1、令 () 同样设 . 解:设 , 由于, 考虑到, 有.根据两个矩阵相等即对应元素相等, 得当时, , ,.只能是对角矩阵.设 ( ),且为与同型的准对角形矩阵.() 设,由, 得, ()(行). (列)两式相等, 对应元素相等, 得 ,且,(),()()由于与所有级矩阵可换,故的第一行元素除外其余元素全为零. 的第二行除外其余元素全为. 的第三行除外其余元素全为. 的第行除外其余元素全为.所以 . 证明:证明:.若为实对称矩阵,若,则.若为,矛盾,所以.证法:设, , 则. 所以由 得, . 证法. .并且;令,,所以. 设是矩阵, 证明存在一个非零矩阵使得的充要条件是.证明:,则.,设是矩
2、阵, 如果对于任意的维向量, 均有, 证明.证法:考虑. 分别取条件中的为的每一列,则, 所以.又, 得.证法. 设, 取,., . 得.证法. 因为对于任意的维向量, 均有, 所以齐次线性方程组的解空间是维空间, 即解空间是维的(基础解系含有个向量), 该方程组含有个未知量, 所以系数矩阵的秩为, (), 于是. 设是一个矩阵, 为一个矩阵, 且(), 证明:() 如果,则。() 如果, 则.() 证法. 考虑齐线方程组, 有个未知量,而()()未知量个数, 所以只有零解. 由, , 的列向量均为齐次线性方程组的解,所以的各列元素均为零,得, .证法. 因为(), 所以有一个阶子式非零, 不
3、妨假设的前列作成的子式非零, 即, 由, 得, 于是对每一个, , 有上述齐次线性方程组的系数行列式不为零, 从而只有零解, 即, ,. 所以.() 若, 则(), 由()得,. ()()().设(), (), 其极大无关组为的行向量为,其极大无关组为, 那么于是的行向量组可由向量组线性表出. ()()()(). 设为矩阵,证明:如果, 则()().设(),那么,线性方程组的基础解系可设为.设的各列为,. 由,得, 即是的解,所以,.可由线性表示,于是(,.)(), 所以, ()().如果, 那么, .由,得,从而. . 解(), (), 首先, 再考虑的伴随矩阵的元素:(), .() , ,
4、.()法:法:(),() 求 ,.解法:令, 由于,所以(),再令,则. 由题的结论, ()()2A ()() .解法: ,解法. (, ). 设解:由于,所以. 设,求.解法.块为, 由题,(见上面). 求矩阵.() ()()由,且可逆得,故所以.(), ,. , .若.若, , 得,于是不可逆. 证明: () 若上三角形,则.时,对于中的每一项, 当时, ;当时, 由于, 所以有, 从而. 这样 故为上三角.,.所以为下三角.() 证法.()的主对角线上的元素均非零,考虑为去掉的第行和第列得到的阶子式, 它仍是一个上三角行列式,且位于主对角线的第个元素为了, 所以.上三角形矩阵,故也是上三
5、角()同理, 当为下三角形矩阵时,为上三角()为上三角,即()为上三角,故为下三角。证法. 考虑求解逆矩阵的方法, 由于的主对角线上的元素均非零, 首先对矩阵作第三种初等行变换:, , ; (第列除了外其余元素均为零)再作:, ;(第列除了外其余元素均为零), 依次下去, 使得的元素除了主对角线上的元以外全为零. 再作第二类初等行变换使得主对角线上的于是均变为. 这时, 经过了一系列如上的变换, 把化为.与上述所有行变换对应的初等矩阵均为上三角形矩阵, 即是一系列上三角形矩阵的成乘积, 从而是上三角形矩阵. 由,若则.若 由, 题得秩. .总之,各种情形均有.证明:如果是矩阵(),那么() 若
