椭圆方程及性质的应用Word文件下载.docx

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|y1－y2|.　　　　判断（正确的打“√”，错误的打“×

”）x2y2　　

（1）点P（2,1）在椭圆4＋9＝1的内部.（）　　

（2）过椭圆外一点一定能作两条直线与已知椭圆相切.（）y2　　（3）过点A（0,1）的直线一定与椭圆x＋2＝1相交.（）　　2　　（4）长轴是椭圆中最长的弦.（）【答案】

（1）×

（2）√（3）√（4）√　　例题分析　　

（1）若直线mx＋ny＝4和⊙O：

x2＋y2＝4没有交点，则过点P（m，n）x2y2　　的直线与椭圆9＋4＝1的交点个数为（）　　个B.至多一个　　个　　个　　

（2）已知椭圆4x2＋y2＝1及直线y＝x＋m，问m为何值时，直线与椭圆相切、相交？

　　【精彩点拨】利用几何法判断直线与椭圆的位置关系.【自主解答】

（1）若直线与圆没有交点，则d＝　　4m＋n　　2　　2　　＞2，　　2222m＋nmn　　∴m2＋n2＜4，即4＜1.∴9＋4＜1，∴点（m，n）在椭圆的内部，故直　　线与椭圆有2个交点.【答案】A　　

（2）将y＝x＋m代入4x2＋y2＝1，消去y整理得5x2＋2mx＋m2－1＝0.Δ＝4m2－20（m2－1）＝20－16m2.　　第2页共9页　　5　　当Δ＝0时，得m＝±

2，直线与椭圆相切.55　　当Δ＞0时，得－2＜m＜2，直线与椭圆相交.小结　　1.直线与椭圆的位置关系是通过代数法完成的，Δ的符号决定了交点的个数，从而确定了其位置关系.　　2.有关直线与椭圆的位置关系存在两类问题，一是判断位置关系，二是依据位置关系确定参数的范围，两类问题在解决方法上是一致的，都要将直线与椭圆方程联立，利用判别式及根与系数的关系进行求解.[再练一题]　　1.已知椭圆的方程为x2＋2y2＝2.　　

（1）判断直线y＝x＋3与椭圆的位置关系；

（2）判断直线y＝x＋2与椭圆的位置关系；

　　（3）在椭圆上找一点P，使P到直线y＝x＋2的距离最小，并求出这个最小距离.?

y＝x＋3，【解】

（1）?

得3x2＋43x＋4＝0，　　22?

x＋2y＝2，∵Δ＝（43）2－4×

3×

4＝0，∴直线y＝x＋3与椭圆相切.?

y＝x＋2，　　

（2）?

得3x2＋8x＋6＝0.　　22?

x＋2y＝2，　　∵Δ＝64－4×

6＝－8＜0，∴直线y＝x＋2与椭圆相离.　　（3）

（1）、

（2）知直线y＝x＋3与椭圆的切点P满足条件，

（1）得P的坐标为|2－3|6?

233?

－?

，最小距离d＝＝2－2.　　3，3?

2　　x2y2　　已知椭圆36＋9＝1和点P（4,2），直线l经过点P且与椭圆交于A、B两1　　点.

（1）当直线l的斜率为2时，求线段AB的长度；

（2）当P点恰好为线段AB的中点时，求l的方程.　　第3页共9页　　　　　　【精彩点拨】

（1）设直线方程→联立方程组→利用弦长公式求解；

（2）考查椭圆的中点弦问题及“点差法”的运用.　　1　　【自主解答】

（1）已知可得直线l的方程为y－2＝2（x－4），1y＝?

2x，1　　即y＝2x.?

2　　xy2?

36＋9＝1，　　　　可得x2－18＝0，若设A（x1，y1），B（x2，y2）.　　则x1＋x2＝0，x1x2＝－18.于是|AB|＝＝15?

x1－x2?

2＋4?

