1、第一要彻底明白一些概念和运算的几何意义以及曲线的代数特征,对数学题目中的条件和结论既分析其几何意义又分析其代数意义;第二是恰当设参、合理用参,建立关系,由数思形,以形想数,做好数形转化;第三是正确确定参数的取值范围.数学中的知识,有的本身就可以看作是数形的结合.热点一函数与方程思想的应用 微题型1不等式问题中的函数(方程)法【例11】 (1)f(x)ax33x1对于x1,1,总有f(x)0成立,则a_.(2)设f(x),g(x)分别是定义在R上的奇函数和偶函数,当x0时,f(x)g(x)f(x)g(x)0,且g(3)0,则不等式f(x)g(x)0的解集是_.解析(1)若x0,则不论a取何值,f
2、(x)0显然成立;当x0即x(0,1时,f(x)ax33x10可化为a.设g(x),则g(x),所以g(x)在区间上单调递增,在区间上单调递减,因此g(x)maxg4,从而a4.当x0即x1,0)时,f(x)ax33x10可化为a,设g(x),且g(x)在区间1,0)上单调递增,因此g(x)ming(1)4,从而a4,综上a4.(2) 设F(x)f(x)g(x),由于f(x),g(x)分别是定义在R上的奇函数和偶函数,得F(x)f(x)g(x)f(x)g(x)F(x),即F(x)在R上为奇函数.又当x0时,F(x)f(x)g(x)f(x)g(x)0,所以x0时,F(x)为增函数.因为奇函数在对
3、称区间上的单调性相同,所以x0时,F(x)也是增函数.因为F(3)f(3)g(3)0F(3).所以,由图可知F(x)0的解集是(,3)(0,3).答案(1)4(2)(,3)(0,3)探究提高(1)在解决不等式问题时,一种最重要的思想方法就是构造适当的函数,利用函数的图象和性质解决问题;(2)函数f(x)0或f(x)0恒成立,一般可转化为f(x)min0或f(x)max0;已知恒成立求参数范围可先分离参数,然后利用函数值域求解.微题型2数列问题的函数(方程)法【例12】 已知数列an满足a13,an1anp3n(nN*,p为常数),a1,a26,a3成等差数列.(1)求p的值及数列an的通项公式
4、;(2)设数列bn满足bn,证明:bn.(1)解由a13,an1anp3n,得a233p,a3a29p312p.因为a1,a26,a3成等差数列,所以a1a32(a26),即3312p2(33p6),得p2,依题意知,an1an23n.当n2时,a2a1231,a3a2232,anan123n1.将以上式子相加得ana12(31323n1),所以ana123n3,所以an3n(n2).又a13符合上式,故an3n.(2)证明因为an3n,所以bn.所以bn1bn (nN*),若2n22n10,则n,即当n2时,有bn1bn,又因为b1,b2,故bn.探究提高数列最值问题中应用函数与方程思想的常
5、见类型:(1)数列中的恒成立问题,转化为最值问题,利用函数的单调性或不等式求解.(2)数列中的最大项与最小项问题,利用函数的有关性质或不等式组求解.(3)数列中前n项和的最值:转化为二次函数,借助二次函数的单调性或求使an0(an0)成立时最大的n值即可求解.微题型3解析几何问题的方程(函数)法【例13】 设椭圆中心在坐标原点,A(2,0),B(0,1)是它的两个顶点,直线ykx(k0)与AB相交于点D,与椭圆相交于E、F两点.(1)若6,求k的值;(2)求四边形AEBF面积的最大值.解(1) 依题意得椭圆的方程为y21,直线AB,EF的方程分别为x2y2,ykx(k0).如图,设D(x0,k
6、x0),E(x1,kx1),F(x2,kx2),其中x1x2,且x1,x2满足方程(14k2)x24,故x2x1.由6知x0x16(x2x0),得x0 (6x2x1)x2;由D在AB上知x02kx02,得x0.所以,化简得24k225k60,解得k或k.(2)根据点到直线的距离公式和式知,点E,F到AB的距离分别为h1,h2.又|AB|,所以四边形AEBF的面积为S|AB|(h1h2)22,当4k21(k0),即当k时,上式取等号.所以S的最大值为2.即四边形AEBF面积的最大值为2.探究提高解析几何中的最值是高考的热点,在圆锥曲线的综合问题中经常出现,求解此类问题的一般思路为在深刻认识运动变
