1、)(1),所有正约数的和为(1例题与求解【例1】已知三个质数满足=99,那么的值等于_ (江苏省竞赛试题)解题思想:运用质数性质,结合奇偶性分析,推出的值【例2】若5仍为质数,则7为( ) A质数 B可为质数,也可为合数 C合数 D既不是质数,也不是合数 (湖北省黄冈市竞赛试题)从简单情形入手,实验、归纳与猜想【例3】求这样的质数,当它加上10和14时,仍为质数 (上海市竞赛试题)由于质数的分布不规则,不妨从最小的质数开始进行实验,另外,需考虑这样的质数是否唯一,按剩余类加以深入讨论【例4】 将1,2,2 004这2 004个数随意排成一行,得到一个数,求证:一定是合数 若是大于2的正整数,求
2、证:1与1中至多有一个质数 求360的所有正约数的倒数和 将1到2 004随意排成一行,由于中间的数很多,不可能一一排出,不妨找出无论怎样排,所得数都有非1和本身的约数;只需说明1中必有一个是合数,不能同为质数即可;逐个求解正约数太麻烦,考虑整体求解【例5】设和是正整数,是奇质数,并且,求由题意变形得出整除,不妨设由质数的定义得到21=1或21=由及21为质数即可得出结论【例6】若一个质数的各位数码经任意排列后仍然是质数,则称它是一个“绝对质数”如2,3,5,7,11,13(31),17(71),37(73),79(97),113(131,311),199(919,991),337(373,7
3、33),都是质数求证:绝对质数的各位数码不能同时出现数码1,3,7,9 (青少年国际城市邀请赛试题)一个绝对质数如果同时含有数字1,3,7,9,则在这个质数的十进制表示中,不可能含有数字0,2,4,5,6,8,否则,进行适当排列后,这个数能被2或5整除能力训练A级1若为整数, =1997,则=_ 2在1,2,3,这个自然数中,已知共有个质数,个合数,个奇数,个偶数,则()()=_3设为自然数,满足1176=,则的最小值为_ (“希望杯”邀请赛试题)4已知是质数,并且3也是质数,则48的值为_(北京市竞赛试题)5任意调换12345各数位上数字的位置,所得的五位数中质数的个数是 ( ) A4 B8
4、 C12 D06在2 005,2 007,2 009这三个数中,质数有 ( ) A0个 B1个 C2个 D3个7一个两位数的个位数字和十位数字变换位置后,所得的数比原来的数大9,这样的两位中,质数有( ) A1个 B3 个 C5个 D6 个 8设都是质数,并且 求9写出十个连续的自然数,使得个个都是合数10在黑板上写出下面的数2,3,4,1 994,甲先擦去其中的一个数,然后乙再擦去一个数,如此轮流下去,若最后剩下的两个数互质,则甲胜;若最后剩下的两个数不互质,则乙胜,你如果想胜,应当选甲还是选乙?说明理由 (五城市联赛试题)11用正方形的地砖不重叠、无缝隙地铺满一块地,选用边长为cm规格的地
5、砖,恰用块,若选用边长为cm规格的地砖,则要比前一种刚好多用124块,已知都是正整数,且()=1,试问这块地有多少平方米? (湖北省荆州市竞赛试题)B级1若质数满足57=129,则的值为_2已知均为质数,并且存在两个正整数,使得 =3自然数都大于1,其乘积=2 000,则其和的最大值为_,最小值为_ (“五羊杯”竞赛试题)4机器人对自然数从1开始由小到大按如下的规则染色:凡能表示为两个合数之和的自然数都染成红色,不合上述要求的自然数都染成黄色,若被染成红色的数由小到大数下去,则第1 992个数是_ (北京市“迎春杯”竞赛试题)5若均为质数,且满足=2 089,则49=_ A0 B2 007 C
