初中奥数系列1411勾股定理Word文件下载.docx

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勾——最短的边、股——较长的直角边、

弦——斜边。

2．勾股定理的证明：

（1）方法一：

将四个全等的直角三角形拼成如图所示的正方形：

（2）方法二:

（3）方法三：

“总统”法.如图所示将两个直角三角形拼成直角梯形：

3．勾股定理的逆定理：

如果三角形中两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形。

即

。

4．勾股数：

满足a2+b2=c2的三个正整数，称为勾股数．勾股数扩大相同倍数后，仍为勾股数．常用勾股数：

3、4、5；

5、12、13；

7、24、25；

8、15、17。

例题精讲

板块一、勾股定理

【例1】下列说法正确的是（　　）

A.若是的三边，则

B.若是的三边，则

C.若是的三边，，则

D.若是的三边，，则

【例2】在中，，

（1）如果，则　　　　；

（2）如果，则　　　　；

（3）如果，则　　　　；

（4）如果，则　　　　.

【例3】若一个直角三角形三边的长分别是三个连续的自然数，则这个三角形的周长为

【例4】一个直角三角形的三边为三个连续偶数，则它的三边长分别为．

【例5】已知直角三角形的两边长分别为3、4，求第三边长.

【例6】已知直角三角形两边，的长满足，则第三边长为______________．

【例7】一个直角三角形中，两直角边长分别为3和4，下列说法正确的是（）

A．斜边长为25B．三角形周长为25

C．斜边长为5D．三角形面积为20

【例8】如果梯子的底端距离墙根的水平距离是，那么长的梯子可以达到的高度为

【例9】如图，梯子斜靠在墙面上，，当梯子的顶端沿方向下滑米时，梯足沿方向滑动米，则与的大小关系是（）

A．B．C．D．不确定

【例10】如图，一个长为米的梯子，斜靠在墙上，梯子的顶端距离地面的垂直距离为米，如果梯子的顶端下滑米，那么，梯子底端的滑动距离米（填“大于”、“等于”、“小于”）

【例11】三角形的三边长分别为6,8,10，它的最短边上的高为（）

A.6B.4.5C.2.4D.8

【例12】若的三边满足条件：

，则这个三角形最长边上的高为

【例13】如果把直角三角形的两条直角边同时扩大到原来的2倍，那么斜边扩大到原来的（）

A.1倍B.2倍C.3倍D.4倍

【例14】如图，一根高米的旗杆被风吹断倒地，旗杆顶端触地处到旗杆底部的距离为米，则折断点到旗杆底部的距离为

【例15】已知，如图所示，折叠长方形的一边，使点落在边的点处，如果，，求的长．

【例16】如图，有一个直角三角形纸片，两直角边，现将直角边沿直线折叠，使它落在斜边上，且与重合，那么的长为多少？

【例17】如图，正方形网格中，每个小正方形的边长为1，则网格上的三角形中，边长为无理数的边数是（）

A.0B.1C.2D.3

【例18】如图所示，在中，三边的大小关系是（）

A.B.

C.D.

【例19】设都是正数。

求证：

.

【例20】如图，以一个直角三角形的三边为边长分别向外作三个正方形，如果两个较大正方形的面积分别是和，那么最小的正方形的面积为

【例21】如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长为7cm，则正方形的面积之和为_______cm2.

【例22】如图，在中，是边上的中线，且于，若，，，求的长.

【例23】张大爷家承包了一个长方形鱼池，已知其面积为，其对角线长为，为建立栅栏，要计算这个长方形鱼池的周长，你能帮张大爷计算吗？

【例24】如图,点是的角平分线上一点，过点作交于点.若,则点到的距离等于__________.

【例25】如图，在中，是上异于的一点，求的值.

【例26】某片绿地的形状如图所示，其中，，，，，求、的长（精确到1m，）.

【例27】已知：

如图，在四边形中，，，，，．求这个四边形的面积．

【例28】已知钝角三角形的三边为、、，求该三角形的面积．

【例29】如图，在直角梯形中，（），，，是上一点，且，，求的长．

【例30】如图，是斜边的中点，，分别在，上，，判断，与的数量关系并证明你的结论．

【例31】如图，已知和都是等腰直角三角形，为边上一点，求证：

【例32】如图，中，，，、为上的点，且，求证：

．

【例33】在中，为斜边上任一点，求证：

【例34】如图，在凸四边形中，，证明:

【例35】已知中，边上的高为12，求的面积.

【例36】在三角形中，已知边上的高，求边的长

【例37】中，，，．若，如图1，根据勾股定理，则．若不是直角三角形，如图2和图3，请你类比勾股定理，试猜想与的关系，并证明你的结论．

【例38】如图1，分别以直角三角形三边为边向外作三个正方形，其面积分别用、、表示，则不难证明．

⑴如图2，分别以直角三角形三边为直径向外作三个半圆，其面积分别用、、表

示，那么、、之间有什么关系？

（不必证明）

⑵如图3，分别以直角三角形三边为边向外作三个正三角形，其面积分别用、、

表示，请你确定、、之间的关系并加以证明．

【例39】有一块直角三角形的绿地，量得两直角边长分别为、，现在要将绿地扩充成等腰三角形，且扩充部分是以为直角边的直角三角形，求扩充后等腰三角形绿地的周长．

【例40】已知斜边的长为，两直角边的差为，求三角形的周长及斜边上的高.

