1、第一要彻底明白一些概念和运算的几何意义以及曲线的代数特征，对数学题目中的条件和结论既分析其几何意义又分析其代数意义；第二是恰当设参、合理用参，建立关系，由数思形，以形想数，做好数形转化；第三是正确确定参数的取值范围.数学中的知识，有的本身就可以看作是数形的结合.热点一函数与方程思想的应用 微题型1不等式问题中的函数（方程）法【例11】 （1）f（x）ax33x1对于x1，1，总有f（x）0成立，则a_.（2）设f（x），g（x）分别是定义在R上的奇函数和偶函数，当x0时，f（x）g（x）f（x）g（x）0，且g（3）0，则不等式f（x）g（x）0的解集是_.解析（1）若x0，则不论a取何值，f
2、（x）0显然成立；当x0即x（0，1时，f（x）ax33x10可化为a.设g（x），则g（x），所以g（x）在区间上单调递增，在区间上单调递减，因此g（x）maxg4，从而a4.当x0即x1，0）时，f（x）ax33x10可化为a，设g（x），且g（x）在区间1，0）上单调递增，因此g（x）ming（1）4，从而a4，综上a4.（2） 设F（x）f（x）g（x），由于f（x），g（x）分别是定义在R上的奇函数和偶函数，得F（x）f（x）g（x）f（x）g（x）F（x），即F（x）在R上为奇函数.又当x0时，F（x）f（x）g（x）f（x）g（x）0，所以x0时，F（x）为增函数.因为奇函数在对
3、称区间上的单调性相同，所以x0时，F（x）也是增函数.因为F（3）f（3）g（3）0F（3）.所以，由图可知F（x）0的解集是（，3）（0，3）.答案（1）4（2）（，3）（0，3）探究提高（1）在解决不等式问题时，一种最重要的思想方法就是构造适当的函数，利用函数的图象和性质解决问题；（2）函数f（x）0或f（x）0恒成立，一般可转化为f（x）min0或f（x）max0；已知恒成立求参数范围可先分离参数，然后利用函数值域求解.微题型2数列问题的函数（方程）法【例12】 已知数列an满足a13，an1anp3n（nN*，p为常数），a1，a26，a3成等差数列.（1）求p的值及数列an的通项公式
4、；（2）设数列bn满足bn，证明：bn.（1）解由a13，an1anp3n，得a233p，a3a29p312p.因为a1，a26，a3成等差数列，所以a1a32（a26），即3312p2（33p6），得p2，依题意知，an1an23n.当n2时，a2a1231，a3a2232，anan123n1.将以上式子相加得ana12（31323n1），所以ana123n3，所以an3n（n2）.又a13符合上式，故an3n.（2）证明因为an3n，所以bn.所以bn1bn （nN*），若2n22n10，则n，即当n2时，有bn1bn，又因为b1，b2，故bn.探究提高数列最值问题中应用函数与方程思想的常
5、见类型：（1）数列中的恒成立问题，转化为最值问题，利用函数的单调性或不等式求解.（2）数列中的最大项与最小项问题，利用函数的有关性质或不等式组求解.（3）数列中前n项和的最值：转化为二次函数，借助二次函数的单调性或求使an0（an0）成立时最大的n值即可求解.微题型3解析几何问题的方程（函数）法【例13】 设椭圆中心在坐标原点，A（2，0），B（0，1）是它的两个顶点，直线ykx（k0）与AB相交于点D，与椭圆相交于E、F两点.（1）若6，求k的值；（2）求四边形AEBF面积的最大值.解（1） 依题意得椭圆的方程为y21，直线AB，EF的方程分别为x2y2，ykx（k0）.如图，设D（x0，k
6、x0），E（x1，kx1），F（x2，kx2），其中x1x2，且x1，x2满足方程（14k2）x24，故x2x1.由6知x0x16（x2x0），得x0 （6x2x1）x2；由D在AB上知x02kx02，得x0.所以，化简得24k225k60，解得k或k.（2）根据点到直线的距离公式和式知，点E，F到AB的距离分别为h1，h2.又|AB|，所以四边形AEBF的面积为S|AB|（h1h2）22，当4k21（k0），即当k时，上式取等号.所以S的最大值为2.即四边形AEBF面积的最大值为2.探究提高解析几何中的最值是高考的热点，在圆锥曲线的综合问题中经常出现，求解此类问题的一般思路为在深刻认识运动变
