浙教版八年级上册 全等三角形中几种模型Word格式文档下载.docx

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1、△ABE和△ACF均为等边三角形

结论：

（1）△ABF≌△AEC.

（2）∠BOE＝∠BAE＝60°

.

（3）OA平分∠EOF.（四点共圆证）

拓展：

△ABC和△CDE均为等边三角形

（1）AD＝BE；

（2）∠ACB＝∠AOB；

（3）△PCQ为等边三角形；

（4）PQ∥AE；

（5）AP＝BQ；

（6）CO平分∠AOE；

（四点共圆证）

（7）OA＝OB＋OC；

（8）OE＝OC＋OD.

（（7），（8）需构造等边三角形证明）

变式练习1、如果两个等边三角形△ABD和△BCE，连接AE与CD，证明：

（4）AE与DC的交点设为H,BH平分∠AHC

变式练习2：

如果两个等边三角形△ABD和△BCE，连接AE与CD，证明：

变式训练3：

两个等腰三角形ABD与BCE，其中AB=BD,CB=EB,∠ABD=∠CBE=a

连接AE与CD.

问

（1）△ABE≌△DBC是否成立？

（2）AE是否与CD相等？

（3）AE与CD之间的夹角为多少度？

（4）HB是否平分∠AHC？

例2：

如图，两个正方形ABCD和DEFG，连接AG与CE，二者相交于H

问：

（1）△ADG≌△CDE是否成立？

（2）AG是否与CE相等？

（3）AG与CE之间的夹角为多少度？

（4）HD是否平分∠AHE？

例3：

如图两个等腰直角三角形ADC与EDG，连接AG,CE,二者相交于H.

问

（1）△ADG≌△CDE是否成立？

二、半角模型

条件：

两边相等.

思路：

1、旋转

辅助线：

①延长CD到E，使ED=BM，连AE或延长CB到F，使FB=DN，连AF

②将△ADN绕点A顺时针旋转90°

得△ABF，

注意：

旋转需证F、B、M三点共线

（1）MN＝BM＋DN；

（2）；

（3）AM、AN分别平分∠BMN、∠MND.

2、翻折（对称）

①作AP⊥MN交MN于点P

②将△ADN、△ABM分别沿AN、AM翻折，但一定要证明M、P、N三点共线.

例1、在正方形ABCD中，若M、N分别在边BC、CD上移动，且满足MN=BM+DN，

求证：

①.∠MAN=

②.

③.AM、AN分别平分∠BMN和∠DNM.

例2拓展：

在正方形ABCD中，已知∠MAN=，若M、N分别在边CB、DC的延长线上移动，

①.试探究线段MN、BM、DN之间的数量关系.

②.求证：

AB=AH.

例3.在四边形ABCD中，∠B+∠D=，AB=AD，若E、F分别在边BC、CD上，且满足EF=BE+DF.

变式：

在四边形ABCD中，∠B＝90°

，∠D＝90°

，AB＝AD，若E、F分别为边BC、CD上的点，且，求证：

EF＝BE＋DF.

练习巩固1：

（1）如图1，在正方形ABCD中，E、F分别是BC、CD上的点，且∠EAF＝45°

，试判断BE、DF与EF三条线段之间的数量关系，直接写出判断结果：

；

（2）如图2，若把

（1）问中的条件变为“在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B＋∠D＝180°

，E、F分别是边BC、CD上的点，且∠EAF=∠BAD”，则

（1）问中的结论是否仍然成立？

若成立，请给出证明，若不成立，请说明理由；

（3）在

（2）问中，若将△AEF绕点A逆时针旋转，当点分别E、F运动到BC、CD延长线上时，

如图3所示，其它条件不变，则

（1）问中的结论是否发生变化？

若变化，请给出结论并予以证明..

练习巩固2：

已知：

正方形中，，绕点顺时针旋转，它的两边分别交CB、DC（或它们的延长线）于点M、N．

（1）如图1，当绕点旋转到时，有．当绕点旋转到时，如图2，请问图1中的结论还是否成立？

如果成立，请给予证明，如果不成立，请说明理由；

（2）当绕点旋转到如图3的位置时，线段和之间有怎样的等量关系？

请写出你的猜想，并证明．

练习巩固3：

如图，已知在正方形ABCD中，=45°

，连接BD与AM，AN分别交于E、F两点。

（1）MN=MB+DN；

（2）点A到MN的距离等于正方形的边长；

（3）的周长等于正方形ABCD边长的2倍；

（4）；

（5）若=20°

，求；

（6）若，求；

（7）；

（8）与是等腰三角形；

（9）。

三、三垂直模型（一线三等角）（K型）

1、常见的一线三垂直的模型。

例1：

如图，正方形ABCD中，E、F分别为BC、CD上的点，且AE⊥BF，垂足为点G．

AE=BF．

变式训练：

等腰Rt△ABC中，AC=AB，∠BAC＝90°

，点D是AC的中点，AF⊥BD于点E，交BC于点F，连接DF，求证：

∠1=∠2。

例2：

.如图，点P是正方形ABCD边AB上一点（不与点A．B重合），连接PD并将线段PD绕点P顺时针方向旋转90°

得到线段PE， 

PE交边BC于点F．连接BE、DF。

∠ADP=∠EPB；

求∠CBE的度数；

等腰直角△ABC，其中AB=AC，∠BAC=90°

，过B、C作经过A点直线L的垂线，垂足分别为M、N．

（1）你能找到一对三角形的全等吗？

并说明．

（2）BM，CN，MN之间有何关系？

若将直线l旋转到如图2的位置，其他条件不变，那么上题的结论是否依旧成立？

A、例题

如图所示，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°

，D为AC中点，AF⊥BD于点E，交BC于F，连接DF.

