1、(1)因式分解求零点例1 讨论函数的单调区间解析:即求的符号问题。由可以因式分方法二:猜出特值,证明唯一对于有些复杂的函数,有些零点可能是很难用方程求解的方法求出的,这时我们可以考虑用特殊值去猜出零点,再证明该函数的单调性而验证其唯一性。例4 讨论函数,的极值情况,只能解出的一个零点为,其它的零点就是的根,不能解。例5(2011高考浙江理科)设函数 ()若为的极值点,求实数()求实数的取值范围,使得对任意的恒有成立(注:为自然对数),方法三:锁定区间,设而不求对于例5,也可以直接设函数来求,当时,对于任意的实数,恒有成立当,由题意,首先有解得由,但这时会发现 的解除了外还有=0的解,显然无法用
2、特殊值猜出。令,注意到,且=。故在及(1,3e)至少还有一个零点,又在(0,+)内单调递增,所以函数在内有唯一零点,但此时无法求出此零点怎么办。我们可以采取设而不求的方法,记此零点为,则。 从而,当时,;当时,;当时,即在内单调递增,在内单调递减,在内单调递增。所以要使对恒成立,只要成立。,知(3)将(3)代入(1)得,又,注意到函数在1,+)内单调递增,故。再由(3)以及函数在(1.+ +)内单调递增,可得。由(2)解得,。所以综上,a的取值范围为。例6 已知函数是奇函数,且图像在(e为自然对数的底数)处的切线斜率为3(1) 求的值(2) 若,且对任意恒成立,求的最大值。例7 (2009高考全国理科)设函数有两个极值点,且,(I)求的取值范围,并讨论的单调性;(II)证明: 方法四:避开求值,等价替换。对于有些函数的零点问题,可能用方法一、二、三都无法解决,这是我们可以考虑回避求其零点。避开方法:放缩不等式例8 设函数 ()若,求的单调区间()若当求的取值范围。与例8类似,下面的2010高考全国理科的最后一题,也是这样的处理方法。设函数()证明:()设当时,求a的取值范围