提公因式法分解因式典型例题.docx
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提公因式法分解因式典型例题
式分解
（1）
一知识点讲解
知识点一：
因式分解概念：
把一个多项式化为几个整式的积的形式，叫做因式分解，也叫做把这个多项式分解因式。
1.因式分解特征：
因式分解的结果是几个整式的乘积。
2.因式分解与整式乘法关系：
因式分解与整式的乘法是相反方向的变形
整式乘法
（a+b）2=a2+2ab+b2
因式分解
a2+2ah+b2=（a+b）2
（d—/?
）'=a2—2ab+b2
a2-2ab+b2=（a-h）2
（a+h）（a-h）=a2一b?
a2-b2=（a+b）（a-h）
（x+3y）（x_3y）=x2-9y2
x2-9y2=（x+3y）（x_3y）
知识点二：
寻找公因式
1、小学阶段我们学过求一组数字的最大公因（约）数方法：
（短除法）
例如：
求20.36.80的最大公（约）数？
最大公倍数？
2
20
36
80
2
20
36
80
2
10
18
40
2
10
18
40
5
5
9
20
5
9
20
1
9
4
2、寻找公因式的方法:
3a2y-3ay+6y9
43837
-——XV",
927
i心-y）3+b（x-y）2+（%-y）3■
-27aV+36aV+9a2b
1•确定公因式的系数
当多项式中各项系数是整数时，公因式的系数是多项式中各项系数的最大公因数；
当多项式中各项系数是分数时，则公因式的系数为分数，而且分母取各项系数中分母的最小公倍数，分子取各项系数中分子的最大公因数。
2.确定相同字母
公因式的字母是各项都含有的字母
3.看次数
相同字母的指数取最低次数
4.看整体
如果多项式中含有相同的多项式，应将其看成整体不要拆开。
5.看符号
若多项式的首项是则公因式的符号一般为负。
知识点三：
因式分解的方法（重点）
（-）因式分解的第一种方法（提公因式法）（重点）：
1.提取公因式法：
如果多项式的各项含有公因式，那么就可以把这个公因式提到括号外面,把多项式转化成公因式与另一个多项式的积的形，这种因式分解的方法叫做提公因式法。
3.提公因式的步骤:
（1）确定公因式
2•符号语言：
ma+mb+me=m（a+b+c）
（2）提岀公因式并确定另一个因式（依据多项式除以单项式）
4•注意事项：
因式分解一定要彻底
二、例题讲解
模块1:
考察因式分解的概念
1.（2017春峰城区期末）下列各式从左到右的变形，是因式分解的是（）
A、疋-9+6x=（x+3）（x-3）+6xB、（x+5）（x-2）=疋+3x-10
2.（2017秋抚宁县期末）下列各式从左到右的变形，是因式分解的是（）
3.（2017秋姑苏区期末）下列从左到右的运算是因式分解的是（）
A、2a2一2“+1=2g（g-1）+1B、（x-y）（x+y）=a2-y2
C、9x2-6x+l=（3x-l）2D、x2+y2=（x-y）2+
4.（2017秋华德县校级期末）下列各式从左到右的变形，是因式分解的是（）
A、3x+2y-1=5兀一1B、（3a+2b）（3a-2b）=9a2-4b2
5.（2017春新城区校级期中）下列各式从左到右的变形是因式分解的是（）
模块厶考察公因式
1.（2017春抚宁县期末）多项式15〃內『+5加勺一20〃円”的公因式是（）
2.（2017春东平县期中）把多项式-8a2b3c+\6a2b2c2-2^rbc3分解因式，应提的公因式是（）
Ax-8a2be
B、2a2b2c3
C、-4abe
D、24卅b
3.（2017秋凉州区末）多项式a2-9与a
上―3“的公因式是（
）
Axa+3
C、er—3
B、a+\
D、a-\
4.（2017春邵阳县期中）多项式80》"」
-12疋”了”的公因式是
（）
A、x"/
B、肝严
Cx4xmyn
D、4肝严
5.（2016春深圳校级期中）多项式一5〃用+25〃用一10皿・各项的公因式是（）
D、-5mx
As5mx2B、-5mx3
6.下列各组代数式中没有公因式的是（
Av5m（a—b）与b—aB、（"+〃）'与一o-b
Cvmx+y与x+yD、-a2+aba2b-ab2
7•观察下列各组式子：
①2“+/?
和lo+b；②5m（a-b）和一a+b；③3（a+Z?
）和一a—h；④x2-y2和，+＞，2。
其中有公因式的是（）
A、①②B、②③C、③④D、①④
模块3：
利用提公因式法分解因式
1因式分解的第一种类型：
直接提取公因式
1、分解因式：
（1）x2-3x
（2）一2十+18大）一4与2（3）6a（a+b）-4h（a+b）
⑷卅5
2因式分解的第二种类型：
变形后提取公因式
2.分解因式：
（1）3a（x-y）-6b（y-x）
（2）-a（x-y）-Z?