6、(), 则, 由*, 可知*可逆.() 若(), 则的解空间是一维的. 又*, 所以*的列向量都是的解. 于是得(*) . 再由于(), 所以至少有一个阶子式非零,即(*), 得(*).() 若(), 则 的所有元素的代数余子式全为零,所以*, (*).(), , .,而方法:4A,. ,又,得 .补充题1. 设是一个矩阵,(), 证明 () 证法:因为(), 所以存在可逆矩阵和, 使得于是,其中是的第一列元素,是的第一行元素.证法. 因为(), 所以的行向量组的秩为. 设的行向量为, 其极大无关组为, 则其余的行向量都可由线性表出. 设为 则.() 2. 设是矩阵,证明:如果(), 那么.证
7、明: 由于,所以().若(), 则, 结论成立.设(), 由第一题,若, 则. 若, 则, 得. 但(). 所以必有,即.3. 设是矩阵,证明:如果, 那么 ()().由得()(). 所以一方面的列向量都是齐次线性方程组()的解向量,从而()().另一方面,考虑()(), 所以()()() ()(). 综上得()().4. 设是矩阵,且, 证明:证明与题类似,略去.5. 证明:由于*, 所以*(*)*. 又*, 所以若(), 所以(*)*, 结论成立. 若(), 则*, 于是由* (*)*, (*)*, 6. 设都是矩阵,且, , 证明证法: 因为可逆,所以 因为,所以. 设是一个矩阵, 且(
8、). 证明存在矩阵使得的后行全为零.由(). 存在矩阵,使得. 于是,后者是一个后行元素全为零的矩阵. () 把矩阵表成形式为的矩阵的乘积.() 设是一个复矩阵,, 证明可以表成()这一类初等矩阵的乘积. 不妨假设, 否则由均非零,可以对该矩阵作()类变换,使其位于()位置的元素非零. 对做这一类的初等变换使其变为单位矩阵.得. 设是一个阶矩阵,, 证明可表成()这一类初等矩阵的乘积. () 设(), 由于, 所以的第一列元素不全为零,于是可以用形如()的初等变换把位于()位置的元变为非零元. 所以不妨假设, 用变换, , , 即对左乘初等矩阵(), (), (), 得.由于这一类初等变换不改
9、变行列式的值,所以. 不妨假设, 对再进行一系列第三类的初等变换,把它变为.() , 且. 对作如下变换:再对上式右端的矩阵作变换(,()(), (,()() , , (,()(), 最后化为单位矩阵. 总结上述过程,相当于对左乘了一系列的第三类初等矩阵,把它变为单位矩阵. 由于第三类初等矩阵的逆仍为第三类,所以可表为一系列第三类初等矩阵的乘积. 设(), (), 证明()()(). 设(), (), 则存在阶可逆矩阵和阶可逆矩阵使得, 于是由()(), 我们有,其中为矩阵的前行. 考虑到()(), 所以假设的行向量为,, 则的行向量为,. 考虑矩阵和向量组的秩:() (,,)(,)(,) ().所以,()()()()(). 矩阵的列(行)向量如果是线性无关的,就称该矩阵为列(行)满秩. 设是矩阵,则是列满秩的充要条件为存在可逆矩阵使, 同样是行满秩的充要条件为存在可逆矩阵使(, ).假设为列满秩矩阵,则(), 且的行向量组的秩为. 所以交换的各行可以使得其前行的向量线性无关. 相当于左乘初等矩阵, 使得1A, 其中. 令, 则. 所以,其中().类似可证行满秩的结论.矩阵的秩为,则有的列满秩矩阵和的行满秩矩阵使.由条件存在阶可逆矩阵和阶可逆矩阵使得 其中. 是可逆矩阵的前列(线性无关)构成的矩阵,从而是列满秩的. 同理,是由可逆矩阵的前行构成,为行满秩的矩阵.
copyright@ 2008-2022 冰豆网网站版权所有
经营许可证编号:鄂ICP备2022015515号-1