全等三角形的模型Word文件下载.docx

1、M【解析】OA=OB=OC连接OA,/ OA=OC BAO C 45 AN = CM ANO N CMOON = OMNOA MOCNOA BON MOC BON 90NOM 90OMN是等腰直角三角形厶ONM依然为等腰直角三角形，证明：/ BAC=90 , AB=AC, O 为 BC 中点/ BAO=Z OAC=Z ABC=Z ACB=45 ,AO=BO= OC,C在 ANO和厶CMO中， ANOCMO （SAS） ON=OM, / AON=Z COM,又/ COM / AOM =90 OMN为等腰直角三角形.【例2】两个全等的含30 , 60角的三角板ADE和三角板ABC，如图所示放置，

2、巳A,C三点在一条直线上，连接 BD，取BD的 中点M ,连接ME , MC 试判断 EMC的形状，并说明理由.【解析】 EMC是等腰直角三角形.连接AM 由题意，得 DAB为等腰直角三角形/ DM MB ,MA MB DM , MDA MAB 45 MDE MAC 105 EDM CAM EM MC, DME AMC 又 EMCEMA AMC EMA DME 90 CM EM , EMC是等腰直角三角形.在 ABM和 CAF中， ABM CAF . AM CF .在 ADM和 CDF中， ADM CDF .ADB CDF .证法二：如图，作 CM AC交AF的延长线于 M ./ AF BD

3、, 3 2 901 2 901 3.在 ACM和 BAD中， ACM BAD .M ADB, AD CM AD DC , CM CD .在 CMF和 CDF中， CMF 也厶 CDF . M CDF4为求角度的应用,的一些性质来解，常常可以起到化难为易的效果，从而顺利地求解。例 其他应用探究如下:【探究一】证角等【备选1】如图，RtA ABC中，/ BAC=90,AB=AC, M为AC中点，连结BM,作AD丄BM 交BC于点D,连结 DM，求证：/AMB= / CMD.【解析】 作等腰Rt ABC关于BC对称的等腰 Rt BFC,延长AD交CF于点N,/ AN丄BM,由正方形的性质，可得 AN

4、=BM,易证 Rt ABMB Rt CAN, /AMB=Z CND, CN=AM ,/ M 为 AC 中点， CM = CN,/ 1 = Z2，可证得 CMD也厶 CND,/ CND=/ CMD, / AMB=/ CMD.【探究二】判定三角形形状【备选 2】如图，RtA ABC 中，/ BAC=90, AB=AC, AD= CE AN 丄 BD 于点 M，延长 BD 交NE的延长线于点 F,试判定 DEF的形状.【解析】 作等腰Rt ABC关于BC对称的等腰 Rt BHC, 可知四边形 ABHC为正方形，延长 AN交HC于点K,/ AK丄 BD,可知 AK=BD,易证：Rt ABD Rt CA

5、K,/ ADB=Z CKN, CK=AD, AD=EC, CK=CE易证 CKNY CEN, / CKN=Z CEN,易证/ EDF=Z DEF, DEF为等腰三角形.【探究三】利用等积变形求面积【备选 3】如图，RtA ABC 中，/ A=90,AB=AC, D 为 BC上一点，DE/ AC, DF/ AB,且 BE=4 , CF=3，求 S 矩形DFAE.【解析】作等腰Rt ABC关于BC的对称的等腰 Rt GCB,可知四边形 ABGC为正方形，分别延长 FD ED交BG、CG于点N、M,可知 DN=EB=4 , DM= FC=3 ,由正方形对称性质，可知 S矩形 DFAE= S 矩形 D

6、MGN = DM DN=3 4=12 .【探究四】求线段长【备选4】如图， ABC中，AD丄BC于点D, / BAC=45, BD=3 , CD=2，求AD的长.【分析】此题若用面积公式结合勾股定理再列方程组求解是可以的， 但解法太繁琐，本题尽管已知条件不是等腰直角三角形， 但/ BAC=45 ,若分别以AB AC为对称轴作RtADB的对称直角三角形和 RtADC的对称直角三角形，这样就出现两边相等 且夹角为90的图形，满足等腰直角三角形的条件，然后再引辅助线使之转化为正 方形.【解析】 以AB为轴作Rt ADB的对称的RtAEB,再以AC为轴作Rt ADC的对称的 Rt AFC.可知 BE=

