全等三角形的模型Word文件下载.docx

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M

【解析】⑴OA=OB=OC

⑵连接OA,

•/OA=OCBAOC45°

AN=CM

•••△ANONCMO

•••ON=OM

•NOAMOC

•NOABONMOCBON90

•NOM90

•△OMN是等腰直角三角形

⑶厶ONM依然为等腰直角三角形，

证明：

•••/BAC=90°

AB=AC,O为BC中点

•••/BAO=ZOAC=ZABC=ZACB=45°

•AO=BO=OC,

C

•••在△ANO和厶CMO中，

•△ANOCMO（SAS）

•ON=OM,/AON=ZCOM,

又•••/COM/AOM=90°

•△OMN为等腰直角三角形.

【例2】两个全等的含30°

60°

角的三角板ADE和三角板ABC，如

图所示放置，巳A,C三点在一条直线上，连接BD，取BD的中点M,连接ME,MC•试判断△EMC的形状，并说明理由.

【解析】△EMC是等腰直角三角形.

连接AM•由题意，得

•△DAB为等腰直角三角形•

•/DMMB,

•MAMBDM,MDAMAB45°

•

•MDEMAC105°

•△EDM◎△CAM•

•EMMC,DMEAMC•

又EMC

EMAAMCEMADME90°

•CMEM,•△EMC是等腰直角三角形.

在△ABM和△CAF中，

•••△ABM◎△CAF.•••AMCF.

在△ADM和△CDF中，

•△ADM◎△CDF.

•ADBCDF.

证法二：

如图，作CMAC交AF的延长线于M.

•/AFBD,•3290°

•1290°

•13.

在△ACM和△BAD中，

•

△ACM◎△BAD.

MADB,ADCM

•••ADDC,•CMCD.

在△CMF和△CDF中，

•△CMF也厶CDF.•MCDF

4为求角度的应用,

的一些性质来解，常常可以起到化难为易的效果，从而顺利地求解。

例其他应用探究如下:

【探究一】证角等

【备选1】如图，RtAABC中，/BAC=90°

AB=AC,M为AC中点，连结BM,作AD丄BM交BC于点D,连结DM，求证：

/AMB=/CMD.

【解析】作等腰Rt△ABC关于BC对称的等腰Rt△BFC,延长AD交CF于点N,

•/AN丄BM,由正方形的性质，可得AN=BM,

易证Rt△ABMBRt△CAN,•/AMB=ZCND,CN=AM,

•/M为AC中点，•CM=CN,

•••/1=Z2，可证得△CMD也厶CND,

•••/CND=/CMD,•••/AMB=/CMD.

【探究二】判定三角形形状

【备选2】如图，RtAABC中，/BAC=90°

AB=AC,AD=CEAN丄BD于点M，延长BD交NE的延长线于点F,试判定△DEF的形状.

【解析】作等腰Rt△ABC关于BC对称的等腰Rt△BHC,可知四边形ABHC为正方形，延长AN交HC于点K,

•/AK丄BD,可知AK=BD,易证：

Rt△ABD^Rt△CAK,

•••/ADB=ZCKN,CK=AD,

•••AD=EC,•CK=CE

易证△CKNYCEN,•••/CKN=ZCEN,

易证/EDF=ZDEF,DEF为等腰三角形.

【探究三】利用等积变形求面积

【备选3】如图，RtAABC中，/A=90°

AB=AC,D为BC上一点，DE//AC,DF//AB,且BE=4,CF=3，求S矩形DFAE.

【解析】作等腰Rt△ABC关于BC的对称的等腰Rt△GCB,

可知四边形ABGC为正方形，分别延长FDED交BG、CG于点N、M,

可知DN=EB=4,DM=FC=3,

由正方形对称性质，

可知S矩形DFAE=S矩形DMGN=DMDN=34=12.

【探究四】求线段长

【备选4】如图，△ABC中，AD丄BC于点D,/BAC=45°

BD=3,CD=2，求AD的长.

【分析】此题若用面积公式结合勾股定理再列方程组求解是可以的，但解法太繁琐，本题尽

管已知条件不是等腰直角三角形，但•••/BAC=45°

若分别以ABAC为对称轴作

Rt△ADB的对称直角三角形和Rt△ADC的对称直角三角形，这样就出现两边相等且夹角为90°

的图形，满足等腰直角三角形的条件，然后再引辅助线使之转化为正方形.

【解析】以AB为轴作Rt△ADB的对称的Rt△AEB,再以AC为轴作Rt△ADC的对称的Rt△AFC.

可知BE=BD=3,FC=CD=2,

延长EBFC交点G,•••/BAC=45°

由对称性，可得/EAF=90°

且AE=AD=AF,

易证四边形AFGE为正方形，且边长等于AD,

设AD=x，贝UBG=x-3,CG=x—2,

在Rt△BCG中，由勾股定理，得x2x352,

解得x=6，即AD=6.

