高中数学解三角形知识点汇总情况及典型例题.docx

1、高中数学解三角形知识点汇总情况及典型例题解三角形的必备知识和典型例题及详解一、知识必备：1 直角三角形中各元素间的关系：在ABC 中，C= 90 , AB = c, AC= b , BC= a。(1)三边之间的关系：a2 + b2= c2。(勾股定理)(2)锐角之间的关系：A+ B= 90 ;(3)边角之间的关系：(锐角三角函数定义)a basi nA = cosB=, cos A = sin B= , tan A=。c c b2 斜三角形中各兀素间的关系：在AABC中，A、B、C为其内角，a、b、c分别表示 A、B、C的对边。(1 )三角形内角和： A + B+ C= n。(2)正弦定理：在

2、一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等 口a b c 十2R (R为外接圆半径)sin A sinB sinC(3 )余弦定理：三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍口a2 = b2+ c2 2bccos A; b2 = c2 + a2 2cacos B; c2= a2 + b2 2ab cos C3 三角形的面积公式：1 1 1 一 亠(1) S = aha= bh b = ch c (ha、hb、hc分别表示 a、b、c上的咼)；2 2 2c 1 1 1(2) S = _ absin C= 一 bcsin A= 一 acsin B；2 2 24 解

3、三角形：由三角形的六个元素(即三条边和三个内角)中的三个元素(其中至少有一个是边)文档求其他未知元素的问题叫做解三角形广义地，这里所说的元素还可以包括三角形的高、中线、角平 分线以及内切圆半径、外接圆半径、面积等等主要类型：(1)两类正弦定理解三角形的问题：第1、已知两角和任意一边，求其他的两边及一角第2、已知两角和其中一边的对角，求其他边角(2)两类余弦定理解三角形的问题：第1、已知三边求三角第2、已知两边和他们的夹角，求第三边和其他两角5 三角形中的三角变换三角形中的三角变换，除了应用上述公式和上述变换方法外，还要注意三角形自身的特点。(1 )角的变换tanC。因为在 ABC 中，A+B+

4、C= n,所以 sin(A+B)=sinC ; cos(A+B)= cosC ; tan(A+B)= .A B C A B . Csin cos,cos sin ；2 2 2 2(2)判定三角形形状时，可利用正余弦定理实现边角转化，统一成边的形式或角的形式6 .求解三角形应用题的一般步骤：(1 )分析：分析题意，弄清已知和所求；(2 )建模：将实际问题转化为数学问题，写出已知与所求，并画出示意图；(3 )求解：正确运用正、余弦定理求解；(4)检验：检验上述所求是否符合实际意义。二、典例解析题型1 :正、余弦定理例 1. (1 )在 ABC 中，已知 A 32.00, B 81.80, a 42

5、.9 cm，解三角形;（2 ）在 ABC中，已知a 20 cm , b 28 cm , A 400，解三角形（角度精确到 10，边长精确到 1cm ) o解：（1 ）根据三角形内角和定理,C 180 (A B) 180 (32.0 81.8) 66.20 ；因为 00 v B v 1800，所以 B 640，或 B 1160.c asnC 20啤 30(cm). sin A sin400当B 1160时,(2)点评：应用正弦定理时（1）应注意已知两边和其中一边的对角解三角形时，可能有两解的情形;对于解三角形中的复杂运算可使用计算器 题型2 :三角形面积例2 在ABC中， sin A cos A

6、2 , AC 2 , AB 3，求tan A的值和 ABC的面积。解法一：先解三角方程，求出角 A的值。2si nA cos A j2cos(A 45 )-,21cos(A 45 )-.又 0 A 180 , A 45o 60o, A 105.o o 1 /3 Ltan A tan(45 60 ) 一字 2 J3,1 7342si nA sin105 sing5 60) sin4 5 co$60 cos45 si n60 -.11 /2 洽 nSabc AC AB si nA 2 3 近 46)。22 4 4解法二：由sin A cos A计算它的对偶关系式 si nA cos A的值。忑si

7、 nA cos A 22 1(si nA cos A)2212sin Acos A 2Q0o A 180o, si nA 0,cos A 0.1另解(si n2A )22 3(s in A cos A) 1 2 sin Acos A ,v6si nA cosA 2vr2 d 6+得sin A 。4-得cosA 2也。4u而丄八si nA J2 J6 4 c 匚从而 tan A l l 2 3。cosA 4 v2 v6以下解法略去。点评：本小题主要考查三角恒等变形、三角形面积公式等基本知识，着重数学考查运算能力，是 一道三角的基础试题。两种解法比较起来，你认为哪一种解法比较简单呢？题型3 :三角

