抽象函数的对称性Word文档下载推荐.docx

1、f （x kT）kT a,kT b2、奇偶函数：设 y f （x）, x a,b 或x b, a a,b若f（ x） f（x），则称y f（x）为奇函数；若f（ x） f（x）则称y f（x）为偶函数。分段函数的奇偶性3、函数的对称性：（1）中心对称即点对称：点A（x, y）与B（2a x,2b y）关于点（a,b）对称；点A（a x,b y）与B（a x,b y）关于（a,b）对称；函数y f（x）与2b y f （2a x）关于点（a,b）成中心对称；函数b y f （a x）与b y f （a x）关于点（a,b）成中心对称;函数F （x, y） 0与F（2a x,2b y） 0关于点（

2、a,b）成中心对称。（2）轴对称：对称轴方程为:Ax By C 0。/ / 2A（Ax By C） 2B（Ax By C）、* 工点A（x, y）与B（x , y ） B（x ”一彳,y 一彳）关于A B A B直线Ax By C 0成轴对称;2B（Ax By C） - 2A（Ax By C）、函数y f （x）与y J-y-f f （x 一一y一0关于直线 A2 B2 A2 B2Ax By C 0成轴对称。2A（Ax By C） 2B（Ax By C）、 F（x, y） 0与F（x J%-,y -J一-） 0关于直线 A2 B2 A2 B2二、函数对称性的几个重要结论（一）函数y f（x）图

3、象本身的对称性（自身对称）若f（x a） f （x b）,则f（x）具有周期性；若f （a x） f（b *）,则仪）具有对称性：“同表示周期性，反表示对称性”。1、f（a x） f （b x） y f（x）图象关于直线 x （a x） （b x） a- 对称 2 2推论1： f（a x） f （a x） y f（x）的图象关于直线x a对称推论2、f（x） f （2a x） y f（x）的图象关于直线 x a对称推论3、f （ x） f（2a x） y f（x）的图象关于直线x a对称- - - 一 一一 一 a b ,一2、 f（a x） f （b x） 2c y f（x）的图象关于点（

4、，c）对称 2 推论1、f （a x） f （a x） 2b y f（x）的图象关于点（a,b）对称推论2、f （x） f （2a x） 2b y f（x）的图象关于点（a,b）对称推论3、f （ x） f （2a x） 2b y f（x）的图象关于点（a,b）对称（二）两个函数的图象对称性（相互对称） （利用解析几何中的对称曲线轨迹方程理解）1、偶函数y ”*）与丫 f （ x）图象关于Y轴对称2、奇函数y ”*）与丫 f（ x）图象关于原点对称函数3、函数y f（x）与y f（x）图象关于X轴对称4、互为反函数y f（x）与函数y f 1（x）图象关于直线y x对称一 . _ b a ，一

5、，5.函数y f （a x）与y f （b x）图象关于直线x 乞对称函数y f （a x）与y f （a x）图象关于直线x 0对称推论2:函数y ”*）与丫 f（2a x）图象关于直线x a对称推论3:函数y f （ x）与y f （2a x）图象关于直线x a对称（三）抽象函数的对称性与周期性1、抽象函数的对称性性质1若函数y=f（x）关于直线x= a轴对称，则以下三个式子成立且等价：（1） f（a + x）=f（a-x） （2） f（2a-x）= f（x） （3） f（2a+x）= f（x）性质2若函数y=f（x）关于点（a, 0）中心对称，则以下三个式子成立且等价：（1） f（a +

6、 x）=- f（a-x） （2） f（2a x） = f（x） （3） f（2a +x）= f（x）易知，y=f（x）为偶（或奇）函数分别为性质 1 （或2）当a=0时的特例。2、复合函数的奇偶性定义1、若对于定义域的任一变量x,均有fg（ x） = fg（x）,则复数函数y= fg（x）为偶函数。定义2、若对于定义域的任一变量x,均有fg（ x） = fg（x）,则复合函数y=fg（x）为奇函数。说明:（1）复数函数fg（x）为偶函数，则fg（x） =fg（x）而不是fg（x）= fg（x）,复合函数 y=fg（x）为奇函数,则 fg（ x） = fg（x）而不是 fg（x） =fg（x）。

7、（2）两个特例：y = f（x +a）为偶函数，则 f（x+ a） = f（ x + a） ； y=f（x + a） 为奇函数，则 f（ x+a） = f（a + x）（3） y = f（x + a）为偶（或奇）函数，等价于单层函数 y = f（x）关于直线x = a轴对称（或关于点（a, 0）中心对称）3、复合函数的对称性性质3复合函数y = f（a + xy= f（b x）关于直线x= （b a） /2轴对称性质4、复合函数y= 但+ 乂）与y= f（b x）关于点（b a） /2 , 0）中心 对称推论1、复合函数丫=地+乂）与丫=皿乂）关于y轴轴对称推论2、复合函数丫=*2+乂）与y=

