1、,知即f的作用范围为,又f对f(x)作用所以,即中x应满足即故函数的定义域为(2)、已知设,由此得,所以f的作用范围为E,又f对x作用,作用范围不变,所以为例3. 已知的定义域为_。所以f的作用范围为,又f对x作用,作用范围不变,所以即函数例4. 已知,f的作用范围为(3)、已知,的作用范围为E,又f对,F为例5. 若函数,则的定义域为_。的作用范围为又f对作用,所以评注:函数定义域是自变量x的取值范围(用集合或区间表示)f对谁作用,则谁的范围是f的作用范围,f的作用对象可以变,但f的作用范围不会变。利用这种理念求此类定义域问题会有“得来全不费功夫”的感觉,值得大家探讨。(二)同步练习:1、
2、已知函数,求函数答案:2、 已知函数,求3、 已知函数4、设的定义域为( ) A. B. C. D. 解:选C.由得,。故5、已知函数解析由已知,有(1)当时,定义域为;(2)当时,有定义域为(3)当.故当当点评对于含有参数的函数,求其定义域,必须对字母进行讨论,要注意思考讨论字母的方法。三、复合函数单调性问题(1)引理证明已知函数.若在区间)上是减函数,其值域为(c,d),又函数在区间(c,d)上是减函数,那么,原复合函数)上是增函数.证明:)内任取两个数,使因为)上是减函数,所以,记,因为函数在区间(c,d)上是减函数,所以,即(2)复合函数单调性的判断复合函数的单调性是由两个函数共同决定
3、。为了记忆方便,我们把它们总结成一个图表:增 减 以上规律还可总结为:“同向得增,异向得减”或“同增异减”.(3)、复合函数的单调性判断步骤: 确定函数的定义域; 将复合函数分解成两个简单函数:与 分别确定分解成的两个函数的单调性; 若两个函数在对应的区间上的单调性相同(即都是增函数,或都是减函数),则复合后的函数为增函数; 若两个函数在对应的区间上的单调性相异(即一个是增函数,而另一个是减函数),则复合后的函数为减函数。(4)例题演练例1、 求函数的单调区间,并用单调定义给予证明定义域单调减区间是 设则 = 又底数 即在上是减函数同理可证:上是增函数例2、讨论函数的单调性.解由得函数的定义域
4、为则当时,若,为增函数,为增函数.若为减函数.为减函数,若例3、.已知y= (2-)在0,1上是x的减函数,求a的取值范围.a0且a1当a1时,函数t=2-0是减函数由y=)在0,1上x的减函数,知y=t是增函数,a1由x0,1时,2-2-a0,得a2,1a2当0a1时,函数t=2-0是增函数t是减函数,012-10, 0综上述,01或1a2例4、已知函数(为负整数)的图象经过点,设.问是否存在实数使得上是减函数,且在区间上是减函数?并证明你的结论。解析由已知,得其中为负整数,假设存在实数,使得满足条件,设,当时,为减函数,, 时, 增函数,. 由、可知,故存在(5)同步练习:1函数y(x23
5、x2)的单调递减区间是()A(,1) B(2,)C(,) D(,)先求函数定义域为(o,1)(2,),令t(x)x23x2,函数t(x)在(,1)上单调递减,在(2,)上单调递增,根据复合函数同增异减的原则,函数y(x23x2)在(2,)上单调递减B2找出下列函数的单调区间.(1)(2)(1)在上是增函数,在上是减函数。(2)单调增区间是,减区间是3、讨论的单调性。时为增函数,为增函数。4求函数y(x25x4)的定义域、值域和单调区间由(x)x25x40,解得x4或x1,所以x(,1)(4,),当x(,1)(4,),x25x4R,所以函数的值域是R因为函数y(x25x4)是由y(x)与(x)x
6、25x4复合而成,函数y(x)在其定义域上是单调递减的,函数(x)x25x4在(,)上为减函数,在,上为增函数考虑到函数的定义域及复合函数单调性,y(x25x4)的增区间是定义域内使y(x)为减函数、(x)x25x4也为减函数的区间,即(,1);y(x25x4)的减区间是定义域内使y(x)x25x4为增函数的区间,即(4,)变式练习一、选择题1函数f(x)的定义域是() A(1,) B(2,) C(,2) D解析:要保证真数大于0,还要保证偶次根式下的式子大于等于0,所以解得1x2答案:D2函数y A(,1) B(2,) C(,3若2(x2y)xy,则的值为() A4 B1或 C1或4 D错解
7、:由2y,得(x2y)2xy,解得x4y或xy,则有或1选B正解:上述解法忽略了真数大于0这个条件,即x2y0,所以x2y所以xy舍掉只有x4y4若定义在区间(1,0)内的函数f(x)(x1)满足f(x)0,则a的取值范围为() A(0,) B(0,) C(,) D(0,)因为x(1,0),所以x1(0,1)当f(x)0时,根据图象只有02al,解得0a(根据本节思维过程中第四条提到的性质)A5函数y1)的图象关于() Ay轴对称 Bx轴对称 C原点对称 D直线yx对称1),所以为奇函数形如y或y的函数都为奇函数C二、填空题已知y(2ax)在0,1上是x的减函数,则a的取值范围是_a0且a1(
8、x)2ax是减函数,要使y(2ax)是减函数,则a1,又2ax0a(0x1)a2,所以a(1,2)a(1,2)7函数f(x)的图象与g(x)()x的图象关于直线yx对称,则f(2xx2)的单调递减区间为_因为f(x)与g(x)互为反函数,所以f(x)x则f(2xx2)(2xx2),令(x)2xx20,解得0x2(x)2xx2在(0,1)上单调递增,则f(x)在(0,1)上单调递减;(x)2xx2在(1,2)上单调递减,则f(x)在1,2)上单调递增所以f(2xx2)的单调递减区间为(0,1)(0,1)8已知定义域为R的偶函数f(x)在0,上是增函数,且f()0,则不等式f(log4x)的解集是_因为f(x)是偶函数,所以f()f()0又f(x)在0,上是增函数,所以f(x)在(,0)上是减函数所以f(log4x)0log4x或log4x解得x2或0x
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