抽象函数的对称性Word文档下载推荐.docx
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f(xkT)
kTa,kTb
2、奇偶函数:
设yf(x),xa,b或xb,aa,b
①若f(x)f(x),则称yf(x)为奇函数;
②若f(x)f(x)则称yf(x)为偶函数。
分段函数的奇偶性
3、函数的对称性:
(1)中心对称即点对称:
①点A(x,y)与B(2ax,2by)关于点(a,b)对称;
②点A(ax,by)与B(ax,by)关于(a,b)对称;
③函数yf(x)与2byf(2ax)关于点(a,b)成中心对称;
④函数byf(ax)与byf(ax)关于点(a,b)成中心对称;
⑤函数F(x,y)0与F(2ax,2by)0关于点(a,b)成中心对称。
(2)轴对称:
对称轴方程为:
AxByC0。
//2A(AxByC)2B(AxByC)、*工
①点A(x,y)与B(x,y)B(x——”一彳——,y——一彳——)关于
ABAB
直线AxByC0成轴对称;
2B(AxByC)-2A(AxByC)、――
②函数yf(x)与y—J-y-ff(x一'
一y一0关于直线A2B2A2B2
AxByC0成轴对称。
2A(AxByC)2B(AxByC)、
③F(x,y)0与F(x—J—%--,y-J一\--)0关于直线A2B2A2B2
二、函数对称性的几个重要结论
(一)函数yf(x)图象本身的对称性(自身对称)
若f(xa)f(xb),则f(x)具有周期性;
若f(ax)f(b*),则£
仪)
具有对称性:
“同表示周期性,反表示对称性”。
1、f(ax)f(bx)yf(x)图象关于直线x(ax)(bx)a-^对称22
推论1:
f(ax)f(ax)yf(x)的图象关于直线xa对称
推论2、f(x)f(2ax)yf(x)的图象关于直线xa对称
推论3、f(x)f(2ax)yf(x)的图象关于直线xa对称
---…一一一一ab,一
2、f(ax)f(bx)2cyf(x)的图象关于点(,c)对称
2
推论1、f(ax)f(ax)2byf(x)的图象关于点(a,b)对称
推论2、f(x)f(2ax)2byf(x)的图象关于点(a,b)对称
推论3、f(x)f(2ax)2byf(x)的图象关于点(a,b)对称
(二)两个函数的图象对称性(相互对称)(利用解析几何中的对称曲线轨迹方程理解)
1、偶函数y”*)与丫f(x)图象关于Y轴对称
2、奇函数y”*)与丫f(x)图象关于原点对称函数
3、函数yf(x)与yf(x)图象关于X轴对称
4、互为反函数yf(x)与函数yf1(x)图象关于直线yx对称
一.」_ba,一,
5.函数yf(ax)与yf(bx)图象关于直线x—乞对称
函数yf(ax)与yf(ax)图象关于直线x0对称
推论2:
函数y”*)与丫f(2ax)图象关于直线xa对称
推论3:
函数yf(x)与yf(2ax)图象关于直线xa对称
(三)抽象函数的对称性与周期性
1、抽象函数的对称性
性质1若函数y=f(x)关于直线x=a轴对称,则以下三个式子成立且等价:
(1)f(a+x)=f(a-x)
(2)f(2a-x)=f(x)(3)f(2a+x)=f(—x)
性质2若函数y=f(x)关于点(a,0)中心对称,则以下三个式子成立且等价:
(1)f(a+x)=-f(a-x)
(2)f(2a—x)=—f(x)(3)f(2a+x)=—f(—x)
易知,y=f(x)为偶(或奇)函数分别为性质1(或2)当a=0时的特例。
2、复合函数的奇偶性
定义1、若对于定义域的任一变量x,均有f[g(—x)]=f[g(x)],则复数函数y
=f[g(x)]为偶函数。
定义2、若对于定义域的任一变量x,均有f[g(—x)]=—f[g(x)],则复合函
数y=f[g(x)]为奇函数。
说明:
(1)复数函数f[g(x)]为偶函数,则f[g(—x)]=f[g(x)]而不是f[—g(x)]=f[g(x)],复合函数y=f[g(x)]为奇函数,则f[g(—x)]=—f[g(x)]而不是f[—g(x)]=—f[g(x)]。
(2)两个特例:
y=f(x+a)为偶函数,则f(x+a)=f(—x+a);
y=f(x+a)为奇函数,则f(—x+a)=—f(a+x)
(3)y=f(x+a)为偶(或奇)函数,等价于单层函数y=f(x)关于直线x=a