8、 f（a x）关于原点中心对称4、函数的周期性若a是非零常数，若对于函数y=f（x）定义域的任一变量x点有下列条件之一 成立，则函数y=f（x）是周期函数，且2|a|是它的一个周期。 f（x + a）=f（x a） f（x+ a） = f（x） f（x+ a）= 1/f（x） f（x+ a）= 1/f（x）5、函数的对称性与周期性性质5若函数y= f（x）同时关于直线乂=2与乂= b轴对称，则函数f（x）必为周 期函数，且T= 2|a-b|性质6、若函数y=f（x）同时关于点（a, 0）与点（b, 0）中心对称，则函数 f（x）必为周期函数，且T= 2|a-b|性质7、若函数y=f（x）既关于

9、点（a, 0）中心对称，又关于直线x= b轴对称，则函数f（x）必为周期函数，且T= 4|a b|6、函数对称性的应用（1）若 y f（x）关于点（h,k）对称，则 x x/ 2h, y y/ 2k,即f（x） f（x/） f（x） f（2h x） 2kf（xi） f（x2） f（xn） f（2h xn） f （2h 4 1） f （2h %） 2nk（2）例题ax , 1 1、1、f （x） 0关于点（一，一）对称：f （x） f （1 x） 1;ax a 2 24x 1f（x） -27丁2x 1 关于（0,1）对称：f （x） f（ x）1（、，一 1 1 一 1R,x 0）关于（,）对称

10、：f （x） f（-） 12 2 x2、奇函数的图像关于原点（0, 0）对称：f（x） f（ x） 0。3、若f（x） f （2a x）或f（a x） f （a x）,则y f（x）的图像关于直线 x a对称。设f （x） 0有n个不同的实数根，则x1 x2 xn x1 （2a x1） x2 （2a x2） xn （2a xn） na.2 ，（当 n 2k 1时，必有 x1 2a x1， x1 a）（四）常用函数的对称性三、函数周期性的几个重要结论1、f（x T） f（x）（ T 0） y f（x）的周期为T, kT（k Z）也是函数的周期2、f （x a） f （x b）3、 f（x a）

11、f （x）y f（x）的周期为T b a4、f （x a）y f （x）的周期为T 2a5、f （x a）y f（x）的周期为T 2a6、f （x a）1 f（x）y f（x）的周期为T 3a7、f （x a）1f（x） 18、f （x a）y f（x）的周期为T 4a9、f （x 2a） f （x a） f （x）y f（x）的周期为T 6a10、若 p Q f（px） f（px |）,则T :11、y f（x）有两条对称轴x a和x b （b a） y f（x）周期T 2（b a）推论：偶函数y f（x）满足f （a x） f （a x） y f （x）周期T 2a12、y f（x）有两个

12、对称中心（a,0）和（b,0） （b a） y f（x）周期 T 2（b a）奇函数y f（x）满足f （a x） f （a x） y f （x）周期T 4a13、y f（x）有一条对称轴 x a和一个对称中心（b,0） （b a） f （x）的T 4（b a）四、用函数奇偶性、周期性与对称性解题的常见类型灵活应用函数奇偶性、周期性与对称性，可巧妙的解答某些数学问题， 它对训练学生分析问题与解决问题的能力有重要作用 .下面通过实例说明其应用类型。1.求函数值例1. （ 1996年高考题）设 “*）是（，）上的奇函数， f （2 x） f（x），当0 x 1 时，f（x） x ,则 f （7.5

13、）等于（-0.5 ）（A） 0.5; （B） -0.5; （C） 1.5; （D） -1.5.例2. （ 1989年市中学生数学竞赛题）已知 f （x）是定义在实数集上的函数，且f（x 2） 1 f （x） 1 f（x）, f （1） 2 d3,求 f（1989）的值.f （1989）2、比较函数值大小例 3.若 f （x）（x8）、嗒）、解： f （x）（x1 16 1417 19 15R）是以2为周期的偶函数，当 x 0,1时，f （x）104、,f （ ）的大小.15x丽,试比较R）是以2为周期的偶函数，又 f （x）1 16 14 1011, f（-） f（-） f（-）,gPf（17 19 15 17x碱在0,1上是增函数，且f（98） f（104）.19 15例4. （1989年高考题）设f