高考数学文科专题第15练 立体几何中档大题规范练Word格式.docx

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∴AB⊥平面DBC.

∵DC⊂平面DBC，

∴AB⊥DC.

又BD⊥CD，AB∩DB＝B，AB，DB⊂平面ABD，

∴DC⊥平面ABD.

又AD⊂平面ABD，

∴AD⊥DC.

2.（2018·

江苏）如图，在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，AA1＝AB，AB1⊥B1C1.

求证：

（1）AB∥平面A1B1C；

（2）平面ABB1A1⊥平面A1BC.

证明

（1）在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，AB∥A1B1.

因为AB⊄平面A1B1C，

A1B1⊂平面A1B1C，

所以AB∥平面A1B1C.

（2）在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，

四边形ABB1A1为平行四边形.

又因为AA1＝AB，所以四边形ABB1A1为菱形，

因此AB1⊥A1B.

又因为AB1⊥B1C1，BC∥B1C1，

所以AB1⊥BC.

又因为A1B∩BC＝B，A1B，BC⊂平面A1BC，

所以AB1⊥平面A1BC.

因为AB1⊂平面ABB1A1，

所以平面ABB1A1⊥平面A1BC.

3.（2018·

全国Ⅱ）如图，在三棱锥P－ABC中，AB＝BC＝2，PA＝PB＝PC＝AC＝4，O为AC的中点.

（1）证明：

PO⊥平面ABC；

（2）若点M在棱BC上，且MC＝2MB，求点C到平面POM的距离.

（1）证明因为PA＝PC＝AC＝4，O为AC的中点，

所以OP⊥AC，且OP＝2.

如图，连接OB.

因为AB＝BC＝AC，

所以△ABC为等腰直角三角形，

所以OB⊥AC，OB＝AC＝2.

由OP2＋OB2＝PB2知PO⊥OB.

因为OP⊥OB，OP⊥AC，OB∩AC＝O，

OB，AC⊂平面ABC，

所以PO⊥平面ABC.

（2）解作CH⊥OM，垂足为H，

又由

（1）可得OP⊥CH，

因为OM∩OP＝O，OM，OP⊂平面POM，

所以CH⊥平面POM.

故CH的长为点C到平面POM的距离.

由题意可知OC＝AC＝2，CM＝BC＝，

∠ACB＝45°

，

所以在△OMC中，

由余弦定理可得，OM＝，

CH＝＝.

所以点C到平面POM的距离为.

考点二几何体的表面积、体积

方法技巧

（1）空间几何体的表面积是各个面的面积之和，求解时可利用相应的面积公式计算.

（2）几何体体积的常用解法

①直接法；

②割补法；

③等积转换法.

4.（2018·

全国Ⅰ）如图，在平行四边形ABCM中，AB＝AC＝3，∠ACM＝90°

.以AC为折痕将△ACM折起，使点M到达点D的位置，且AB⊥DA.

平面ACD⊥平面ABC；

（2）Q为线段AD上一点，P为线段BC上一点，且BP＝DQ＝DA，求三棱锥Q－ABP的体积.

（1）证明由已知可得，∠BAC＝90°

即BA⊥AC.

又BA⊥AD，AC∩AD＝A，AD，AC⊂平面ACD，

所以AB⊥平面ACD.

又AB⊂平面ABC，

所以平面ACD⊥平面ABC.

（2）解由已知可得，

DC＝CM＝AB＝3，

DA＝3.

又BP＝DQ＝DA，

所以BP＝2.

如图，过点Q作QE⊥AC，垂足为E，

则QE∥DC且QE＝DC.

由

（1）知平面ACD⊥平面ABC，

又平面ACD∩平面ABC＝AC，CD⊥AC，CD⊂平面ACD，

所以DC⊥平面ABC，

所以QE⊥平面ABC，QE＝1.

因此，三棱锥Q－ABP的体积

VQ－ABP＝×

S△ABP×

QE＝×

×

3×

2sin45°

1＝1.