7、化的过程之中，抓住函数关系，将目标量表示为一个（或者多个）变量的函数，然后借助于函数最值的探求来使问题得以解决.热点二数形结合思想的应用微题型1利用数形结合思想讨论方程的根或函数零点【例21】 （1）若函数f（x）|2x2|b有两个零点，则实数b的取值范围是_.（2）设函数f（x）（xR）满足f（x）f（x），f（x）f（2x），且当x0，1时，f（x）x3.又函数g（x）|xcos（x）|，则函数h（x）g（x）f（x）在上的零点个数为（）A.5 B.6 C.7 D.8解析（1）由f（x）|2x2|b有两个零点，可得|2x2|b有两个不等的实根，从而可得函数y|2x2|的图象与函数yb的图象
8、有两个交点，如图所示.结合函数的图象，可得0b2，故填（0，2）.（2）根据题意，函数yf（x）是周期为2的偶函数且0x1时，f（x）x3，则当1x0时，f（x）x3，且g（x）|xcos（x）|，所以当x0时，f（x）g（x）.当x0时，若0x，则x3xcos（x），即x2cos x.再根据函数性质画出上的图象，在同一个坐标系中作出所得关系式等号两边函数的图象，如图所示，有5个根.所以总共有6个.答案（1）（0，2）（2）B探究提高用图象法讨论方程（特别是含参数的指数、对数、根式、三角等复杂方程）的解（或函数零点）的个数是一种重要的思想方法，其基本思想是先把方程两边的代数式看作是两个熟悉函数
9、的表达式（不熟悉时，需要作适当变形转化为两个熟悉的函数），然后在同一坐标系中作出两个函数的图象，图象的交点个数即为方程解（或函数零点）的个数.微题型2利用数形结合思想解不等式或求参数范围【例22】 （1）若不等式k（x2）的解集为区间a，b，且ba2，则k_.（2）若不等式|x2a|xa1对xR恒成立，则a的取值范围是_.解析（1）如图，分别作出直线yk（x2）与半圆y.由题意，知直线在半圆的上方，由ba2，可知b3，a1，所以直线yk（x2）过点（1，2），则k. （2）作出y|x2a|和yxa1的简图，依题意知应有2a22a，故a.答案（1） （2） 探究提高求参数范围或解不等式问题经常联
10、系函数的图象，根据不等式中量的特点，选择适当的两个（或多个）函数，利用两个函数图象的上、下位置关系转化数量关系来解决问题，往往可以避免繁琐的运算，获得简捷的解答.微题型3利用数形结合思想求最值【例23】 （1）已知P是直线l：3x4y80上的动点，PA、PB是圆x2y22x2y10的两条切线，A、B是切点，C是圆心，则四边形PACB面积的最小值为_.（2）（2015全国卷）已知F是双曲线C：x21的右焦点，P是C的左支上一点，A（0，6），当APF周长最小时，该三角形的面积为_.解析（1） 从运动的观点看问题，当动点P沿直线3x4y80向左上方或右下方无穷远处运动时，直角三角形PAC的面积SR
11、tPAC|PA|AC|PA|越来越大，从而S四边形PACB也越来越大；当点P从左上、右下两个方向向中间运动时，S四边形PACB变小，显然，当点P到达一个最特殊的位置，即CP垂直直线l时，S四边形PACB应有唯一的最小值，此时|PC|3，从而|PA|2.所以（S四边形PACB）min2|PA|AC|2.（2）设双曲线的左焦点为F1，连接PF1，根据双曲线的定义可知|PF|2|PF1|，则APF的周长为|PA|PF|AF|PA|2|PF1|AF|PA|PF1|AF|2，由于|AF|2是定值，要使APF的周长最小，则|PA|PF1|最小，即P，A，F1三点共线，如图所示.由于A（0，6），F1（3，0），直线AF1的方程为：1，即x3，代入双曲线方程整理可得y26y960，解得y2或y8 （舍去），所以点P的纵坐标为2.所以SAPFSAFF1SPFF166212.答案（1）2（2）12探究提高破解圆锥曲线问题的关键是画出相应的图形，注意数形结合的相互渗透，并从相关的图形中挖掘对应的信息加以分析与研究.直线与圆锥曲线的位置关系的转化有两种，一种是通过数形结合建立相应的关系式，另一种是通过代数形式转化为二元二次方程组的解的问题进行讨论.1.当问题中涉及一些变化的量时，就需要建立这些变化的量
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