高考数学文科专题第15练 立体几何中档大题规范练Word格式.docx

1、AB平面DBC.DC平面DBC，ABDC.又BDCD，ABDBB，AB，DB平面ABD，DC平面ABD.又AD平面ABD，ADDC.2.（2018江苏）如图，在平行六面体ABCDA1B1C1D1中，AA1AB，AB1B1C1.求证：（1）AB平面A1B1C；（2）平面ABB1A1平面A1BC.证明 （1）在平行六面体ABCDA1B1C1D1中，ABA1B1.因为AB平面A1B1C，A1B1平面A1B1C，所以AB平面A1B1C.（2）在平行六面体ABCDA1B1C1D1中，四边形ABB1A1为平行四边形.又因为AA1AB，所以四边形ABB1A1为菱形，因此AB1A1B.又因为AB1B1C1，B

2、CB1C1，所以AB1BC.又因为A1BBCB，A1B，BC平面A1BC，所以AB1平面A1BC.因为AB1平面ABB1A1，所以平面ABB1A1平面A1BC.3.（2018全国）如图，在三棱锥PABC中，ABBC2，PAPBPCAC4，O为AC的中点.（1）证明：PO平面ABC；（2）若点M在棱BC上，且MC2MB，求点C到平面POM的距离.（1）证明 因为PAPCAC4，O为AC的中点，所以OPAC，且OP2.如图，连接OB.因为ABBCAC，所以ABC为等腰直角三角形，所以OBAC，OBAC2.由OP2OB2PB2知POOB.因为OPOB，OPAC，OBACO，OB，AC平面ABC，所以

3、PO平面ABC.（2）解 作CHOM，垂足为H，又由（1）可得OPCH，因为OMOPO，OM，OP平面POM，所以CH平面POM.故CH的长为点C到平面POM的距离.由题意可知OCAC2，CMBC，ACB45，所以在OMC中，由余弦定理可得，OM，CH.所以点C到平面POM的距离为.考点二 几何体的表面积、体积方法技巧 （1）空间几何体的表面积是各个面的面积之和，求解时可利用相应的面积公式计算.（2）几何体体积的常用解法直接法；割补法；等积转换法.4.（2018全国）如图，在平行四边形ABCM中，ABAC3，ACM90.以AC为折痕将ACM折起，使点M到达点D的位置，且ABDA.平面ACD平面

4、ABC；（2）Q为线段AD上一点，P为线段BC上一点，且BPDQDA，求三棱锥QABP的体积.（1）证明 由已知可得，BAC90即BAAC.又BAAD，ACADA，AD，AC平面ACD，所以AB平面ACD.又AB平面ABC，所以平面ACD平面ABC.（2）解 由已知可得，DCCMAB3，DA3.又BPDQDA，所以BP2.如图，过点Q作QEAC，垂足为E，则QEDC且QEDC.由（1）知平面ACD平面ABC，又平面ACD平面ABCAC，CDAC，CD平面ACD，所以DC平面ABC，所以QE平面ABC，QE1.因此，三棱锥QABP的体积VQABPSABPQE32sin 4511.5.如图，在棱长

5、均为4的三棱柱ABCA1B1C1中，D，D1分别是BC和B1C1的中点.A1D1平面AB1D；（2）若平面ABC平面BCC1B1，B1BC60，求三棱锥B1ABC的体积.（1）证明 连接DD1，在三棱柱ABCA1B1C1中，D，D1分别是BC和B1C1的中点，B1D1BD，且B1D1BD，四边形B1BDD1为平行四边形，BB1DD1，且BB1DD1.又AA1BB1，AA1BB1，AA1DD1，AA1DD1，四边形AA1D1D为平行四边形，A1D1AD.又A1D1平面AB1D，AD平面AB1D，A1D1平面AB1D.（2）解 在ABC中，边长均为4，则ABAC，D为BC的中点，ADBC.平面AB

6、C平面B1C1CB，平面ABC平面B1C1CBBC，AD平面ABC，AD平面B1C1CB，即AD是三棱锥AB1BC的高.在ABC中，由ABACBC4，得AD2，在B1BC中，B1BBC4，B1BC60B1BC的面积为4.三棱锥B1ABC的体积即为三棱锥 AB1BC的体积V428.6.（2018龙岩质检）已知空间几何体ABCDE中，BCD与CDE均为边长为2的等边三角形，ABC为腰长为3的等腰三角形，平面CDE平面BCD，平面ABC平面BCD.（1）试在平面BCD内作一条直线，使得直线上任意一点F与E的连线EF均与平面ABC平行，并给出详细证明；（2）求三棱锥EABC的体积.解 （1）如图所示，