5.如图，在棱长均为4的三棱柱ABC－A1B1C1中，D，D1分别是BC和B1C1的中点.

A1D1∥平面AB1D；

（2）若平面ABC⊥平面BCC1B1，∠B1BC＝60°

，求三棱锥B1－ABC的体积.

（1）证明连接DD1，在三棱柱ABC－A1B1C1中，

∵D，D1分别是BC和B1C1的中点，

∴B1D1∥BD，且B1D1＝BD，

∴四边形B1BDD1为平行四边形，

∴BB1∥DD1，且BB1＝DD1.

又∵AA1∥BB1，AA1＝BB1，

∴AA1∥DD1，AA1＝DD1，

∴四边形AA1D1D为平行四边形，

∴A1D1∥AD.

又∵A1D1⊄平面AB1D，AD⊂平面AB1D，

∴A1D1∥平面AB1D.

（2）解在△ABC中，边长均为4，则AB＝AC，D为BC的中点，∴AD⊥BC.

∵平面ABC⊥平面B1C1CB，平面ABC∩平面B1C1CB＝BC，AD⊂平面ABC，

∴AD⊥平面B1C1CB，即AD是三棱锥A－B1BC的高.

在△ABC中，由AB＝AC＝BC＝4，得AD＝2，

在△B1BC中，B1B＝BC＝4，∠B1BC＝60°

∴△B1BC的面积为4.

∴三棱锥B1－ABC的体积即为三棱锥A－B1BC的体积V＝×

4×

2＝8.

6.（2018·

龙岩质检）已知空间几何体ABCDE中，△BCD与△CDE均为边长为2的等边三角形，△ABC为腰长为3的等腰三角形，平面CDE⊥平面BCD，平面ABC⊥平面BCD.

（1）试在平面BCD内作一条直线，使得直线上任意一点F与E的连线EF均与平面ABC平行，并给出详细证明；

（2）求三棱锥E－ABC的体积.

解

（1）如图所示，取DC的中点N，取BD的中点M，连接MN，则MN即为所求直线.

证明如下：

取BC的中点H，连接AH，

∵△ABC是腰长为3的等腰三角形，H为BC的中点，

∴AH⊥BC，

又平面ABC⊥平面BCD，平面ABC∩平面BCD＝BC，AH⊂平面ABC，

∴AH⊥平面BCD，

同理，可证EN⊥平面BCD，∴EN∥AH，

∵EN⊄平面ABC，AH⊂平面ABC，

∴EN∥平面ABC.

又M，N分别为BD，DC的中点，∴MN∥BC，

∵MN⊄平面ABC，BC⊂平面ABC，

∴MN∥平面ABC.

又MN∩EN＝N，MN⊂平面EMN，EN⊂平面EMN，

∴平面EMN∥平面ABC，

又EF⊂平面EMN，∴EF∥平面ABC.

（2）连接DH，取CH的中点G，连接NG，则NG∥DH，NG＝DH，

由

（1）可知EN∥平面ABC，

所以点E到平面ABC的距离与点N到平面ABC的距离相等.

又△BCD是边长为2的等边三角形，∴DH⊥BC，DH＝，

又平面ABC⊥平面BCD，平面ABC∩平面BCD＝BC，DH⊂平面BCD，

∴DH⊥平面ABC，∴NG⊥平面ABC，NG＝，

又AC＝AB＝3，BC＝2，

∴S△ABC＝·

BC·

AH＝2.

∴VE－ABC＝VN－ABC＝·

S△ABC·

NG＝.

考点三立体几何的综合问题

方法技巧

（1）和折叠有关的平行、垂直问题，关键是弄清折叠前后变与不变的关系，找出隐含的平行、垂直关系.

（2）立体几何中的探索性问题，可利用推理证明得出结论或利用特例得出结论，再针对一般情形给出证明.