【探究五】求最小值

【备选5】如图，RtAABC中，/ACB=90°

AC=BC=4,M为AC的中点，P为斜边AB上的动点，求PM+PC的最小值.

【解析】将原图形通过引辅助线化归为正方形，即作Rt△ACB关于AB对称的Rt△ADB,可

知四边形ACBD为正方形，连接CD,可知点C关于AB的对称点D,连接MD交AB于点P,连接CP,则PM+PC的值为最小，最小值

为:

PM+PC=DM=42222.5.

AC丄CE;

ABCQ

其余条件不变，试判断AC丄CE这一结论是否成立？

若成立，给予证明；

若不成立，请说明理由•

BCiCD

①②③④

【解析】⑴•••AB丄BD,ED±

BD

•BD90在厶ABC与△CDE中

•△ABCCDE（SAS）

•/2E90

•••ACE90，即AC丄CE

⑵图①②③④四种情形中，结论永远成立，证明方法与⑴完全类似，只要证明

【例5】正方形ABCD中，点A、B的坐标分别为

正方形边长及顶点C的坐标.（计算应用中，两条直角边的平方和等于斜边的平方

【解析】过点C作CG丄x轴于G,过B作BE1y轴于E,并反向延长交CG于F

点A、B的坐标分别为0,10,8,4

•••BE=8，AE=6，•••AB=10

•••四边形ABCD是正方形，•AB=BC

•••13902390

•-AEBBFC90

•△AEB^ABFC

•ECBDBC90,ABDDBC90,•ECBABD,

•/ABCDAB90,ABBC,

•△BAD也厶CBE,•ADBE.

⑵•••E是AB中点，•EBEA

由⑴得：

ADBE,•AEAD

ACB45,

DAC

EMMD,AMDE

•/AD//BC,•CAD

TBAC45,•-BAC

由等腰三角形的性质，得：

即AC是线段ED的垂直平分线.

⑶△DBC是等腰三角形，CDBD

由⑵得：

CDCE,由⑴得：

CEBD

•CDBD,•△DBC是等腰三角形.

【例7】

【解析】

⑴如图1,△ABC是等边三角形，D、E分别是AB、BC上的点，且BD=CE,连接

AE、CD相交于点P.请你补全图形，并直接写出/APD的度数=;

⑵如图2,Rt△ABC中，/B=90°

M、N分别是ABBC上的点，且AM=BCBM=CN,连接AN、CM相交于点P.请你猜想/APM=°

并写出你的推理过程.

（2013平谷一模）⑴图略，60°

⑵45°

作AE丄AB且AECNBM.

可证△EAM也△MBC•-MEMC,AMEBCM.

CMBMCB90,•CMBAME90.

EMC90.

•△EMC是等腰直角三角形，MCE45.又厶AE3ACAN（SAS）

ECANAC.

•EC//AN.

45.

APMECM

DBEDAF

•••在厶BDH和厶ADF中,

•••△BDH^AADF（ASA）

•DH=DF

训练4.如图，已知矩形ABCD中，E是AD上的一点，F是AB上的一点，EFLEC,且EF=EC,

DE=4cm，矩形ABCD的周长为32cm，求AE的长.【解析】在Rt△AEF和Rt△DEC中，•/EFLCE,FEC=90°

•••/AEF+ZDEC=90°

而/ECC+ZDEC=90°

•••/AEF=ZECD.

又ZFAE=ZEDC=90°

.EF=EC

•Rt△AEF^Rt△DCE.

•AE=CD.

•AD=AE+4.

•••矩形ABCD的周长为32cm,

2（AE+AE+4）=32.

BDC全等的三角形为

【解析】△AEC

【练习2］如图，已知Rt△ABC中ACB90°

ACBC,D是BC的中点，CEAD,

垂足为E.BF//AC,交CE的延长线于点F.求证：

AC2BF.

【解析］IACB90°

BF//AC,

•ACDCBF90°

ADCCAD90°

.

•••CEAD,

FCBADC90°

CADFCB.

又•••ACCB,

•△ADC◎△CFB.

•DCFB.

•••D是BC的中点，

•BC2BF,

即AC2BF.

题型二三垂直模型巩固练习

【练习3］已知：

如图，四边形ABCD是矩形（AD>

AB）,点E在BC上，且AE=AD,DF丄AE,垂足为F.请探求DF与AB有何数量关系？

写出你所得到的结论并给予证明.

•••四边形ABCD是矩形,

B=90°

AD//BC,

•••/DAF=ZAEB•••DF丄AE,•••/AFD=90°