人教版七年级数学下册专题训练01质数那些事试题含答案Word下载.docx
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）…（1＋
），所有正约数的和为（1＋
＋…＋
例题与求解
【例1】已知三个质数
满足
＋
=99，那么
的值等于_________________．
（江苏省竞赛试题）
解题思想：
运用质数性质，结合奇偶性分析，推出
的值．
【例2】若
＋5仍为质数，则
＋7为（）
A．质数B．可为质数，也可为合数
C．合数D．既不是质数，也不是合数
（湖北省黄冈市竞赛试题）
从简单情形入手，实验、归纳与猜想．
【例3】求这样的质数，当它加上10和14时，仍为质数．
（上海市竞赛试题）
由于质数的分布不规则，不妨从最小的质数开始进行实验，另外，需考虑这样的质数是否唯一，按剩余类加以深入讨论．
【例4】⑴将1，2，…，2004这2004个数随意排成一行，得到一个数
，求证：
一定是合数．
⑵若
是大于2的正整数，求证：
－1与
＋1中至多有一个质数．
⑶求360的所有正约数的倒数和．
⑴
将1到2004随意排成一行，由于中间的数很多，不可能一一排出，不妨找出无论怎样排，所得数都有非1和本身的约数；
⑵只需说明
＋1中必有一个是合数，不能同为质数即可；
⑶逐个求解正约数太麻烦，考虑整体求解．
【例5】设
和
是正整数，
≠
是奇质数，并且
，求
由题意变形得出
整除
，不妨设
．由质数的定义得到2
－1=1或2
－1=
．由
及2
－
1为质数即可得出结论．
【例6】若一个质数的各位数码经任意排列后仍然是质数，则称它是一个“绝对质数”[如2，3，5，7，11，13（31），17（71），37（73），79（97），113（131，311），
199（919，991），337（373，733），…都
是质数]．求证：
绝对质数的各位数码不能同时出现数码1，3，7，9．
（青少年国际城市邀请赛试题）
一个绝对质数如果同时含有数字1，3，7，9，则在这个质数的十进制表示中，不可能含有数字0，2，4，5，6，8，否则，进行适当排列后，这个数能被2或5整除．
能力训练
A级
1．若
为整数，
=1997，则
=________．
2．在1，2，3，…，
这个
自然数中，已知共有
个质数，
个合数，
个奇数，
个偶数，则（
）＋（
）=___
____
___．
3．设
为自然数，满足1176
=
，则
的最小值为__________．
（“希望杯”邀请赛试题）
4．已知
是质数，并且
＋3也是质数，则
－48的值为____________．
（北京市竞赛试题）
5．任意调换12345各数位上数字的位置，所得的五位数中质数的个数是（）
A．4B．8C．12D．0
6．在2005，2007，2009这三个数中，质数有（）
A．0个B．1个C．2个D．3个
7．一个两位数的个位数字和十位数字变换位置后，所得的数比原来的数大9，这样的两位中，质数有（）
A．1个B．3个C．5个D．6个
8．设
都是质数，并且
<
．求
9．写出十个连续的自然数，使得个个都是合数．
10．在黑板上写出下面的数2，3，4，…，1994，甲先擦去其中的一个数，然后乙再擦去一个数，如此轮流下去，若最后剩下的两个数互质，则甲胜；
若最后剩下的两个数不互质，则乙胜，你如果想胜，应当选甲还是选乙？
说明理由．
（五城市联赛试题）
11．用正方形的地砖不重叠、无缝隙地铺满一块地，选用边长为
cm规格的地砖，恰用
块，若选用边长为
cm规格的地砖，则要比前一种刚好多用124块，已知
都是正整数，且（
）=1，试问这块地有多少平方米？
（湖北省荆州市竞赛试题）
B级
1．若质数
满足5
＋7
=129，则
的值为__________．
2．已知
均为质数，并且存在两个正整数
，使得
=
×
3．自然数
都大于1，其乘积
=2000，则其和
的最大值为__________，最小值为____________．
（“五羊杯”竞赛试题）
4．机器人对自然数从1开始由小到大按如下的规则染色：
凡能表示为两个合数之和的自然数都染成红色，不合上述要求的自然数都染成黄色，若被染成红色的数由小到大数下去，则第1992个数是_______________．
（北京市“迎春杯”竞赛试题）
5．若
均为质数，且满足
=2089，则49
=_________．
A．0B．2007C．2
008D．2010
（“五羊杯”竞赛试题）
6．设
为质数，并且7
＋8和8
＋7也都为质数，记