6、2 008 D2 010 (“五羊杯”竞赛试题)6设为质数,并且78和87也都为质数,记=778, =887,则在以下情形中,必定成立的是( ) A都是质数 B都是合数 C一个是质数,一个是合数 D对不同的,以上皆可能出现 (江西省竞赛试题)7设是自然数,并且 (北京市竞赛试题)8请同时取六个互异的自然数,使它们同时满足: 6个数中任意两个都互质; 6个数任取2个,3个,4个,5个,6个数之和都是合数,并简述选择的数符合条件的理由9已知正整数都是质数,并且7与11也都是质数,试求10. 41名运动员所穿运动衣号码是1,2,40,41这41个自然数,问: (l) 能否使这41名运动员站成一排,使
7、得任意两个相邻运动员的号码之和是质数? (2) 能否让这41名运动员站成一圈,使得任意两个相邻运动员的号码之和都是质数?若能办到,请举出一例;若不能办到,请说明理由例1 34例2 C例3 3符合要求 提示:当p=3k1时,p10=3k11,p14=3(k5),显然p14是合数,当p=3k2时,p10=3(k4)是合数,当p=3k时,只有k=1才符合题意例4 (1)因122004=2004(12004)=10022005为3的倍数,故无论怎样交换这2004个数的顺序,所得数都有3这个约数 (2)因n是大于2的正整数,则17,1、1是不小于7的三个连续的正整数,其中必有一个被3整除,但3不整除,故
8、1中至多有一个数是质数 (3)设正整数a的所有正约数之和为b,为a的正约数从小到大的排列,于是=1, =a由于中各分数分母的最小公倍数=a,故S=,而a=360=,故b=(12)(13(15)=1170例5 由,得xy=k(k为正整数),可得2xy=kp,所以p整除2xy且p为奇质数,故p整除x或y,不放设x=tp,则tpy=2ty,得y=为整数又t与2t1互质,故2t1整除p,p为质数,所以2t1=1或2t1=p若2t1=,得t=1,x=y=p,与xy矛盾;若2t1=p,则,2xy=p(xy)p是奇质数,则xy为偶数,x、y同奇偶性,只能同为xy=必有某数含因数p令x=ap,ay=,2ay=
9、apyy=,故a,2a1互质,2a1整除p,又p是质数,则2a1=p,a=,故x=,xy=。例6 设N是一个同时含有数字1,3,7,9的绝对质数因为=7931, =1793, =9137, =7913, =7193, =1937, =7139除以7所得余数分别为0,1,2,3,4,5,6故如下7个正整数:=L 其中,一定有一个能被7整除,则这个数就不是质数,故矛盾11998 21 363 42000 5D 6A 7B8由r=pq可知r不是最小的质数,则为奇数,故p,q为一奇一偶,又因为pq故p既是质数又是偶数,则p=29设十个连续合数为k2,k3,k4,k10,k11,这里k为自然数,则只要取
10、k是2,3,4,11的倍数即可10选甲提示:相邻的两个自然数总是互质数,把相邻自然数两两分为一组,这两数总是互质的,(2,3),(4,5),(6,7),(1992,1993),1994,甲擦掉1994,无论乙擦哪一个数,甲就擦那一组的另一数,以此类推,最后还剩一对互质数11设这块地面积为S,则S=(n124)=124 xy (x,y)=1()=1 ()=1 得124124=31, =(xy)(xy),或(舍)此时n=900S=900=230400cm=2304m119或252 提示:q=mn,则m、n只能一个为1,另一个为q3133 23 420015B 提示:唯有a=2,b=2089=20892048=41是质数,符合题意6A 提示:当a=3时,符合题意;当a3时,被3处余1,设=3n1,则78=21n15,87=24n15,它们都不是质数,与条件矛盾故a=37a,b,c,d都是偶数,即M=(abcd)是偶数因为,所以=2()是偶数,从而有abcd=M=2()M,它 一定是偶数,但abcd2,于
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