7、化的过程之中,抓住函数关系,将目标量表示为一个(或者多个)变量的函数,然后借助于函数最值的探求来使问题得以解决.热点二数形结合思想的应用微题型1利用数形结合思想讨论方程的根或函数零点【例21】 (1)若函数f(x)|2x2|b有两个零点,则实数b的取值范围是_.(2)设函数f(x)(xR)满足f(x)f(x),f(x)f(2x),且当x0,1时,f(x)x3.又函数g(x)|xcos(x)|,则函数h(x)g(x)f(x)在上的零点个数为()A.5 B.6 C.7 D.8解析(1)由f(x)|2x2|b有两个零点,可得|2x2|b有两个不等的实根,从而可得函数y|2x2|的图象与函数yb的图象
8、有两个交点,如图所示.结合函数的图象,可得0b2,故填(0,2).(2)根据题意,函数yf(x)是周期为2的偶函数且0x1时,f(x)x3,则当1x0时,f(x)x3,且g(x)|xcos(x)|,所以当x0时,f(x)g(x).当x0时,若0x,则x3xcos(x),即x2cos x.再根据函数性质画出上的图象,在同一个坐标系中作出所得关系式等号两边函数的图象,如图所示,有5个根.所以总共有6个.答案(1)(0,2)(2)B探究提高用图象法讨论方程(特别是含参数的指数、对数、根式、三角等复杂方程)的解(或函数零点)的个数是一种重要的思想方法,其基本思想是先把方程两边的代数式看作是两个熟悉函数
9、的表达式(不熟悉时,需要作适当变形转化为两个熟悉的函数),然后在同一坐标系中作出两个函数的图象,图象的交点个数即为方程解(或函数零点)的个数.微题型2利用数形结合思想解不等式或求参数范围【例22】 (1)若不等式k(x2)的解集为区间a,b,且ba2,则k_.(2)若不等式|x2a|xa1对xR恒成立,则a的取值范围是_.解析(1)如图,分别作出直线yk(x2)与半圆y.由题意,知直线在半圆的上方,由ba2,可知b3,a1,所以直线yk(x2)过点(1,2),则k. (2)作出y|x2a|和yxa1的简图,依题意知应有2a22a,故a.答案(1) (2) 探究提高求参数范围或解不等式问题经常联
10、系函数的图象,根据不等式中量的特点,选择适当的两个(或多个)函数,利用两个函数图象的上、下位置关系转化数量关系来解决问题,往往可以避免繁琐的运算,获得简捷的解答.微题型3利用数形结合思想求最值【例23】 (1)已知P是直线l:3x4y80上的动点,PA、PB是圆x2y22x2y10的两条切线,A、B是切点,C是圆心,则四边形PACB面积的最小值为_.(2)(2015全国卷)已知F是双曲线C:x21的右焦点,P是C的左支上一点,A(0,6),当APF周长最小时,该三角形的面积为_.解析(1) 从运动的观点看问题,当动点P沿直线3x4y80向左上方或右下方无穷远处运动时,直角三角形PAC的面积SR
11、tPAC|PA|AC|PA|越来越大,从而S四边形PACB也越来越大;当点P从左上、右下两个方向向中间运动时,S四边形PACB变小,显然,当点P到达一个最特殊的位置,即CP垂直直线l时,S四边形PACB应有唯一的最小值,此时|PC|3,从而|PA|2.所以(S四边形PACB)min2|PA|AC|2.(2)设双曲线的左焦点为F1,连接PF1,根据双曲线的定义可知|PF|2|PF1|,则APF的周长为|PA|PF|AF|PA|2|PF1|AF|PA|PF1|AF|2,由于|AF|2是定值,要使APF的周长最小,则|PA|PF1|最小,即P,A,F1三点共线,如图所示.由于A(0,6),F1(3,0),直线AF1的方程为:1,即x3,代入双曲线方程整理可得y26y960,解得y2或y8 (舍去),所以点P的纵坐标为2.所以SAPFSAFF1SPFF166212.答案(1)2(2)12探究提高破解圆锥曲线问题的关键是画出相应的图形,注意数形结合的相互渗透,并从相关的图形中挖掘对应的信息加以分析与研究.直线与圆锥曲线的位置关系的转化有两种,一种是通过数形结合建立相应的关系式,另一种是通过代数形式转化为二元二次方程组的解的问题进行讨论.1.当问题中涉及一些变化的量时,就需要建立这些变化的量
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