7、 BD=3 , FC=CD=2 ,延长 EB FC交点 G, / BAC=45由对称性，可得 / EAF=90 ,且AE=AD=AF,易证四边形AFGE为正方形，且边长等于 AD,设 AD=x，贝U BG=x- 3, CG=x 2,在Rt BCG中，由勾股定理，得 x 2 x 3 52,解得x=6，即AD=6 .【探究五】求最小值【备选5】如图，RtA ABC中，/ ACB=90, AC=BC=4 , M为AC的中点，P为斜边 AB上 的动点，求PM+ PC的最小值.【解析】 将原图形通过引辅助线化归为正方形， 即作RtACB关于AB对称的Rt ADB,可知四边形 ACBD为正方形，连接 CD

8、,可知点C关于AB的对称点D,连接MD交 AB于点P,连接CP,则PM+ PC的值为最小，最小值为:PM+PC=DM= 42 22 2.5.AC 丄 CE;AB CQ其余条件不变，试判断 AC丄CE这一结论是否成立？若成立，给予证 明；若不成立，请说明理由B Ci C D【解析】 AB丄BD, ED BDB D 90 在厶ABC与 CDE中 ABC CDE （ SAS）/ 2 E 90 ACE 90，即 AC丄 CE图四种情形中，结论永远成立，证明方法与完全类似，只要证明【例5】 正方形ABCD中，点A、B的坐标分别为正方形边长及顶点C的坐标.（计算应用 中，两条直角边的平方和等于斜边的平方【

9、解析】 过点C作CG丄x轴于G,过B作BE1 y轴于E,并反向延长交 CG于F点A、B的坐标分别为 0,10 , 8 , 4 BE=8，AE=6， AB=10四边形 ABCD是正方形， AB= BC 1 3 90 2 3 90- AEB BFC 90 AEBA BFCECB DBC 90 , ABD DBC 90 , ECB ABD ,/ ABC DAB 90 , AB BC , BAD 也厶 CBE , AD BE . E是AB中点， EB EA由得：AD BE , AE ADACB 45 ,DACEM MD , AM DE/ AD / BC , CADT BAC 45 , - BAC由等腰

10、三角形的性质，得： 即AC是线段ED的垂直平分线. DBC是等腰三角形，CD BD由得：CD CE ,由得：CE BD CD BD , DBC是等腰三角形.【例7】【解析】如图1, ABC是等边三角形，D、E分别是AB、BC上的点，且 BD=CE,连接AE、CD相交于点P.请你补全图形，并直接写出 / APD的度数=;如图 2 , Rt ABC 中，/ B=90 ,M、N 分别是 AB BC 上的点，且 AM=BCBM=CN , 连接AN、CM相交于点P.请你猜想/ APM=,并写出你的推理过程.（2013平谷一模） 图略，6045作 AE丄AB且AE CN BM .可证 EAM也 MBC -

11、 ME MC , AME BCM .CMB MCB 90 , CMB AME 90 .EMC 90 . EMC是等腰直角三角形，MCE 45 . 又厶 AE3A CAN （SAS）ECA NAC.EC/ AN.45 .APM ECMDBE DAF在厶BDH和厶ADF中, BDHA ADF （ASA）DH=DF训练4. 如图，已知矩形 ABCD中，E是AD上的一点，F是AB上的一点，EFL EC,且EF=EC,DE=4cm，矩形ABCD的周长为32cm，求AE的长. 【解析】 在 Rt AEF和 Rt DEC 中，/ EFL CE, FEC=90/ AEF+Z DEC=90 ,而 / ECC+Z

12、 DEC=90/ AEF=Z ECD.又 Z FAE=Z EDC=90 . EF=ECRt AEF Rt DCE.AE= CD.AD= AE+4 .矩形ABCD的周长为32 cm ,2 （AE+ AE+4 ） =32 .BDC全等的三角形为【解析】 AEC【练习2如图，已知 Rt ABC中 ACB 90 AC BC , D是BC的中点，CE AD ,垂足为E . BF / AC ,交CE的延长线于点 F .求证：AC 2BF .【解析I ACB 90 , BF / AC ,ACD CBF 90ADC CAD 90 . CE AD ,FCB ADC 90CAD FCB .又 AC CB , ADC CFB .DC FB . D是BC的中点，BC 2BF ,即 AC 2BF .题型二三垂直模型巩固练习【练习3 已知：如图，四边形 ABCD是矩形（ADAB）,点E在BC上，且AE=AD, DF 丄AE,垂足为F.请探求DF与AB有何数量关系？写出你所得到的结论并给予 证明.四边形ABCD是矩形,B= 90, AD / BC,/ DAF=Z AEB DF丄 AE, / AFD= 90,