋抚宁县期末）下列各式从左到右的变形，是因式分解的是（ ）3.（2017秋姑苏区期末）下列从左到右的运算是因式分解的是（ ）A、2a2 一2“ + 1 = 2g（g-1） + 1 B、（x- y）（x+ y） = a2 - y2C、9x2 -6x+l = （3x-l

5、）2 D、x2 + y2 = （x- y）2 +4.（2017秋华德县校级期末）下列各式从左到右的变形，是因式分解的是（ ）A、3x + 2y -1 = 5兀一 1 B、（3a + 2b）（3a-2b） = 9a2 -4b25.（2017春新城区校级期中）下列各式从左到右的变形是因式分解的是（ ）模块厶考察公因式1. （2017春抚宁县期末）多项式15內+5加勺一20円”的公因式是（ ）2.（2017春东平县期中）把多项式-8a2b3c + 6a2b2c2-2rbc3分解因式，应提的公因 式是（ ）Ax -8a2beB、2a2b2c3C、-4abeD、24卅 b3. （2017秋凉州区末）多项

6、式a2-9与a上3“的公因式是（)Ax a + 3C、er 3B、a + D、a-4. （2017春邵阳县期中）多项式80-12疋”了”的公因式是( )A、x/B、肝严Cx 4xmynD、4肝严5. （2016春深圳校级期中）多项式一5用+ 25用一10皿各项的公因式是（ ）D、-5mxAs 5mx2 B、-5mx36.下列各组代数式中没有公因式的是(Av 5m(a b)与 ba B、( + )与一o-bCv mx+ y 与 x+ y D、-a2 +ab a2b-ab27观察下列各组式子：2“+/?和lo+b；5m(a-b)和一a+b ；3(a + Z?)和一ah ； x2 - y2和，+ ，

7、2。其中有公因式的是( )A、 B、 C、 D、模块3：利用提公因式法分解因式1因式分解的第一种类型：直接提取公因式1、分解因式：(1) x2 -3x (2) 一2十+18大)一4与2 (3) 6a(a + b)-4h(a + b)卅52因式分解的第二种类型：变形后提取公因式2.分解因式：(1) 3a(x-y)-6b(y-x) (2) -a(x- y)-Z?(y-x) + c(x-y)3因式分解的第三种类型：分组后提取公因式3.分解因式：模块4：提公因式法的综合应用类型1:利用提公因式法进行简便计算13 13 13(2) 36.8x 1 x20.2 2x 55 55 551.利用简便方法计算：

8、(1) 3.2 x 200.9 + 4.7 x 200.9 + 200.9 x 2.1类型厶利用提公因式法进行化简求值2先分解因式，在计算求值：(2x一l)2(3x + 2)-(2x- l)(3x + 2)2 一x(l -2x)(3x + 2) 其中 x=1.53. (2016秋唐河县期末)已知：/? = 2015, ab = _ 】6 ,求/方一加，的值。20154.已知“ + b = -4, ab = 2.求多项式4a2b + 4ab2的值。5.若2+1 = 0,用因式分解法求-ab(a2b5-abb)的值.类型3：拔高培优题型8. (2015 杭州模拟)已知(19a -31)(13x-1

9、7)-(17-13x)(1 lx-23)可因式分解成 (ax + h)(30x + c)9其中a、b、c均为整数，求“ + /? + c的值。9.已知多项式x4+2012F+2011x + 2012有一个因式为F +似+ 1,另一个因式为 x2 +bx+2012 ,求 a+b 的值。10.求证：320I6-4x320,5 + 10x32014能被7 整除。能理为word11.已知满足ab + a+b = bc+b+c = ca+c + a = 3,求(d + l)(Z? + l)(c + l)的值。 3bc都是正整数)12.(学霸题中题)若x2-x-l是o?+衣1的一个因式，则方的值为()A、

10、-2 B、-1 C、0 D 213.(2017合肥月考)要使多项式x2-2x-/z能分解为两个整系数一次多项式之积,则不大于100的自然数”的个数为( )A、8 B、9 C、10 D、1114.(2016秋靖远县期末)阅读下列因式分解的过程，再回答所提岀的问题：1 + X + x(x +1) + x(x +1)2 = (l + x)l + x + x(x+l) =(l+x)2(l + x) = (l + x)5(1)上述分解因式的方法是 ,共应用了 次。(2 )若分解1 + X +X(-Y+1) + X(X +1)-+. +X(X +I),则需应用上述方法 次，结果是 O(3)分解因式: +

11、x + x(x + l) + x(x + l)2+. + x(x + l)n (为正整数)o一.选择题1.(2017开县一模)当互为相反数时，代数式a2+ab一4的值为( )A、4 B、0 C、-3 D、-42. (2016秋乳山期末)边长为a的长方形周长为12,面积为10,则crb + ab2的值为()於理为word格式3.（2017春蚌埠期末）计算：（-2）20,6 + （-2）2017所得的结果是（ ）A、-2 B、2 C、-22016 D、22t164.（2017春乐亭县期末）（-8）20,4 +（-8）2013能被下列数整除的是（ ）A、 3 B、 5 C、 7 D、 95.（201

12、7春源城区校级月考）把多项式p2（a-l）+p（-a）分解因式的结果是（）A、（-l）（/r+ /?） B、G/-l）（/r-p） C、/?（-l）（p-l） D、/?（-l）（/? + l）6.（2017春阳谷县期末）把x,+34-xn+1分解因式得（ ）A、Z*（x2 + 1） Bv xn（x3+x） Cv x（Z*2+Z） Dv xn+l（x2+x）7.（2017春北湖区校级期中）整式aa2-）-a2+的值（ ）A、不是负数 B、恒为正数 C、恒为负数 D、结果的符号不确定8.（2016 赵县模拟）若 ab = 3, a2b = 5,贝a2b-2ab2 的值是（ ）A 15 B、15 C

13、、2 D 89.（2016春高密市期末）将3x（a-b）-9y（b-a）因式分解，应提的公因式是（）A、3x-9y B、3x + 9y C、a-b D、3（-Z?）10.（2016春临渭市期末）计算（3）+2x（3）i,得（ ）A、3m_, B、（-3）心 C、-（-3严 D、（-3）11.（2016春深圳期末）若d+b = 3, ab = -2t则代数式a2b + ab2的值为（ ）A、1 B 1 C 6 D、612.（2016秋美兰区校级期中）若方=一5, c = 2,则一 ac-bc等于（ ）A、10 B、-10 C、3 D、一313.（2016秋简阳市期中）如果多项式mx + A可分解

14、为?（x刃，则人为（ ）Ax m B、my C、一y Dv my14.（2016春深圳期中）若。一/? = 2, ab = 3,则ab1 -a2b的值为（ ）A、6 B 5 C 6 D、515.（2016 春港南区期中）设 P = a-a + b-c）, Q =-a（a2-ab + uc） t 则 P 与0 的关系是（ ）16.(2016春锡山区校级月考)计算：22014 -(-2)2015的结果是( )A、22015 B、22014 C、-22014 D、3x2201417.(2016春宿州校级月考)下列运算中，因式分解正确的是( )A、-m + mn 一 in = -m(m + n-1) B、9 a be - 6(rb2 = 3bc(3 - lab)C、3a2x- (ybx + 3x = 3x(a2 - 2b) D、ab + a2b = ab(a + b)2 2 218.(2015春杭州期末)多项式(x+2)(2x-1)-(a + 2)可以因式分解成(x +加)(2x + n),则啲值是( )A、2 B、-2 C、4 D、-419.(2015春莲湖区校级月考)把多项式3m(x-y)-2(y-x)2分解因式的结果是(