1、|y1y2|. 判断(正确的打“”,错误的打“”) x2y2(1)点P(2,1)在椭圆491的内部.( ) (2)过椭圆外一点一定能作两条直线与已知椭圆相切.( ) y2(3)过点A(0,1)的直线一定与椭圆x21相交.( ) 2(4)长轴是椭圆中最长的弦.( ) 【答案】 (1) (2) (3) (4) 例题分析 (1)若直线mxny4和O:x2y24没有交点,则过点P(m,n)x2y2的直线与椭圆941的交点个数为( ) 个 B.至多一个个个 (2)已知椭圆4x2y21及直线yxm,问m为何值时,直线与椭圆相切、相交? 【精彩点拨】 利用几何法判断直线与椭圆的位置关系. 【自主解答】 (1
2、)若直线与圆没有交点,则d4mn222, 2222mnmnm2n24,即41.941,点(m,n)在椭圆的内部,故直线与椭圆有2个交点. 【答案】 A (2)将yxm代入4x2y21, 消去y整理得5x22mxm210. 4m220(m21)2016m2. 第 2 页 共 9 页 5当0时,得m2,直线与椭圆相切. 55当0时,得2m2,直线与椭圆相交. 小结 1.直线与椭圆的位置关系是通过代数法完成的,的符号决定了交点的个数,从而确定了其位置关系. 2.有关直线与椭圆的位置关系存在两类问题,一是判断位置关系,二是依据位置关系确定参数的范围,两类问题在解决方法上是一致的,都要将直线与椭圆方程联
3、立,利用判别式及根与系数的关系进行求解. 再练一题 1.已知椭圆的方程为x22y22. (1)判断直线yx3与椭圆的位置关系; (2)判断直线yx2与椭圆的位置关系; (3)在椭圆上找一点P,使P到直线yx2的距离最小,并求出这个最小距离. ?yx3,【解】 (1)?得3x243x40, 22?x2y2,(43)24340,直线yx3与椭圆相切. ?yx2,(2)?得3x28x60. 22?x2y2,644680,直线yx2与椭圆相离. (3)(1)、(2)知直线yx3与椭圆的切点P满足条件,(1)得P的坐标为|23|6?233?,最小距离d22. 3,3?2x2y2已知椭圆3691和点P(4
4、,2),直线l经过点P且与椭圆交于A、B两1点.(1)当直线l的斜率为2时,求线段AB的长度;(2)当P点恰好为线段AB的中点时,求l的方程. 第 3 页 共 9 页 【精彩点拨】 (1)设直线方程联立方程组利用弦长公式求解; (2)考查椭圆的中点弦问题及“点差法”的运用. 1【自主解答】 (1)已知可得直线l的方程为y22(x4), 1y?2x,1即y2x.?2xy2?3691,可得x2180,若设A(x1,y1),B(x2,y2). 则x1x20,x1x218. 于是|AB|15?x1x2?24?22?2?y1y2?2 5?x1x2?24x1x2262310. 所以线段AB的长度为310.
