浙教版八年级上册 全等三角形中几种模型Word格式文档下载.docx

1、1、ABE和ACF均为等边三角形结论：（1）ABFAEC . （2）BOEBAE60 . （3）OA平分EOF .（四点共圆证）拓展：ABC和CDE均为等边三角形 （1）ADBE； （2）ACBAOB； （3）PCQ为等边三角形； （4）PQAE； （5）APBQ； （6）CO平分AOE；（四点共圆证） （7）OAOBOC； （8）OEOCOD .（7），（8）需构造等边三角形证明）变式练习1、如果两个等边三角形ABD和BCE，连接AE与CD，证明：（4）AE与DC的交点设为H,BH平分AHC变式练习2：如果两个等边三角形ABD和BCE，连接AE与CD，证明：变式训练3：两个等腰三角形ABD与

2、BCE，其中AB=BD,CB=EB,ABD=CBE=a 连接AE与CD. 问（1）ABEDBC是否成立？（2）AE是否与CD相等？（3）AE与CD之间的夹角为多少度？（4）HB是否平分AHC？ 例2：如图，两个正方形ABCD和DEFG，连接AG与CE，二者相交于H问：（1）ADGCDE是否成立？（2）AG是否与CE相等？（3）AG与CE之间的夹角为多少度？（4）HD是否平分AHE？例3：如图两个等腰直角三角形ADC与EDG，连接AG,CE,二者相交于H.问 （1）ADGCDE是否成立？二、半角模型条件：两边相等 .思路：1、旋转辅助线：延长CD到E，使ED=BM，连AE或延长CB到F，使FB=

3、DN，连AF 将ADN绕点A顺时针旋转90得ABF，注意：旋转需证F、B、M三点共线（1）MNBMDN； （2）； （3）AM、AN分别平分BMN、MND .2、翻折（对称）作APMN交MN于点P 将ADN、ABM分别沿AN、AM翻折，但一定要证明M、P、N三点共线 .例1、在正方形ABCD中，若M、N分别在边BC、CD上移动，且满足MN=BM +DN，求证：.MAN=.AM、AN分别平分BMN和DNM.例2拓展：在正方形ABCD中，已知MAN=，若M、N分别在边CB、DC的延长线上移动， .试探究线段MN、BM 、DN之间的数量关系. .求证：AB=AH.例3.在四边形ABCD中，B+D=，

4、AB=AD，若E、F分别在边BC、CD上，且满足EF=BE +DF.变式：在四边形ABCD中，B90，D90，ABAD，若E、F分别为边BC、CD上的点，且，求证：EFBEDF .练习巩固1：（1）如图1，在正方形ABCD中，E、F分别是BC、CD上的点，且EAF45，试判断BE、DF与EF三条线段之间的数量关系，直接写出判断结果：；（2）如图2，若把（1）问中的条件变为“在四边形ABCD中，ABAD，BD180，E、F分别是边BC、CD上的点，且EAF=BAD”，则（1）问中的结论是否仍然成立？若成立，请给出证明，若不成立，请说明理由；（3）在（2）问中，若将AEF绕点A逆时针旋转，当点分别

5、E、F运动到BC、CD延长线上时，如图3所示，其它条件不变，则（1）问中的结论是否发生变化？若变化，请给出结论并予以证明.练习巩固2：已知：正方形中，绕点顺时针旋转，它的两边分别交CB、DC（或它们的延长线）于点M、N （1）如图1，当绕点旋转到时，有当 绕点旋转到时，如图2，请问图1中的结论还是否成立？如果成立，请给予证明，如果不成立，请说明理由；（2）当绕点旋转到如图3的位置时，线段和之间有怎样的等量关系？请写出你的猜想，并证明练习巩固3：如图，已知在正方形ABCD中，=45，连接BD与AM，AN分别交于E、F两点。（1）MN=MB+DN； （2）点A到MN的距离等于正方形的边长； （3）

6、的周长等于正方形ABCD边长的2倍； （4）； （5）若=20，求； （6）若，求； （7）； （8）与是等腰三角形； （9）。三、三垂直模型（一线三等角）（K型）1、常见的一线三垂直的模型。例1：如图，正方形ABCD中，E、F分别为BC、CD上的点，且AEBF，垂足为点GAE=BF变式训练：等腰RtABC中，AC=AB，BAC90，点D是AC的中点，AFBD于点E，交BC于点F，连接DF，求证：1=2。例2：.如图，点P是正方形ABCD边AB上一点（不与点AB重合），连接PD并将线段PD绕点P顺时针方向旋转90得到线段PE，PE交边BC于点F连接BE、DF。ADP=EPB；求CBE的度数；等