7、取DC的中点N，取BD的中点M，连接MN，则MN即为所求直线.证明如下：取BC的中点H，连接AH，ABC是腰长为3的等腰三角形，H为BC的中点，AHBC，又平面ABC平面BCD，平面ABC平面BCDBC，AH平面ABC，AH平面BCD，同理，可证EN平面BCD，ENAH，EN平面ABC，AH平面ABC，EN平面ABC.又M，N分别为BD，DC的中点，MNBC，MN平面ABC，BC平面ABC，MN平面ABC.又MNENN，MN平面EMN，EN平面EMN，平面EMN平面ABC，又EF平面EMN，EF平面ABC.（2）连接DH，取CH的中点G，连接NG，则NGDH，NGDH，由（1）可知EN平面AB

8、C，所以点E到平面ABC的距离与点N到平面ABC的距离相等.又BCD是边长为2的等边三角形，DHBC，DH，又平面ABC平面BCD，平面ABC平面BCDBC，DH平面BCD，DH平面ABC，NG平面ABC，NG，又ACAB3，BC2，SABCBCAH2.VEABCVNABCSABCNG.考点三 立体几何的综合问题方法技巧 （1）和折叠有关的平行、垂直问题，关键是弄清折叠前后变与不变的关系，找出隐含的平行、垂直关系.（2）立体几何中的探索性问题，可利用推理证明得出结论或利用特例得出结论，再针对一般情形给出证明.7.（2018全国）如图，矩形ABCD所在平面与半圆弧所在平面垂直，M是上异于C，D的

9、点.平面AMD平面BMC；（2）在线段AM上是否存在点P，使得MC平面PBD？说明理由.（1）证明 由题设知，平面CMD平面ABCD，交线为CD.因为BCCD，BC平面ABCD，所以BC平面CMD，又DM平面CMD，故BCDM.因为M为上异于C，D的点，且DC为直径，所以DMCM.又BCCMC，BC，CM平面BMC，所以DM平面BMC.又DM平面AMD，故平面AMD平面BMC.（2）解 当P为AM的中点时，MC平面PBD.连接AC，BD，交于点O.因为ABCD为矩形，所以O为AC中点.连接OP，因为P为AM中点，所以MCOP.又MC平面PBD，OP平面PBD，所以MC平面PBD.8.如图，已知

10、正方形ABCD的边长为2，AC与BD交于点O，将正方形ABCD沿对角线BD折起，得到三棱锥ABCD.平面AOC平面BCD；（2）若三棱锥ABCD的体积为，且AOC是钝角，求AC的长.（1）证明 四边形ABCD是正方形，BDAO，BDCO.折起后仍有BDAO，BDCO，AOCOO，AO，CO平面AOC，BD平面AOC.BD平面BCD，平面AOC平面BCD.（2）解 由（1）知BD平面AOC，VABCDSAOCBD，OAOCsinAOCBD，即sinAOC2，sinAOC.又AOC是钝角，AOC120.在AOC中，由余弦定理，得AC2OA2OC22cosAOC（）2（）22cos 1206，AC.

11、9.如图所示，三棱锥PABC中，PA平面ABC，PA1，AB1，AC2，BAC60（1）求三棱锥PABC的体积；（2）证明：在线段PC上存在点M，使得ACBM，并求的值.解 （1）AB1，AC2，BAC60ABACsin 60.由PA平面ABC可知，PA是三棱锥PABC的高，且PA1，三棱锥PABC的体积VPA.（2）在平面ABC内，过点B作BNAC，垂足为N，在平面PAC内，过点N作MNPA交PC于点M，连接BM.PA平面ABC，AC平面ABC，PAAC，MNAC.又BNAC，BNMNN，BN，MN平面BMN，AC平面MBN.又BM平面MBN，ACBM.在RtBAN中，ANABcosBAC，从而NCACAN，由MNPA，得.综上所述，在线段PC上存在点M，使得ACBM且.模板答题规范练模板体验典例 （12分）如图，在四棱锥PABCD中，侧面PAD为等边三角形且垂直于底面ABCD，ABBCAD，BADABC90直线BC平面PAD；（2）若PCD的面积为2，求四棱锥PABCD的体积.审题路线图（1）（2）规范解答评分标准（1）证明 在平面ABCD内，因为BADABC90