轴对称(或关于点(a,0)中心对称)
3、复合函数的对称性
性质3复合函数y=f(a+x^y=f(b—x)关于直线x=(b—a)/2轴对称
性质4、复合函数y=£
但+乂)与y=—f(b—x)关于点((b—a)/2,0)中心对称
推论1、复合函数丫=地+乂)与丫=皿—乂)关于y轴轴对称
推论2、复合函数丫=*2+乂)与y=—f(a—x)关于原点中心对称
4、函数的周期性
若a是非零常数,若对于函数y=f(x)定义域的任一变量x点有下列条件之一成立,则函数y=f(x)是周期函数,且2|a|是它的一个周期。
①f(x+a)=f(x—a)②f(x+a)=—f(x)
③f(x+a)=1/f(x)④f(x+a)=—1/f(x)
5、函数的对称性与周期性
性质5若函数y=f(x)同时关于直线乂=2与乂=b轴对称,则函数f(x)必为周期函数,且T=2|a-b|
性质6、若函数y=f(x)同时关于点(a,0)与点(b,0)中心对称,则函数f(x)必为周期函数,且T=2|a-b|
性质7、若函数y=f(x)既关于点(a,0)中心对称,又关于直线x=b轴对
称,则函数f(x)必为周期函数,且T=4|a—b|
6、函数对称性的应用
(1)若yf(x)关于点(h,k)对称,则xx/2h,yy/2k,即
f(x)f(x/)f(x)f(2hx)2k
f(xi)f(x2)f(xn)f(2hxn)f(2h41)f(2h%)2nk
(2)例题
ax,11、
1、f(x)0关于点(一,一)对称:
f(x)f(1x)1;
axa22
4x1
f(x)-27丁
2x1关于(0,1)
对称:
f(x)f(x)
1(
、,一11一1
R,x0)关于(―,—)对称:
f(x)f(-)1
22x
2、奇函数的图像关于原点(
0,0)对称:
f(x)f(x)0。
3、若f(x)f(2ax)或f(ax)f(ax),则yf(x)的图像关于直线xa对
称。
设f(x)0有n个不同的实数根,则
x1x2xnx1(2ax1)x2(2ax2)xn(2axn)na.
2,
(当n2k1时,必有x12ax1,x1a)
(四)常用函数的对称性
三、函数周期性的几个重要结论
1、f(xT)f(x)(T0)yf(x)的周期为T,kT(kZ)也是函数的周期
2、f(xa)f(xb)
3、f(xa)f(x)
yf(x)的周期为Tba
4、f(xa)
yf(x)的周期为T2a
5、f(xa)
yf(x)的周期为T2a
6、f(xa)
1f(x)
yf(x)的周期为T3a
7、f(xa)
1
f(x)1
8、f(xa)
yf(x)的周期为T4a
9、f(x2a)f(xa)f(x)
yf(x)的周期为T6a
10、若pQf(px)f(px|),则T:
11、yf(x)有两条对称轴xa和xb(ba)yf(x)周期T2(ba)
推论:
偶函数yf(x)满足f(ax)f(ax)yf(x)周期T2a
12、yf(x)有两个对称中心(a,0)和(b,0)(ba)yf(x)周期T2(ba)
奇函数yf(x)满足f(ax)f(ax)yf(x)周期T4a
13、yf(x)有一条对称轴xa和一个对称中心(b,0)(ba)f(x)的T4(ba)
四、用函数奇偶性、周期性与对称性解题的常见类型
灵活应用函数奇偶性、周期性与对称性,可巧妙的解答某些数学问题,它对训练学生分
析问题与解决问题的能力有重要作用.下面通过实例说明其应用类型。
1.求函数值
例1.(1996年高考题)设“*)是(,)上的奇函数,f(2x)f(x),当
0x1时,f(x)x,则f(7.5)等于(-0.5)
(A)0.5;
(B)-0.5;
(C)1.5;
(D)-1.5.
例2.(1989年市中学生数学竞赛题)已知f(x)是定义在实数集上的函数,且
f(x2)1f(x)1f(x),f
(1)2d3,求f(1989)的值.f(1989)
2、比较函数值大小
例3.若f(x)(x
8)、嗒)、
解:
f(x)(x
11614
171915
R)是以2为周期的偶函数,当x0,1时,f(x)
104、…,
f()的大小.
15
x丽,试比较
R)是以2为周期的偶函数,又f(x)
11614101
1,f(-)f(-)f(-),gPf(—
17191517
x碱在0,1上是增函数,且
f(98)f(104).
1915
例4.(1989年高考题)
设f