高中数学函数解题技巧方法总结高考Word文件下载.docx

1、如：函数f（x）的定义域是 a，b ，b a 0，则函数F（x） f（x） f（ x）的定义域是_。 （答： a， a ）复合函数定义域的求法：已知y f（x）的定义域为 m,n ，求y f g（x） 的定义域，可由m g（x） n解出x的范围，即为y f g（x） 的定义域。 1 例 若函数y f（x）的定义域为 ,2 ，则f（log2x）的定义域为。 2 11 1 分析：由函数y f（x）的定义域为 ,2 可知： x 2；所以y f（log2x）中有 log2x 2。 22 2 解：依题意知： 1 log2x 2 2解之，得 2 x 4 f（log2x）的定义域为x|2 x 4 4、函数值

2、域的求法1、直接观察法对于一些比较简单的函数，其值域可通过观察得到。1例 求函数y=的值域 x2、配方法配方法是求二次函数值域最基本的方法之一。例、求函数y=x2-2x+5，x -1，2的值域。3、判别式法对二次函数或者分式函数（分子或分母中有一个是二次）都可通用，但这类题型有时也可以用其他方法进行化简，不必拘泥在判别式上面下面，我把这一类型的详细写出来，希望大家能够看懂b型：直接用不等式性质k+x2bxb. y 2型,先化简，再用均值不等式x mx nx11 例：y 121+x2x+xx2 m x n c. y 2型 通常用判别式x mx nx2 mx nd. y 型 x n法一：用判别式a

3、. y 法二：用换元法，把分母替换掉2x2 x 1（x+1） （x+1）+1 1 例：y （x+1） 1 2 1 1x 1x 1x 14、反函数法直接求函数的值域困难时，可以通过求其原函数的定义域来确定原函数的值域。3x 4例 求函数y=值域。 5x 65、函数有界性法直接求函数的值域困难时，可以利用已学过函数的有界性，来确定函数的值域。我们所说的单调性，最常用的就是三角函数的单调性。ex 12sin 12sin 1例 求函数y=x，y ，y 的值域。 1 sin 1 cos e 1ex 11 yy x ex 01 ye 12sin 11 yy |sin | | 1,1 sin 2 y2sin

4、 1y 2sin 1 y（1 cos ）1 cos 2sin ycos 1 y x） 1 y,即sin（ x） 又由sin（ x） 1 1解不等式，求出y，就是要求的答案6、函数单调性法通常和导数结合，是最近高考考的较多的一个x 5 log3x 1（2x10）的值域y的取值范围x 2（2）y-2x的取值范围 解:（1）令d R（d为圆心到直线的距离,R为半径）（2）令y-2x b,即y 2x b 0,也是直线d d R例求函数y=y k,则y k（x 2）,是一条过（-2,0）的直线. x 2（x 2）2+（x 8）2的值域。原函数可化简得：y=x-2+x+8上式可以看成数轴上点P（x）到定点

5、A（2），B（-8）间的距离之和。由上图可知：当点P在线段AB上时，y=x-2+x+8=AB=10当点P在线段AB的延长线或反向延长线上时，y=x-2+x+8AB=10故所求函数的值域为：10，+）例求函数y=x2 6x 13+ x2 4x 5的值域2解：原函数可变形为：y=（x 3） （0 2）+2x 2）2 （0 1） 2上式可看成x轴上的点P（x，0）到两定点A（3，2），B（-2，-1）的距离之和，由图可知当点P为线段与x轴的交点时， ymin=AB=故所求函数的值域为43，+）。注：求两距离之和时，要将函数9 、不等式法 （3 2）2 （2 1）=43， 2利用基本不等式a+b2ab

6、，a+b+c33abc（a，b，cR），求函数的最值，其题型特征解析式是和式时要求积为定值，解析式是积时要求和为定值，不过有时须要用到拆项、添项和两边平方等技巧。2例： x2 （x 0） x =x2 11 3xx （应用公式a+b+c 3者的乘积变成常数）x2（3-2x）（0<x&1.5）x x+3-2x3 =x x （3-2x） （） 13a b c3 （应用公式abc （）时，应注意使3者之和变成常数）310.倒数法有时，直接看不出函数的值域时，把它倒过来之后，你会发现另一番境况例 求函数y=x 2的值域x 3x 2 0时，1 yy x 2 0时，y=0 0 y 2 0 y 1 21

7、2多种方法综合运用总之，在具体求某个函数的值域时，首先要仔细、认真观察其题型特征，然后再选择恰当的方法，一般优先考虑直接法，函数单调性法和基本不等式法，然后才考虑用其他各种特殊方法。5. 求一个函数的解析式或一个函数的反函数时，注明函数的定义域了吗？切记：做题，特别是做大题时， 一定要注意附加条件，如定义域、单位等东西要记得协商，不要犯我当年的错误，与到手的满分失之交臂 如：f x 1 ex x，求f（x）. 令t x 1，则t 0x t2 1f（t） et2 1 t2 1 x2 1 x 0 f（x） ex2 16. 反函数存在的条件是什么？（一一对应函数）求反函数的步骤掌握了吗？（反解x；互