【例41】直角三角形中一直角边的长为9，另两边为连续自然数，则直角三角形的周长为（　　）

A．121B．120C．90D．不能确定

【例42】如图，已知Rt△ABC的周长为，其中斜边，求这个三角形的面积.

【例43】在中，，若，则.

【例44】如图，是一块直角三角形的土地，现在要在这块地上挖一个正方形蓄水池，已知剩余的两直角三角形（阴影部分）的斜边长分别为和，则剩余的两个直角三角形（阴影部分）的面积和为．

【例45】如图，学校有一块长方形花铺，有极少数人为了避开拐角走“捷径”，在花铺内走出了一条“路”．他们仅仅少走了步路（假设2步为1米），却踩伤了花草．

【例46】一个矩形的抽斗长为24cm，宽为7cm,在里面放一根铁条，那么铁条最长可以是．

【例47】蚂蚁沿图中的折线从A点爬到D点，一共爬了多少厘米？

（小方格的边长为1厘米）

【例48】一架25分米长的梯子，斜立在一竖直的墙上，这时梯足距离墙底端7分米.如果梯子的顶端沿墙下滑4分米，那么梯足将滑动（　）

　A.9分米　　　B.15分米　　　C.5分米　D.8分米

【例49】如图，是垂直于地面的前面，是一根斜靠在墙面上长为的木条，当木条端点沿墙面下滑时，沿地面向右滑行

⑴设木条的中点为，试判断木条滑行过程中，墙角处点到的距离怎样变化？

说明理由

⑵木条在什么位置时，的面积最大？

最大面积为多少？

【例50】放学以后，小红和小颖从学校分手，分别沿东南方向和西南方向回家，若小红和小颖行走的速度都是40米/分，小红用15分钟到家，小颖20分钟到家，小红和小颖家的直线距离为（）

A．600米B.800米C.1000米D.不能确定

【例51】如图，将一根25㎝长的细木棒放入长、宽、高分别为8㎝、6㎝和10㎝的长方体无盖盒子中，求细木棒露在盒外面的最短长度是多少？

【例52】在一平直河岸同侧有，两个村庄，，到的距离分别是和，．现计划在河岸上建一抽水站，用输水管向两个村庄供水．

方案设计

某班数学兴趣小组设计了两种铺设管道方案：

图1是方案一的示意图，设该方案中管道长度为，且（其中于点）；

图2是方案二的示意图，设该方案中管道长度为，且（其中点与点关于对称，与交于点）．

观察计算

⑴在方案一中，（用含的式子表示）；

⑵在方案二中，组长小强为了计算的长，作了如图3所示的辅助线，请你按小强同学的思路计算，（用含的式子表示）．

探索归纳

⑶①当时，比较大小：

（填“＞”、“＝”或“＜”）；

②当时，比较大小：

⑷请你参考右边方框中的方法指导，就（当时）的所有取值情况进行分析，要使铺设的管道长度较短，应选择方案一还是方案二？

【例53】将一根长为的筷子，置于底面直径为，高为的圆柱形水杯中，设筷子露在杯子外边的长度为，则的取值范围为

【例54】已知是边长为1的等腰直角三角形，以的斜边为直角边，画第二个等腰

，再以的斜边为直角边，画第三个等腰，……，依此类推，第个等腰直角三角形的斜边长是．

【例55】如图，设四边形是边长为的正方形，以对角线为边作第二个正方形，再以对角

线为边作第三个正方形，如此下去．

（1）记正方形的边长为，按上述方法所作的正方形的边长依次为，请求出的值；

（2）根据以上规律写出的表达式．

【例56】小华将一条直角边长为1的一个等腰直角三角形纸片（如图1），沿它的对称轴折叠1次后得到一个等腰直角三角形（如图2），再将图2的等腰直角三角形沿它的对称轴折叠后得到一个等腰直角三角形（如图3），则图3中的等腰直角三角形的一条腰长为_____________；

同上操作，若小华连续将图1的等腰直角三角形折叠次后所得到的等腰直角三角形（如图）的一条腰长为_______________________．

板块二、勾股定理逆定理

【例57】已知是三角形的三边长，（为大于1的自然数）,

试说明为直角三角形.

【例58】如果三条线段的长分别为，以这三条线段为边的三角形是否是直角三角形？

请说明理由

【例59】若的三边、、，满足，则是（）．

A．等腰三角形B．直角三角形

C．等腰三角形或直角三角形D．等腰直角三角形

【例60】若，以、、为三边长的三角形是（）．

【例61】已知的三边为、、，且，，，则是（）．

【例62】已知的的对边分别是，且满足，则三角形的形状是

【例63】如图，在由单位正方形组成的网格图中标有，，，四条线段，其中能构成一个直角三角形三边的线段是（　）

A．，，B．，，

C．，，D．，，

【例64】已知：

如图，在中，是边上的高，且．求证：

是直角三角形．

【例65】下面几组数:

①7,8,9；

②12,9,15；

③（均为正整数,）；

④,,.其中能