7.（2018·

全国Ⅲ）如图，矩形ABCD所在平面与半圆弧所在平面垂直，M是上异于C，D的点.

平面AMD⊥平面BMC；

（2）在线段AM上是否存在点P，使得MC∥平面PBD？

说明理由.

（1）证明由题设知，平面CMD⊥平面ABCD，交线为CD.

因为BC⊥CD，BC⊂平面ABCD，所以BC⊥平面CMD，

又DM⊂平面CMD，

故BC⊥DM.

因为M为上异于C，D的点，且DC为直径，

所以DM⊥CM.

又BC∩CM＝C，BC，CM⊂平面BMC，

所以DM⊥平面BMC.

又DM⊂平面AMD，故平面AMD⊥平面BMC.

（2）解当P为AM的中点时，MC∥平面PBD.

连接AC，BD，交于点O.因为ABCD为矩形，

所以O为AC中点.

连接OP，因为P为AM中点，

所以MC∥OP.

又MC⊄平面PBD，OP⊂平面PBD，

所以MC∥平面PBD.

8.如图，已知正方形ABCD的边长为2，AC与BD交于点O，将正方形ABCD沿对角线BD折起，得到三棱锥A－BCD.

平面AOC⊥平面BCD；

（2）若三棱锥A－BCD的体积为，且∠AOC是钝角，求AC的长.

（1）证明∵四边形ABCD是正方形，

∴BD⊥AO，BD⊥CO.

折起后仍有BD⊥AO，BD⊥CO，AO∩CO＝O，AO，CO⊂平面AOC，

∴BD⊥平面AOC.

∵BD⊂平面BCD，∴平面AOC⊥平面BCD.

（2）解由

（1）知BD⊥平面AOC，

∴VA－BCD＝S△AOC·

BD，

∴×

OA·

OC·

sin∠AOC·

BD＝，

即×

sin∠AOC×

2＝，

∴sin∠AOC＝.

又∵∠AOC是钝角，

∴∠AOC＝120°

.

在△AOC中，由余弦定理，得

AC2＝OA2＋OC2－2·

cos∠AOC

＝（）2＋（）2－2×

cos120°

＝6，

∴AC＝.

9.如图所示，三棱锥P－ABC中，PA⊥平面ABC，PA＝1，AB＝1，AC＝2，∠BAC＝60°

（1）求三棱锥P－ABC的体积；

（2）证明：

在线段PC上存在点M，使得AC⊥BM，并求的值.

解

（1）∵AB＝1，AC＝2，∠BAC＝60°

AB·

AC·

sin60°

＝.

由PA⊥平面ABC可知，PA是三棱锥P－ABC的高，且PA＝1，

∴三棱锥P－ABC的体积V＝·

PA＝.

（2）在平面ABC内，过点B作BN⊥AC，垂足为N，在平面PAC内，过点N作MN∥PA交PC于点M，连接BM.

∵PA⊥平面ABC，AC⊂平面ABC，

∴PA⊥AC，∴MN⊥AC.

又∵BN⊥AC，BN∩MN＝N，BN，MN⊂平面BMN，

∴AC⊥平面MBN.

又∵BM⊂平面MBN，

∴AC⊥BM.

在Rt△BAN中，AN＝AB·

cos∠BAC＝，

从而NC＝AC－AN＝，

由MN∥PA，得＝＝.

综上所述，在线段PC上存在点M，使得AC⊥BM且＝.

模板答题规范练

模板体验

典例（12分）如图，在四棱锥P—ABCD中，侧面PAD为等边三角形且垂直于底面ABCD，AB＝BC＝AD，∠BAD＝∠ABC＝90°

直线BC∥平面PAD；

（2）若△PCD的面积为2，求四棱锥P—ABCD的体积.

审题路线图

（1）―→―→

（2）―→―→

规范解答·

评分标准

（1）证明在平面ABCD内，因为∠BAD＝∠ABC＝90°