8、换x、y；注明定义域） 1 x 如：求函数f（x） 2 x 1 x 0 的反函数 x 0 x 1 x 1 （答：f（x） ） x x 0 在更多时候，反函数的求法只是在选择题中出现，这就为我们这些喜欢偷懒的人提供了大方便。请看这个例题：（2004.全国理）函数y x 1 1（x 1）的反函数是（ B ）Ay=x22x+2（x&1）Cy=x22x （x&1） By=x22x+2（x1） Dy=x22x （x1）当然，心情好的同学，可以自己慢慢的计算，我想， 一番心血之后，如果不出现计算问题的话，答案还是可以做出来的。可惜，这个不合我胃口，因为我一向懒散惯了，不习惯计算。下面请看一下我的思路：原函

9、数定义域为 x=1，那反函数值域也为y>=1. 排除选项C,D.现在看值域。原函数至于为y&=1,则反函数定义域为x&=1, 答案为B.我题目已经做完了， 好像没有动笔（除非你拿来写*书）。思路能不能明白呢？7. 反函数的性质有哪些？反函数性质：1、 反函数的定义域是原函数的值域 （可扩展为反函数中的x对应原函数中的y）2、 反函数的值域是原函数的定义域（可扩展为反函数中的y对应原函数中的x）3、 反函数的图像和原函数关于直线=x对称（难怪点（x,y）和点（y，x）关于直线y=x对称 互为反函数的图象关于直线yx对称；保存了原来函数的单调性、奇函数性；设y f（x）的定义域为A，值域为C

10、，a A，b C，则f（a）=b f 1（b） a f 1 f（a） f 1（b） a，ff 1（b） f（a） b由反函数的性质，可以快速的解出很多比较麻烦的题目，如（04. 上海春季高考）已知函数f（x） log3（ 2），则方程f 1（x） 4的解x _.8 . 如何用定义证明函数的单调性？（取值、作差、判正负）判断函数单调性的方法有三种：（1）定义法：根据定义，设任意得x1,x2，找出f（x1）,f（x2）之间的大小关系 可以变形为求4x f（x1） f（x2）f（x1）的正负号或者与1的关系 f（x2）x1 x2（2）参照图象：若函数f（x）的图象关于点（a，b）对称，函数f（x）在

11、关于点（a，0）的对称区间具有相同的单调性； （特例：奇函数）若函数f（x）的图象关于直线xa对称，则函数f（x）在关于点（a，0）的对称区间里具有相反的单调性。（特例：偶函数）（3）利用单调函数的性质：函数f（x）与f（x）c（c是常数）是同向变化的函数f（x）与cf（x）（c是常数），当c0时，它们是同向变化的；当c0时，它们是反向变化的。 如果函数f1（x），f2（x）同向变化，则函数f1（x）f2（x）和它们同向变化；（函数相加）如果正值函数f1（x），f2（x）同向变化，则函数f1（x）f2（x）和它们同向变化；如果负值函数f1（2）与f2（x）同向变化，则函数f1（x）f2（x）和

12、它们反向变化；（函数相乘）函数f（x）与1f（x）在f（x）的同号区间里反向变化。若函数u（x），x，与函数yF（u），u（），（）或u（）,（）同向变化，则在，上复合函数yF（x）是递增的；若函数u（x）,x，与函数yF（u），u（），（）或u（），（）反向变化，则在，上复合函数yF（x）是递减的。（同增异减）1求y log1 x2 2x的单调区间2 （设u x2 2x，由u 0则0 x 2 且log1u ，u x 1 1，如图：22当x （0，1时，u ，又log1u ，y 当x 1，2）时，u ，又log1u ，y ）9. 如何利用导数判断函数的单调性？在区间 a，b ）A. 0 a a x 0 （令f（x） 3x2 a 3 x 3 3 则x aa或x 33a 1，即a 3 3 由已知f（x）在1， ）上为增函数，则a的最大值为3）10. 函数f（x）具有奇偶性的必要（非充分）条件是什么？（f（x）定义域关于原点对称）若f（ x） f（x）总成立 f（x）为奇函数 函数图象关于原点对称若f（ x） f（x）总成立 f（x）为偶函数 函数图象关于y轴对称注意如下结论：（1）在公共定义域内：两个奇函数的乘积是偶函数；两个偶函数的乘积是偶函数；一个偶函数与奇函数的乘积是奇函数。（2）若f（x）是奇函数且定义域中有原点，则f（0） 0。a2x a 2为