第四章矩阵练习题参考答案Word文件下载.docx

1、令 （） 同样设 . 解：设 , 由于, 考虑到, 有.根据两个矩阵相等即对应元素相等, 得当时， , ，.只能是对角矩阵.设 （ ），且为与同型的准对角形矩阵.（） 设,由, 得, （）（行）. （列）两式相等, 对应元素相等, 得 ,且,（）,（）（）由于与所有级矩阵可换，故的第一行元素除外其余元素全为零. 的第二行除外其余元素全为. 的第三行除外其余元素全为. 的第行除外其余元素全为.所以 . 证明：证明：.若为实对称矩阵，若,则.若为，矛盾，所以.证法：设， , 则. 所以由 得, . 证法. .并且;令,，所以. 设是矩阵, 证明存在一个非零矩阵使得的充要条件是.证明：,则.,设是矩

2、阵, 如果对于任意的维向量, 均有, 证明.证法：考虑. 分别取条件中的为的每一列,则, 所以.又, 得.证法. 设, 取,., . 得.证法. 因为对于任意的维向量, 均有, 所以齐次线性方程组的解空间是维空间, 即解空间是维的（基础解系含有个向量）, 该方程组含有个未知量, 所以系数矩阵的秩为, （）, 于是. 设是一个矩阵, 为一个矩阵, 且（）, 证明:（） 如果，则。（） 如果, 则.（） 证法. 考虑齐线方程组, 有个未知量,而（）（）未知量个数, 所以只有零解. 由, , 的列向量均为齐次线性方程组的解,所以的各列元素均为零,得, .证法. 因为（）, 所以有一个阶子式非零, 不

3、妨假设的前列作成的子式非零, 即, 由, 得, 于是对每一个, , 有上述齐次线性方程组的系数行列式不为零, 从而只有零解, 即, ,. 所以.（） 若, 则（）, 由（）得，. （）（）（）.设（）, （）, 其极大无关组为的行向量为,其极大无关组为, 那么于是的行向量组可由向量组线性表出. （）（）（）（）. 设为矩阵，证明：如果, 则（）（）.设（）,那么，线性方程组的基础解系可设为.设的各列为,. 由，得, 即是的解,所以,.可由线性表示，于是（,.）（）, 所以, （）（）.如果, 那么, .由,得,从而. . 解（）, （）, 首先, 再考虑的伴随矩阵的元素:（）, .（） , ,

4、.（）法：法：（）,（） 求 ，.解法：令, 由于,所以（），再令，则. 由题的结论， （）（）2A （）（） .解法: ，解法. （, ）. 设解：由于，所以. 设，求.解法.块为， 由题，（见上面）. 求矩阵.（） （）（）由，且可逆得，故所以.（）, ,. , .若.若, , 得,于是不可逆. 证明: （） 若上三角形，则.时，对于中的每一项, 当时, ;当时, 由于, 所以有, 从而. 这样 故为上三角.,.所以为下三角.（） 证法.（）的主对角线上的元素均非零,考虑为去掉的第行和第列得到的阶子式, 它仍是一个上三角行列式,且位于主对角线的第个元素为了, 所以.上三角形矩阵，故也是上三

5、角（）同理, 当为下三角形矩阵时，为上三角（）为上三角，即（）为上三角，故为下三角。证法. 考虑求解逆矩阵的方法, 由于的主对角线上的元素均非零, 首先对矩阵作第三种初等行变换:, , ; （第列除了外其余元素均为零）再作:, ;（第列除了外其余元素均为零）, 依次下去, 使得的元素除了主对角线上的元以外全为零. 再作第二类初等行变换使得主对角线上的于是均变为. 这时, 经过了一系列如上的变换, 把化为.与上述所有行变换对应的初等矩阵均为上三角形矩阵, 即是一系列上三角形矩阵的成乘积, 从而是上三角形矩阵. 由,若则.若 由, 题得秩. .总之，各种情形均有.证明：如果是矩阵（），那么（） 若