=77
＋8，
=88
＋7，则在以下情形中，必定成立的是（）
A．
都
是质数B．
都是合数
C．
一个是质数，一个是合数D．对不同的
，以上皆可能出现
（江西省竞赛试题）
7．设
是自然数，并且
（北京市竞赛试题）
8．请同时取六个互异的自然数，使它们同时满足：
⑴6个数中任意两个都互质；
⑵6个数任取2个，3个，4个，5个，6个数之和都是合数，并简述选择的数符合条件的理由．
9．已知正整数
都是质数，并且7
与
＋11也都是质数，试求
10.41名运动员所穿运动衣号码是1，2，…，40，41这41个自然数，问：
（l）能否使这41名运动员站成一排，使得任意两个相邻运动员的号码之和是质数？
（2）能否让这41名运动员站成一圈，使得任意两个相邻运动员的号码之和都是质数？
若能办到，请举出一例；
若不能办到，请说明理由．
例134
例2C
例33符合要求提示：
当p=3k＋1时，p＋10=3k＋11，p＋14=3（k＋5），显然p＋14是合数，当p=3k＋2时，p＋10=3（k＋4）是合数，当p=3k时，只有k=1才符合题意．
例4
（1）因1＋2＋…＋2004=
2004×
（1＋2004）=1002×
2005为3的倍数，故无论怎样交换这2
004个数的顺序，所得数都有3这个约数．
（2）因n是大于2的正整数，则
－1≥7，
－1、
、
＋1是不小于7的三个连续的正整数，其中必有一个被3整除，但3不整除
，故
＋1中至多有一个数是质数．
（3）设正整数a的所有正约数之和为b，
，…，
为a的正约数从小到大的排列，于是
=1，
=a．由
于
中各分数分母的最小公倍数
=a，故S=
，而a=360=
，故b=（1＋2＋
）×
（1＋3＋
（1＋5）=1170．
例5由
，得x＋y=
=k．（k为正整数），可得2xy=kp，所以p整除2xy且p为奇质数，故p整除x或y，不放设x=tp，则tp＋y=2ty，得y=
为整数．又t与2t－1互质，故2t－1整除p，p为质数，所以2t－1=1或2t－1=p．若2t－1=，得t=1，x=y=p，与x≠y矛盾；
若2t－1=p，则
，2xy=p（x＋y）．∵p是奇质数，则x＋y为偶数，x、y同奇偶性，只能同为xy=
必有某数含因数p．令x
=ap，ay=
，2ay=ap＋y．∴y=
，故a，2a－1互质，2a－1整除p，又p是质数，则2a－1=p，a=
，故x=
，∴x＋y=
。
例6设N是一个同时含有数字1，3，7，9的绝对质数．因为
=7931，
=1793，
=9137，
=7913，
=7193，
=1937，
=7139除以7所得余数分别为0，1，2，3，4，5，6．故如下7个正整数：
=L
…
其中，一定有一个能被7整除，则这个数就不是质数，故矛盾．
1．19982．－13．634．20005．D6．A7．B
8．由r=p＋q可知r不是最小的质数，
则为奇数，故p，q为一奇一偶，又因为p＜q．故p既是质数又是偶数，则p=2．
9．设十个连续合数为k＋2，k＋3，k＋4，…，k＋10，k＋11，这里k为自然数，则只要取k是2，3，4，…，11的倍数即可．
10．选甲．提示：
相邻的两个自然数总是互质数，把相邻自然数两两分为一组，这两数总是互质的，（2，3），（4，5），（6，7），…，（1992，1993），1994，甲擦掉1994，无论乙擦哪一个数，甲就擦那一组的另一数，以此类推，最后还剩一对互质数．
11．设这块地面积为S，则S
=（n＋124）
∴
=124
∵x＞y（x，y）=1
∴（
）=1（
）=1得
｜124
∵124=
31，
=（x＋y）（x－y）
，或
（舍）
此时n=
=900．
∴S=
=900×
=230400cm
=23．04m
1．19或25
2．
提示：
q=mn，则m、n只能一个为1，另一个为q．
3．133234．2001
5．B提示：
唯有a=2，b=2089－
=2089－2048
=41是质数，符合题意．
6．A提示：
当a=3时，符合题意；
当a≠3时，
被3处余1，设
=3n＋1，则7
＋8=21n＋15，8
＋7=24n＋15，它们都不是质数，与条件矛盾．故a=3．
7．
－a，
－b，
－c，
－d都是偶数，即M=
－（a＋b＋c＋d）是偶数．因为
，所以
=2
（
）是偶数，从而有a＋b＋c＋d=
－M=2（
）－M，它一定是偶数，但a＋b＋c＋d＞2，于
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