初中奥数系列1411勾股定理Word文件下载.docx

1、勾最短的边、股较长的直角边、弦斜边。2勾股定理的证明： （1）方法一：将四个全等的直角三角形拼成如图所示的正方形：（2）方法二: （3）方法三：“总统”法.如图所示将两个直角三角形拼成直角梯形：3勾股定理的逆定理：如果三角形中两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形。即。4勾股数：满足a2 +b2=c2的三个正整数，称为勾股数勾股数扩大相同倍数后，仍为勾股数常用勾股数：3、4、5； 5、12、13；7、24、25；8、15、17。例题精讲板块一、勾股定理【例1】 下列说法正确的是（）A. 若是的三边，则B. 若是的三边，则C. 若是的三边，则D. 若是的三边，则【例2】 在中，

2、（1）如果，则；（2）如果，则；（3）如果，则；（4）如果，则.【例3】 若一个直角三角形三边的长分别是三个连续的自然数，则这个三角形的周长为 【例4】 一个直角三角形的三边为三个连续偶数，则它的三边长分别为 【例5】 已知直角三角形的两边长分别为3、4，求第三边长.【例6】 已知直角三角形两边，的长满足，则第三边长为_【例7】 一个直角三角形中，两直角边长分别为3和4，下列说法正确的是（ ）A斜边长为25 B三角形周长为25C斜边长为5 D三角形面积为20【例8】 如果梯子的底端距离墙根的水平距离是，那么长的梯子可以达到的高度为 【例9】 如图，梯子斜靠在墙面上，当梯子的顶端沿方向下滑米时，

3、梯足沿方向滑动米，则与的大小关系是（ ）A B C D不确定【例10】 如图，一个长为米的梯子，斜靠在墙上，梯子的顶端距离地面的垂直距离为米，如果梯子的顶端下滑米，那么，梯子底端的滑动距离 米（填“大于”、“等于”、“小于”）【例11】 三角形的三边长分别为6,8,10，它的最短边上的高为（ ）A. 6 B. 4.5 C. 2.4 D.8 【例12】 若的三边满足条件：，则这个三角形最长边上的高为 【例13】 如果把直角三角形的两条直角边同时扩大到原来的2倍，那么斜边扩大到原来的（ ）A. 1倍 B. 2倍 C. 3倍 D. 4倍【例14】 如图，一根高米的旗杆被风吹断倒地，旗杆顶端触地处到旗

4、杆底部的距离为米，则折断点到旗杆底部的距离为 【例15】 已知，如图所示，折叠长方形的一边，使点落在边的点处，如果，求的长【例16】 如图，有一个直角三角形纸片，两直角边，现将直角边沿直线折叠，使它落在斜边上，且与重合，那么的长为多少？【例17】 如图，正方形网格中，每个小正方形的边长为1，则网格上的三角形中，边长为无理数的边数是（ ）A. 0 B. 1 C. 2 D. 3【例18】 如图所示，在中，三边的大小关系是（ ）A. B. C. D. 【例19】 设都是正数。求证：.【例20】 如图，以一个直角三角形的三边为边长分别向外作三个正方形，如果两个较大正方形的面积分别是和，那么最小的正方形

5、的面积为 【例21】 如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长为7cm，则正方形的面积之和为_cm2. 【例22】 如图，在中，是边上的中线，且于，若，求的长.【例23】 张大爷家承包了一个长方形鱼池，已知其面积为，其对角线长为，为建立栅栏，要计算这个长方形鱼池的周长，你能帮张大爷计算吗？【例24】 如图,点是的角平分线上一点，过点作交于点.若,则点到的距离等于_.【例25】 如图，在中， 是上异于的一点，求的值. 【例26】 某片绿地的形状如图所示，其中，求、的长（精确到1m，）.【例27】 已知：如图，在四边形中，求这个四边形的面积【例28】 已知钝

6、角三角形的三边为、，求该三角形的面积【例29】 如图，在直角梯形中，（），是上一点，且，求的长【例30】 如图，是斜边的中点，分别在，上，判断，与的数量关系并证明你的结论 【例31】 如图，已知和都是等腰直角三角形，为边上一点，求证：【例32】 如图，中，、为上的点，且，求证：【例33】 在中，为斜边上任一点，求证：【例34】 如图，在凸四边形中，证明:【例35】 已知中，边上的高为12，求的面积.【例36】 在三角形中，已知边上的高，求边的长【例37】 中，若，如图1，根据勾股定理，则若不是直角三角形，如图2和图3，请你类比勾股定理，试猜想与的关系，并证明你的结论【例38】 如图1，分别以直

7、角三角形三边为边向外作三个正方形，其面积分别用、表示，则不难证明 如图2，分别以直角三角形三边为直径向外作三个半圆，其面积分别用、表示，那么、之间有什么关系？（不必证明） 如图3，分别以直角三角形三边为边向外作三个正三角形，其面积分别用、表示，请你确定、之间的关系并加以证明【例39】 有一块直角三角形的绿地，量得两直角边长分别为、，现在要将绿地扩充成等腰三角形，且扩充部分是以为直角边的直角三角形，求扩充后等腰三角形绿地的周长【例40】 已知斜边的长为，两直角边的差为，求三角形的周长及斜边上的高.【例41】 直角三角形中一直角边的长为9，另两边为连续自然数，则直角三角形的周长为（）A121 B1