5、 (2)法一:设l的斜率为k, x2y2?3691,则其方程为y2k(x4).联立?y2k?x4?,消去y得(14k2)x2(32k216k)x(64k264k20)0. 32k216k若设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1x2, 14k2x1x216k28k于AB的中点恰好为P(4,2),所以24, 214k11解得k2,且满足0.这时直线的方程为y22(x4), 1即y2x4. 法二:设A(x1,y1),B(x2,y2), 22x1y1?3691,则有?22x2y2?3691,222x22x1y2y1两式相减得3690, 第 4 页 共 9 页 y2y19?x2x1?整理得kAB,
6、于P(4,2)是AB的中点, x2x136?y2y1?x1x28,y1y24,于是kAB9812, 36411于是直线AB的方程为y22(x4),即y2x4. 小结 1.求解直线与椭圆相交所得的弦长问题,一般思路是将直线方程与椭圆方程联立,得到关于x(或y)的一元二次方程,然后结合根与系数的关系及两点间的距离公式求弦长.一定要熟记公式的形式并能准确运算. 2.解决椭圆中点弦问题的两种方法 (1)根与系数的关系法:联立直线方程和椭圆方程构成方程组,消去一个未知数,利用一元二次方程根与系数的关系以及中点坐标公式解决. (2)点差法:利用交点在曲线上,坐标满足方程,将交点坐标分别代入椭圆方程,然后作
7、差,构造出中点坐标和斜率的关系,具体如下:已知A(x1,y1),B(x2,y2)x2y2是椭圆a2b21(ab0)上的两个不同的点,M(x0,y0)是线段AB的中点, 2x1y21?221, ?ab则?2x2y22221, ?ab11222,得a2(x21x2)2(y1y2)0, by1y2b2x1x2b2x0b2x0变形得a2a2y0,即kABa2y0. x1x2y1y2再练一题 x2y232.椭圆a2b21(ab0)的离心率为2,且椭圆与直线x2y80相交于P,Q,且|PQ|10,求椭圆的方程. 31【解】 e2,b24a2.椭圆方程为x24y2a2. 与x2y80联立消去y,得2x216
8、x64a20, 50得a232,弦长公式得104642(64a2). 第 5 页 共 9 页 x2y2a36,b9. 椭圆的方程为3691. 22探究 在椭圆的有关问题中,常出现离心率、弦长或面积的范围、最值问题,这类问题一般思路是什么? 【提示】 (1)解决与椭圆有关的最值问题,一般先根据条件列出所求目标函数的关系式,然后根据函数关系式的特征选用配方法,应用不等式的性质,以及三角函数的最值求法求出它的最大值或最小值及范围. x2y2(2)解决椭圆a2b21(ab0)中的范围问题常用的关系有 axa,byb;离心率0e1;一元二次方程有解, 则判别式0. 已知椭圆C:x22y24.(1)求椭圆
9、C的离心率;(2)设O为原点,若点A在直线y2上,点B在椭圆C上,且OAOB,求线段AB长度的最小值. 【精彩点拨】 (2)中,设A,B坐标OAOB0|AB|化为关于x0的函数求最值. x2y2【自主解答】 (1)题意,椭圆C的标准方程为421, 所以a24,b22,从而c2a2b22.因此a2,c2. c2故椭圆C的离心率ea2. (2)设点A,B的坐标分别为(t,2),(x0,y0),其中x00.因为OAOB,所以OAOB2y00,即tx02y00,解得tx. 0又2y0?222222?x?x02y04,所以|AB|(x0t)(y02)0x?(y02)2 ?0?2224x2?4x?004y
10、x2800222x0y0x24x02x242x24(0x204). 000第 6 页 共 9 页 x2802因为2x24(00所以|AB|28.故线段AB长度的最小值为22. 小结 解析几何中的综合性问题很多,而且可与很多知识联系在一起出题,例如不等式、三角函数、平面向量以及函数的最值问题等,解决这类问题需要正确地应用转化思想、函数与方程思想和数形结合思想.其中应用比较多的是利用方程根与系数的关系构造等式或函数关系式,这其中要注意利用根的判别式来确定参数的限制条件. 再练一题 x2y263.已知椭圆221(ab0)的离心率为,短轴的一个端点到右焦点的ab3距离为3,直线l:ykxm交椭圆于不同
11、的两点A,B. (1)求椭圆的方程; 3(2)若坐标原点O到直线l的距离为2,求AOB面积的最大值. c6【解】 (1)a3,a3, x22所以c2,b1,所以椭圆的方程为3y1. (2)已知332,所以m24(1k2), 1k2|m|x22联立l:ykxm和3y1,消去y,整理可得: 23m3222(13k)x6kmx3m30,所以x1x2,x1x2, 2213k13k22212?1k?3k1m?222所以|AB|(1k)(x1x2) ?13k2?26km3?k21?9k21?212k2123434(k0), 2129k6k19kk26第 7 页 共 9 页 33当且仅当k3时取等号,验证知k3满足题意, 133显然k0时,|AB|234.所以(SAOB)max2. 222x2y21.已知椭圆a2b21有两个顶点在直线x2y2上,则该椭圆的焦点坐标是( ) A.(3,0) B.(0,3) C.(5,0)D.(0,5) 【解析】 直线x2y2过(2,0)和(0,1)点, a2,b1,c3.椭圆焦点坐标为(3,0). 【答案】 A x2y22.若直线ykx2与椭圆321相切,则斜率k的值是( ) B.3 C.3D.
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