6、（）, 则, 由*, 可知*可逆.（） 若（）， 则的解空间是一维的. 又*, 所以*的列向量都是的解. 于是得（*） . 再由于（）, 所以至少有一个阶子式非零，即（*）, 得（*）.（） 若（）, 则 的所有元素的代数余子式全为零，所以*, （*）.（）, , .,而方法：4A,. ,又,得 .补充题1. 设是一个矩阵，（）, 证明 （） 证法：因为（）, 所以存在可逆矩阵和, 使得于是，其中是的第一列元素，是的第一行元素.证法. 因为（）, 所以的行向量组的秩为. 设的行向量为, 其极大无关组为, 则其余的行向量都可由线性表出. 设为 则.（） 2. 设是矩阵，证明：如果（）, 那么.证

7、明: 由于，所以（）.若（）, 则, 结论成立.设（）, 由第一题，若, 则. 若, 则, 得. 但（）. 所以必有，即.3. 设是矩阵，证明：如果, 那么 （）（）.由得（）（）. 所以一方面的列向量都是齐次线性方程组（）的解向量，从而（）（）.另一方面，考虑（）（）, 所以（）（）（） （）（）. 综上得（）（）.4. 设是矩阵，且, 证明：证明与题类似，略去.5. 证明：由于*, 所以*（*）*. 又*, 所以若（）, 所以（*）*, 结论成立. 若（）, 则*, 于是由* （*）*， （*）*, 6. 设都是矩阵，且, , 证明证法: 因为可逆，所以 因为，所以. 设是一个矩阵, 且（

8、）. 证明存在矩阵使得的后行全为零.由（）. 存在矩阵，使得. 于是，后者是一个后行元素全为零的矩阵. （） 把矩阵表成形式为的矩阵的乘积.（） 设是一个复矩阵，, 证明可以表成（）这一类初等矩阵的乘积. 不妨假设, 否则由均非零，可以对该矩阵作（）类变换，使其位于（）位置的元素非零. 对做这一类的初等变换使其变为单位矩阵.得. 设是一个阶矩阵，, 证明可表成（）这一类初等矩阵的乘积. （） 设（）, 由于, 所以的第一列元素不全为零，于是可以用形如（）的初等变换把位于（）位置的元变为非零元. 所以不妨假设, 用变换, , , 即对左乘初等矩阵（）, （）, （）, 得.由于这一类初等变换不改

9、变行列式的值，所以. 不妨假设, 对再进行一系列第三类的初等变换，把它变为.（） , 且. 对作如下变换：再对上式右端的矩阵作变换（,（）（）, （,（）（） , , （,（）（）, 最后化为单位矩阵. 总结上述过程，相当于对左乘了一系列的第三类初等矩阵，把它变为单位矩阵. 由于第三类初等矩阵的逆仍为第三类，所以可表为一系列第三类初等矩阵的乘积. 设（）, （）, 证明（）（）（）. 设（）, （）, 则存在阶可逆矩阵和阶可逆矩阵使得, 于是由（）（）, 我们有，其中为矩阵的前行. 考虑到（）（）, 所以假设的行向量为，, 则的行向量为，. 考虑矩阵和向量组的秩：（） （，,）（，）（，） （）.所以，（）（）（）（）（）. 矩阵的列（行）向量如果是线性无关的，就称该矩阵为列（行）满秩. 设是矩阵，则是列满秩的充要条件为存在可逆矩阵使, 同样是行满秩的充要条件为存在可逆矩阵使（, ）.假设为列满秩矩阵，则（）, 且的行向量组的秩为. 所以交换的各行可以使得其前行的向量线性无关. 相当于左乘初等矩阵, 使得1A, 其中. 令, 则. 所以，其中（）.类似可证行满秩的结论.矩阵的秩为，则有的列满秩矩阵和的行满秩矩阵使.由条件存在阶可逆矩阵和阶可逆矩阵使得 其中. 是可逆矩阵的前列（线性无关）构成的矩阵，从而是列满秩的. 同理，是由可逆矩阵的前行构成，为行满秩的矩阵.