8、20 C90 D不能确定【例42】 如图，已知RtABC的周长为，其中斜边，求这个三角形的面积.【例43】 在中，若，则 .【例44】 如图，是一块直角三角形的土地，现在要在这块地上挖一个正方形蓄水池，已知剩余的两直角三角形（阴影部分）的斜边长分别为和，则剩余的两个直角三角形（阴影部分）的面积和为 【例45】 如图，学校有一块长方形花铺，有极少数人为了避开拐角走“捷径”，在花铺内走出了一条“路”他们仅仅少走了 步路（假设2步为1米），却踩伤了花草 【例46】 一个矩形的抽斗长为24cm，宽为7cm,在里面放一根铁条，那么铁条最长可以是 【例47】 蚂蚁沿图中的折线从A点爬到D点，一共爬了多少厘

9、米？（小方格的边长为1厘米）【例48】 一架25分米长的梯子，斜立在一竖直的墙上，这时梯足距离墙底端7分米.如果梯子的顶端沿墙下滑4分米，那么梯足将滑动（ ） A. 9分米B. 15分米C. 5分米 D. 8分米【例49】 如图，是垂直于地面的前面，是一根斜靠在墙面上长为的木条，当木条端点沿墙面下滑时，沿地面向右滑行设木条的中点为，试判断木条滑行过程中，墙角处点到的距离怎样变化？说明理由木条在什么位置时，的面积最大？最大面积为多少？【例50】 放学以后，小红和小颖从学校分手，分别沿东南方向和西南方向回家，若小红和小颖行走的速度都是40米/分，小红用15分钟到家，小颖20分钟到家，小红和小颖家的

10、直线距离为（ ） A600米 B. 800米 C. 1000米 D. 不能确定【例51】 如图，将一根25长的细木棒放入长、宽、高分别为8、6和10的长方体无盖盒子中，求细木棒露在盒外面的最短长度是多少？【例52】 在一平直河岸同侧有，两个村庄，到的距离分别是和， 现计划在河岸上建一抽水站，用输水管向两个村庄供水方案设计某班数学兴趣小组设计了两种铺设管道方案：图1是方案一的示意图，设该方案中管道长度为，且（其中于点）；图2是方案二的示意图，设该方案中管道长度为，且（其中点与点关于对称，与交于点）观察计算 在方案一中， （用含的式子表示）； 在方案二中，组长小强为了计算的长，作了如图3所示的辅助

11、线，请你按小强同学的思路计算， （用含的式子表示）探索归纳 当时，比较大小： （填“”、“”或“”）；当时，比较大小： 请你参考右边方框中的方法指导，就（当时）的所有取值情况进行分析，要使铺设的管道长度较短，应选择方案一还是方案二？【例53】 将一根长为的筷子，置于底面直径为，高为的圆柱形水杯中，设筷子露在杯子外边的长度为，则的取值范围为 【例54】 已知是边长为1的等腰直角三角形，以的斜边为直角边，画第二个等腰 ，再以的斜边为直角边，画第三个等腰，依此类推，第个等腰直角三角形的斜边长是 【例55】 如图，设四边形是边长为的正方形，以对角线为边作第二个正方形，再以对角线为边作第三个正方形，如此

12、下去（1）记正方形的边长为，按上述方法所作的正方形的边长依次为，请求出的值；（2）根据以上规律写出的表达式【例56】 小华将一条直角边长为1的一个等腰直角三角形纸片（如图1），沿它的对称轴折叠1次后得到一个等腰直角三角形（如图2），再将图2的等腰直角三角形沿它的对称轴折叠后得到一个等腰直角三角形（如图3），则图3中的等腰直角三角形的一条腰长为_；同上操作，若小华连续将图1的等腰直角三角形折叠次后所得到的等腰直角三角形（如图）的一条腰长为_板块二、勾股定理逆定理【例57】 已知是三角形的三边长，（为大于1的自然数）,试说明为直角三角形.【例58】 如果三条线段的长分别为，以这三条线段为边的三角形是否是直角三角形？请说明理由【例59】 若的三边、，满足，则是（ ）A等腰三角形 B直角三角形C等腰三角形或直角三角形 D等腰直角三角形 【例60】 若，以、为三边长的三角形是（ ）【例61】 已知的三边为、，且，则是（ ） 【例62】 已知的的对边分别是，且满足，则三角形的形状是 【例63】 如图，在由单位正方形组成的网格图中标有，四条线段，其中能构成一个直角三角形三边的线段是（）A， B， C， D， 【例64】 已知：如图，在中，是边上的高，且求证：是直角三角形【例65】 下面几组数:7,8,9；12,9,15；（均为正整数,）；, ,.其中能