∠ADB＝∠CDF.

变式1、已知：

如图所示，在△ABC中，AB＝AC，AM＝CN，AF⊥BM于E，交BC于F，连接NF.

（1）∠AMB＝∠CNF；

（2）BM＝AF＋FN.

变式2、在变式1的基础上，其他条件不变，只是将BM和FN分别延长交于点P，

（1）PM＝PN；

（2）PB＝PF＋AF.

四、角平分线模型

1、角平分线的性质模型

如图，P是∠MON的平分线上一点，过点P作

PA⊥OM于点A，PB⊥ON于点B。

结论：

PB=PA

（1）如图①，在△ABC中，∠C=90°

，AD平分∠CAB，BC=6，BD=4，那么点D到直线AB的距离是；

（2）如图②，∠1=∠2，∠3=∠4。

AP平分∠BAC。

如图，△ABC的外角∠ACD的平分线CP与内角∠ABC的平分线BP交于点

P，若∠BPC=40°

，则∠CAP=。

．如图，在四边形ABCD中，BC>

AB，AD=DC，BD平分∠ABC。

求证：

∠BAD+∠BCD=180°

。

2、翻折全等（对称）

如图，P是∠MON的平分线上一点，点A是射线OM上任意一点，在ON

上截取OB=OA，连接PB。

△OPB≌△OPA。

两个图形辅助线都是在射线ON上取点B，使OB＝OA，从而使△OAC≌△OBC.

1、如图，在△ABC中，∠BAC=60°

，∠C=40°

，AP平分∠BAC交BC于P，BQ平分∠ABC交AC于Q，求证：

AB＋BP＝BQ＋AQ.

2、如图，在△ABC中，AD是∠BAC的外角平分线，P是AD上异于点A的任意一点，试比较PB＋PC与AB＋AC的大小，并说明理由.

B、模型巩固

1、在△ABC中，AB＞AC，AD是∠BAC的平分线，P是线段AD上任意一点（不与A重合）.

AB－AC＞PB－PC.

2、如图，△ABC中，AB＝AC，∠A＝100°

，∠B的平分线交AC于D，

AD＋BD＝BC.

3、如图，△ABC中，BC＝AC，∠C＝90°

，∠A的平分线交BC于D，

AC＋CD＝AB.

3、角平分线+垂线→等腰（三线合一）

如图，P是∠MO的平分线上一点，AP⊥OP于P点，延长AP于点B。

△AOB是等腰三角形。

如图，已知等腰直角三角形ABC中，∠A=90°

，AB=AC，BD平分∠ABC，

CE⊥BD，垂足为E。

BD=2CE。

如图，在△ABC中，BE是角平分线，AD⊥BE，垂足为D。

∠2=∠1+∠C。

（1）如图①，BD、CE分别是△ABC的外角平分，过点A作AD⊥BD、

AE⊥CE，垂足分别为D、E，连接DE。

（1）AB+AC+BC=MN

（2）如图②，BD、CE分别是△ABC的内角平分，其它条件不变。

上述结论是否成立？

成立请说明理由，若不成立，那MN与△ABC三边又有怎样的数量关系？

请写出你的猜想，并进行证明。

（3）如图③，BD是△ABC的内角平分，CE是△ABC的外角平分，其它条件不变。

MN与△ABC三边又有怎样的数量关系？

4、角平分线+平行线→等腰（底角相等）

如图，P是∠MO的平分线上一点，过点

P作PQ∥ON，交OM于点Q。

△POQ是等腰三角形。

如图，在△ABC中，∠ABC、∠ACB的平分线交

于点E，过点E作EF∥BC，交AB于点M，交AC

于点N。

若BM+CN=9，则线段MN的长为。

如图，梯形ABCD中，AD∥BC，点E在CD上，且AE平分∠BAD，BE平分∠ABC。

AD=AB-BC。

二、等腰直角三角形模型

（一）旋转中心为直角顶点，在斜边上任取一点的旋转全等：

操作过程：

（1）将△ABD逆时针旋转90°

，得△ACM≌△ABD，从而推出△ADM为等腰直角三角形.

（2）辅助线作法：

过点C作MC⊥BC，使CM＝BD，连结AM.

（二）旋转中心为斜边中点，动点在两直角边上滚动的旋转全等：

连结AD.

（1）使BF＝AE（或AF＝CE），导出△BDF≌△ADE.

（2）使∠EDF＋∠BAC＝180°

，导出△BDF≌△ADE.

1、如图，在等腰直角△ABC中，∠BAC＝90°

，点M、N在斜边BC上滑动，且∠MAN＝45°

，试探究BM、MN、CN之间的数量关系.

2、两个全等的含有30°

，60°

角的直角三角板ADE和ABC，按如图所示放置，E、A、C三点在一条直线上，连接BD，取BD的中点M，连接ME、MC.

试判断△EMC的形状，并证明你的结论.

1、已知，如图所示，Rt△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°

，O为BC中点，若M、N分别在线段AC、AB上移动，且在移动中保持AN＝CM.

（1）试判