8、形中的三角恒等变换问题例3 在ABC中，a、b、c分别是/ A、/B、/C的对边长，已知 a、b、c成等比数列，且 a2的值。bsin Bc2= ac bc，求/A的大小及c分析：因给出的是 a、b、c之间的等量关系，要求/ A,需找/ A与三边的关系，故可用余弦定理。的值。由b2=ac可变形为b = a，再用正弦定理可求 bsinBc解法一： a、b、c成等比数列， b2=ac。又 a2 c2= ac- bc ,.b2+c2 a2= bc。在ABC中，由正弦定理得bsin Asin B= a,vb2=ac,ZA=60 。/A=60 ,2bsinB b sin 60=si n60ac解法二：在

9、 ABC中,1 1由面积公式得 一bcsin A= acsin B。2 2/b2=ac,ZA=60 ，-bcsin A= b2sinB。bsinB=sin A亠。c 2评述：解三角形时，找三边一角之间的关系常用余弦定理，找两边两角之间的关系常用正弦定理。题型4 :正、余弦定理判断三角形形状J21.414，J62.449)解:在ABC 中，/DAC=30 ZADC=60 -zDAC=30,AB AC在AABC 中，sin BCA sin ABC所以 CD=AC=0.1 又ZBCD=180 -60 -60 60 ,故CB是CAD底边AD的中垂线，所以 BD=BA ,ACsin60 3、2 v6因此

10、,BD=0.33km。20即 AB= sin 15 20故B, D的距离约为 0.33km。点评：解三角形等内容提到高中来学习，又近年加强数形结合思想的考查和对三角变换要求的降低, 对三角的综合考查将向三角形中问题伸展，但也不可太难，只要掌握基本知识、概念，深刻理解其中 基本的数量关系即可过关。三、思维总结1 解斜三角形的常规思维方法是：(1 )已知两角和一边(如 A、B、C),由A+B+C = n求C,由正弦定理求 a、b;(2) 已知两边和夹角(如 a、b、c),应用余弦定理求 c边；再应用正弦定理先求较短边所对的角，然后利用A+B+C = n,求另一角；(3) 已知两边和其中一边的对角(

11、如 a、b、A),应用正弦定理求 B,由A+B+C = n求C,再由正弦定理或余弦定理求 c边，要注意解可能有多种情况；(4) 已知三边 a、b、c,应余弦定理求 A、B,再由A+B+C = n,求角C。2三角学中的射影定理：在 abc中，b a cosC c cos A，3.两内角与其正弦值：在 abc中，A B sin A sin B，4 解三角形问题可能出现一解、两解或无解的情况，这时应结合“三角形中大边对大角定理及几 何作图来帮助理解”。三、课后跟踪训练1. (2010上海文数18.)若厶ABC的三个内角满足，则 ABCsin C 2、3 sin B，则 a=(sin A:sin B

12、:sin C 5:11:13【答案】A 【解析】本题主要考查正弦定理与余弦定理的基本应用，属于中等题。由正弦定理得c 2ib c 2、.3b ,所以cosA=.2 2 2b +c -a3bc 23bc 32bc2bc2bc2，所以 A=30 02R 2R【温馨提示】解三角形的基本思路是利用正弦、余弦定理将边化为角运算或将角化为边运算。3.，贝 bosB =(2010 湖北理数)3.在 ABC 中，a=15,b=10,A=60A B 2 2 C 63 3 3故B为锐角，所以csB厂厂航-36，故D正确【答案】D4.3 , A+C=2B,（2010广东理数）11已知a,b,c分别是 ABC的三个内

13、角 A,B,C所对的边，若a=1,b=贝U sinC= L一 1 屈 1解：由A+C=2 B及A+ B+ C=180 知,=60 由正弦定理知， ，即sin A .由si nA sin 60 2a b 知，A B 60，则 A 30,C 180 A B 180 30 60 90, sinC sin90 1AC5 (2009湖南卷文)在锐角 ABC中，BC 1,B 2A,则 的值等于 , AC的取值范csA围为解析设 A ,B2 .由正弦定理得ACBCAC4AC2.sin 2sin 2cs1cs由锐角ABC 得 0290045：又0180 3903060,故3045_2cs_32 2AC 2cs

14、 ( 2, , 3).2 26.（2009全国卷i理）在 ABC中，内角a、b、c的对边长分别为a、b、c，已知a c 2b,且 sin AcsC 3cs Asin C,求 b_2 -2 ci分析：此题事实上比较简单，但考生反应不知从何入手对已知条件（1）a c 2b左侧是二次的右侧是一次的，学生总感觉用余弦定理不好处理，而对已知条件（2）sin AcosC 3cosAs inC,过多的关注两角和与差的正弦公式 ,甚至有的学生还想用现在已经不再考的积化和差，导致找不到突破口而失分解法：在 ABC中则Q sin AcosC 3cos Asin C,由正弦定理及余弦定理2 . 2 2 . 2 2 2 a b c c a