2＝2　　?

2＋?

y1－y2?

2　　5　　?

x1＋x2?

2－4x1x2＝2×

62＝310.　　所以线段AB的长度为310.

（2）法一：

设l的斜率为k，　　x2y2　　?

36＋9＝1，　　则其方程为y－2＝k（x－4）.联立?

　　?

y－2＝k?

x－4?

，　　　　　　消去y得（1＋4k2）x2－（32k2－16k）x＋（64k2－64k－20）＝0.32k2－16k　　若设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1＋x2＝，　　1＋4k2　　x1＋x216k2－8k　　于AB的中点恰好为P（4,2），所以2＝＝4，2　　1＋4k11　　解得k＝－2，且满足Δ＞0.这时直线的方程为y－2＝－2（x－4），1　　即y＝－2x＋4.　　法二：

设A（x1，y1），B（x2，y2），　　22x1y1?

36＋9＝1，则有?

22　　x2y2?

36＋9＝1，　　　　222　　x22－x1y2－y1　　两式相减得36＋9＝0，　　　　第4页共9页　　y2－y19?

x2＋x1?

　　整理得kAB＝＝－，于P（4,2）是AB的中点，　　x2－x136?

y2＋y1?

∴x1＋x2＝8，y1＋y2＝4，于是kAB＝－　　9×

81　　＝－2，36×

4　　11　　于是直线AB的方程为y－2＝－2（x－4），即y＝－2x＋4.小结　　1.求解直线与椭圆相交所得的弦长问题，一般思路是将直线方程与椭圆方程联立，得到关于x（或y）的一元二次方程，然后结合根与系数的关系及两点间的距离公式求弦长.一定要熟记公式的形式并能准确运算.2.解决椭圆中点弦问题的两种方法　　

（1）根与系数的关系法：

联立直线方程和椭圆方程构成方程组，消去一个未知数，利用一元二次方程根与系数的关系以及中点坐标公式解决.　　

（2）点差法：

利用交点在曲线上，坐标满足方程，将交点坐标分别代入椭圆方程，然后作差，构造出中点坐标和斜率的关系，具体如下：

已知A（x1，y1），B（x2，y2）x2y2　　是椭圆a2＋b2＝1（a＞b＞0）上的两个不同的点，M（x0，y0）是线段AB的中点，　　2x1y21?

2＋2＝1，①?

ab则?

2　　x2y22　　2＋2＝1，②?

ab　　　　11222　　①－②，得a2（x21－x2）＋2（y1－y2）＝0，b　　y1－y2b2x1＋x2b2x0b2x0变形得＝－a2·

＝－a2·

y0，即kAB＝－a2y0.x1－x2y1＋y2[再练一题]　　x2y23　　2.椭圆a2＋b2＝1（a>

b>

0）的离心率为2，且椭圆与直线x＋2y＋8＝0相交于P，Q，且|PQ|＝10，求椭圆的方程.　　31　　【解】∵e＝2，∴b2＝4a2.∴椭圆方程为x2＋4y2＝a2.与x＋2y＋8＝0联立消去y，得2x2＋16x＋64－a2＝0，5　　Δ>

0得a2>

32，弦长公式得10＝4×

[64－2（64－a2）].　　第5页共9页

　　　　　　x2y2　　∴a＝36，b＝9.∴椭圆的方程为36＋9＝1.　　2　　2　　探究在椭圆的有关问题中，常出现离心率、弦长或面积的范围、最值问题，这类问题一般思路是什么？

　　【提示】

（1）解决与椭圆有关的最值问题，一般先根据条件列出所求目标函数的关系式，然后根据函数关系式的特征选用配方法，应用不等式的性质，以及三角函数的最值求法求出它的最大值或最小值及范围.x2y2　　

（2）解决椭圆a2＋b2＝1（a＞b＞0）中的范围问题常用的关系有　　①－a≤x≤a，－b≤y≤b；

②离心率0＜e＜1；

③一元二次方程有解，则判别式Δ≥0.　　已知椭圆C：

x2＋2y2＝4.