（y-x）+c（x-y）
3因式分解的第三种类型：
分组后提取公因式
3.分解因式：
模块4：
提公因式法的综合应用
类型1:
利用提公因式法进行简便计算
131313
（2）36.8x1x20.2—2x—
555555
1.利用简便方法计算：
（1）3.2x200.9+4.7x200.9+200.9x2.1
类型厶利用提公因式法进行化简求值
2•先分解因式，在计算求值：
（2x一l）2（3x+2）-（2x-l）（3x+2）2一x（l-2x）（3x+2）其中x=1.5
3.（2016秋唐河县期末）已知：
«—/?
=—2015,ab=_】6,求/方一加，的值。
2015
4.已知“+b=-4,ab=2.求多项式4a2b+4ab2的值。
5.若"2+1=0,用因式分解法求-ab（a2b5-ab^b）的值.
类型3：
拔高培优题型
8.（2015杭州模拟）已知（19a-31）（13x-17）-（17-13x）（1lx-23）可因式分解成（ax+h）（30x+c）9其中a、b、c均为整数，求“+/?
+c的值。
9.已知多项式x4+2012F+2011x+2012有一个因式为F+似+1,另一个因式为x2+bx+2012,求a+b的值。
10.求证：
320I6-4x320,5+10x32014能被7整除。
能理为word
11.已知满足ab+a+b=bc+b+c=ca+c+a=3,求（d+l）（Z?
+l）（c+l）的值。
3bc都是正整数）
12.（学霸题中题★★★）若x2-x-l是o?
+衣^1的一个因式，则方的值为（）
A、-2B、-1C、0D>2
13.（2017合肥月考★★★）要使多项式x2-2x-/z能分解为两个整系数一次多项式之积,
则不大于100的自然数”的个数为（）
A、8B、9C、10D、11
14.（2016秋靖远县期末）阅读下列因式分解的过程，再回答所提岀的问题：
1+X+x（x+1）+x（x+1）2=（l+x）[l+x+x（x+l）]=（l+x）2（l+x）=（l+x）5
（1）上述分解因式的方法是,共应用了次。
（2）若分解1+X+X（-Y+1）+X（X+1）-+...+X（X+I）"",则需应用上述方法次，结果
是O
（3）分解因式:
\+x+x（x+l）+x（x+l）2+...+x（x+l）n（〃为正整数）o
一.选择题
1.（2017开县一模）当互为相反数时，代数式a2+ab一4的值为（）
A、4B、0C、-3D、-4
2.（2016秋乳山期末）边长为a"的长方形周长为12,面积为10,则crb+ab2的值为（）
於理为word格式
3.（2017春蚌埠期末★）计算：
（-2）20,6+（-2）2017所得的结果是（）
A、-2B、2C、-22016D、22t>16
4.（2017春乐亭县期末）（-8）20,4+（-8）2013能被下列数整除的是（）
A、3B、5C、7D、9
5.（2017春源城区校级月考）把多项式p2（a-l）+p（\-a）分解因式的结果是（）
A、（«-l）（/r+/?
）B、G/-l）（/r-p）C、/?
（«-l）（p-l）D、/?
（«-l）（/?
+l）
6.（2017春阳谷县期末）把x,,+34-xn+1分解因式得（）
A、Z*'（x2+1）Bvxn（x3+x）Cvx（Z*2+Z）Dvxn+l（x2+x）
7.（2017春北湖区校级期中）整式a\a2-\）-a2+\的值（）
A、不是负数B、恒为正数C、恒为负数D、结果的符号不确定
8.（2016赵县模拟）若ab=—3,a—2b=5,贝\\a2b-2ab2的值是（）
A\—15B、15C、2D\—8
9.（2016春高密市期末）将3x（a-b）-9y（b-a）因式分解，应提的公因式是（）
A、3x-9yB、3x+9yC、a-bD、3（«-Z?
）
10.（2016春临渭市期末）计算（―3）"'+2x（—3）"i,得（）
A、3m_,B、（-3）心C、-（-3严D、（-3）"'
11.（2016春深圳期末）若d+b=3,ab=-2t则代数式a2b+ab2的值为（）
A、1B\—1C\—6D、6
12.（2016秋美兰区校级期中）若方=一5,c=2,则一ac-bc等于（）
A、10B、-10C、3D、一3
13.（2016秋简阳市期中）如果多项式mx+A可分解为〃?
（x—刃，则人为（）
AxmB、—myC、一yDvmy
14.（2016春深圳期中）若。
一/?
=2,ab=3,则ab1-a2b的值为（）
A、6B\5C\—6D、—5
15.（2016春港南区期中）设P=a\-a+b-c）,Q=-a（a2-ab+uc）t则P与0的关
系是（）
16.（2016春锡山区校级月考）计算：
22014-（-2）2015的结果是（）
A、22015B、22014C、-22014D、3x22014
17.（2016春宿州校级月考）下列运算中，因式分解正确的是（）
A、-m~+mn一in=-m（m+n-1）B、9abe-6（rb2=3bc（3-lab）
C、3a2x-（ybx+3x=3x（a2-2b）D、—ab~+—a2b=—ab（a+b）
222
18.（2015春杭州期末）多项式（x+2）（2x-1）-（a+2）可以因式分解成（x+加）（2x+n）,
则〃—啲值是（）
A、2B、-2C、4D、-4
19.（2015春莲湖区校级月考）把多项式3m（x-y）-2（y-x）2分解因式的结果是（
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