7、腰直角ABC，其中AB=AC，BAC=90，过B、C作经过A点直线L的垂线，垂足分别为M、N（1）你能找到一对三角形的全等吗？并说明（2）BM，CN，MN之间有何关系？若将直线l旋转到如图2的位置，其他条件不变，那么上题的结论是否依旧成立？A、例题如图所示，在ABC中，ABAC，BAC90，D为AC中点，AFBD于点E，交BC于F，连接DF .ADBCDF .变式1、已知：如图所示，在ABC中，ABAC，AMCN，AFBM于E，交BC于F，连接NF .（1）AMBCNF；（2）BMAFFN .变式2、在变式1的基础上，其他条件不变，只是将BM和FN分别延长交于点P，（1）PMPN；（2）PBP

8、FAF .四、角平分线模型1、角平分线的性质模型如图，P是MON的平分线上一点，过点P作PAOM于点A，PBON于点B。 结论：PB=PA（1）如图，在ABC中，C=90，AD平分CAB，BC=6，BD=4，那么点D到直线AB的距离是 ；（2）如图，1=2，3=4。AP平分BAC。如图，ABC的外角ACD的平分线CP与内角ABC的平分线BP交于点 P，若BPC=40，则CAP= 。如图，在四边形ABCD中，BCAB，AD=DC，BD平分ABC。 求证：BAD+BCD=180。2、翻折全等（对称）如图，P是MON的平分线上一点，点A是射线OM上任意一点，在ON上截取OB=OA，连接PB。OPBO

9、PA。两个图形辅助线都是在射线ON上取点B，使OBOA，从而使OACOBC .1、如图，在ABC中，BAC=60，C=40，AP平分BAC交BC于P，BQ平分ABC交AC于Q，求证：ABBPBQAQ .2、如图，在ABC中，AD是BAC的外角平分线，P是AD上异于点A的任意一点，试比较PBPC与ABAC的大小，并说明理由 .B、模型巩固1、在ABC中，ABAC，AD是BAC的平分线，P是线段AD上任意一点（不与A重合）.ABACPBPC .2、如图，ABC中，ABAC，A100，B的平分线交AC于D，ADBDBC .3、如图，ABC中，BCAC，C90，A的平分线交BC于D，ACCDAB .3

10、、角平分线+垂线等腰（三线合一）如图，P是MO的平分线上一点，APOP于P点，延长AP于点B。AOB是等腰三角形。如图，已知等腰直角三角形ABC中，A=90，AB=AC，BD平分ABC，CEBD，垂足为E。BD=2CE。如图，在ABC中，BE是角平分线，ADBE，垂足为D。2=1+C。（1）如图，BD、CE分别是ABC的外角平分，过点A作ADBD、AECE，垂足分别为D、E，连接DE。（1）AB+AC+BC=MN（2）如图，BD、CE分别是ABC的内角平分，其它条件不变。上述结论是否成立？ 成立请说明理由，若不成立，那MN与ABC三边又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，并进行证明。（3）如图，

11、BD是ABC的内角平分，CE是ABC的外角平分，其它条件不变。MN与ABC三边又有怎样的数量关系？4、角平分线+平行线等腰（底角相等）如图，P是MO的平分线上一点，过点P作PQON，交OM于点Q。POQ是等腰三角形。如图，在ABC中，ABC、ACB 的平分线交于点E，过点E作EFBC，交AB于点M，交AC于点N。若BM+CN=9，则线段MN的长为 。如图，梯形ABCD中，ADBC，点E在CD上，且AE平分BAD，BE平分ABC。AD=AB-BC。二、等腰直角三角形模型（一）旋转中心为直角顶点，在斜边上任取一点的旋转全等：操作过程：（1）将ABD逆时针旋转90，得ACM ABD，从而推出ADM为

12、等腰直角三角形.（2）辅助线作法：过点C作MCBC，使CMBD，连结AM.（二）旋转中心为斜边中点，动点在两直角边上滚动的旋转全等：连结AD.（1）使BFAE（或AFCE），导出BDF ADE.（2）使EDFBAC180，导出BDF ADE.1、如图，在等腰直角ABC中，BAC90，点M、N在斜边BC上滑动，且MAN45，试探究 BM、MN、CN之间的数量关系.2、两个全等的含有30，60角的直角三角板ADE和ABC，按如图所示放置，E、A、C三点在一条直线上，连接BD，取BD的中点M，连接ME、MC. 试判断EMC的形状，并证明你的结论.1、已知，如图所示，RtABC中，ABAC，BAC90，O为BC中点，若M、N分别在线段AC、AB上移动，且在移动中保持ANCM.（1）试判