（1）求椭圆C的离心率；

（2）设O为原点，若点A在直线y＝2上，点B在椭圆C上，且OA⊥OB，求线段AB长度的最小值.→→　　【精彩点拨】

（2）中，设A，B坐标→OA·

OB＝0→|AB|化为关于x0的函数→求最值.　　x2y2　　【自主解答】

（1）题意，椭圆C的标准方程为4＋2＝1，所以a2＝4，b2＝2，从而c2＝a2－b2＝2.因此a＝2，c＝2.c2　　故椭圆C的离心率e＝a＝2.　　→→　　

（2）设点A，B的坐标分别为（t,2），（x0，y0），其中x0≠0.因为OA⊥OB，所以OA·

OB2y0＝0，即tx0＋2y0＝0，解得t＝－x.　　0　　又　　2y0?

222222?

x＋?

x0＋2y0＝4，所以|AB|＝（x0－t）＋（y0－2）＝0x?

＋（y0－2）2?

0?

　　2224－x2?

4－x?

004yx2800222　　＝x0＋y0＋x2＋4＝x0＋2＋x2＋4＝2＋x2＋4（0＜x20≤4）.　　000　　　　第6页共9页　　x2802因为2＋x2≥4（0　　0所以|AB|2≥8.故线段AB长度的最小值为22.小结　　解析几何中的综合性问题很多，而且可与很多知识联系在一起出题，例如不等式、三角函数、平面向量以及函数的最值问题等，解决这类问题需要正确地应用转化思想、函数与方程思想和数形结合思想.其中应用比较多的是利用方程根与系数的关系构造等式或函数关系式，这其中要注意利用根的判别式来确定参数的限制条件.　　[再练一题]　　x2y26　　3.已知椭圆2＋2＝1（a＞b＞0）的离心率为，短轴的一个端点到右焦点的　　ab3距离为3，直线l：

y＝kx＋m交椭圆于不同的两点A，B.　　

（1）求椭圆的方程；

　　3　　

（2）若坐标原点O到直线l的距离为2，求△AOB面积的最大值.c6　　【解】

（1）a＝3，a＝3，　　x22　　所以c＝2，b＝1，所以椭圆的方程为3＋y＝1.

（2）已知　　33　　＝2，所以m2＝4（1＋k2），1＋k2|m|　　x22　　联立l：

y＝kx＋m和3＋y＝1，消去y，整理可得：

　　23m－3222　　（1＋3k）x＋6kmx＋3m－3＝0，所以x1＋x2＝，x1x2＝，22　　1＋3k1＋3k222　　12?

1＋k?

3k＋1－m?

222　　所以|AB|＝（1＋k）（x1－x2）＝　　?

1＋3k2?

2　　－6km　　＝3?

k2＋1?

9k2＋1?

2　　12k212　　＝3＋4＝3＋≤4（k≠0），2129k＋6k＋19k＋k2＋6　　第7页共9页　　　　33　　当且仅当k＝±

3时取等号，验证知k＝±

3满足题意，133　　显然k＝0时，|AB|2＝3＜4.所以（S△AOB）max＝×

2×

＝.　　222　　x2y2　　1.已知椭圆a2＋b2＝1有两个顶点在直线x＋2y＝2上，则该椭圆的焦点坐标是（）　　A.（±

3，0）B.（0，±

3）C.（±

5，0）　　D.（0，±

5）【解析】∵直线x＋2y＝2过（2,0）和（0,1）点，∴a＝2，b＝1，∴c＝3.椭圆焦点坐标为（±

3，0）.【答案】A　　x2y2　　2.若直线y＝kx＋2与椭圆3＋2＝1相切，则斜率k的值是（）B.－3C.±

3　　D.±