材料力学教案第5章弯曲应力.docx

1、材料力学教案第5章弯曲应力第五章弯曲应力 5.1纯弯曲 5.2纯弯曲时的正应力 5-3横力弯曲(剪切弯曲)时的正应力 5.4弯曲切应力 5.6提高弯曲强度的措施 5.1纯弯曲1.弯曲横力弯曲纯弯曲Fs,MFs 0,Mconst.0,2.观察变形以矩形截面梁为例(1)变形前的直线aa、bb变形后成为曲线a a、b b，变形前的mm , nn变形后仍为直线mm、m n，然而却相对转过了一个角度，且仍与 aa、bb曲线相垂直1aa丿bbmAXn1(2)m n平面假设根据实验结果，可以假设变形前原为平 面的梁的横截面变形后仍为平面，且仍垂直 于变形后的梁轴线，这就是弯曲变形的平面 假设。(3)设想设想

2、梁是由平行于轴线的众多纤维组 成。在纯弯曲过程中各纤维之间互不挤压， 只发生伸长和缩短变形。显然，凸边一侧的纤维发生伸长，凹边一侧的 纤维缩短。由平面假设纤维由伸长变为缩短，连续变化，中间一定有一 层纤维称既不伸长，也不缩短，这一层纤维为中性层。(4)中性轴中性层与横截面的交线称为中性轴，由于 整体变形的对称性，中性轴由与纵向对称面垂 直。P139note：可以证明，中性轴为形心主轴。 5.2纯弯曲时的正应力1.正应力分布规律：r变形几何关系Y物理关系静力关系(1)变形几何关系取dx微段来研究，竖直对称轴为 为z轴，距中性层为y的任一纤维b by d d yd(2)物理关系因为纵向纤维之间无正

3、应和，每一纤维都是单向拉伸或者单向压缩,当应力小于比例极限时，由胡克定律此式表明：任意纵向纤维的正应力与它到中性 层的距离成正比。在横截面上，任意点的正应力与该 点到中性轴的距离成正比。亦即沿截面高度，正应力 按直线规律变化。(3)静力关系横截面上的微内力。dA组成垂直于横截面的空间平行力学。这一力系可能简化为三个内力分量:dAAz dAAy dAAMiyMiz横截面上的内力与截面左侧的外力必须 平衡。在纯弯曲情况下，截面左侧的外力只有 对z轴的力偶矩Me。由于内外力必须满足平衡 方程，故：Fx 0AdA式（b）代入式（c）dAconst ydA Sz （A结论：Z轴（中性轴）通过形心。 My

4、 0M iyz dAA(d)式（b）代入式（d）z dAAE yzdA 0AyzdAAIyz 0结论：y轴为对称轴, M上式自然满足0MeMiz MAy dA ( e)式（b）代入式（e）M yAy2dAAdA y2dAA(f)Iz式（f）可写成1 MEIz(g)式中1为梁轴线变形后的曲率，Elz称为梁的抗弯刚度。2.纯弯曲时梁的正应力计算公式 由式（g）和式（b）中消去丄得讨论：（1）导出公式时用了矩形截面，但未涉及任何矩形的几何特 性，因此，公式具有普遍性。（2） 只要梁有一纵向对称面，且载荷作用于对称面内，公式都适用（3） 横截上任一点处的应力是拉应力还是压应力可直接判定，不需 用y坐标

5、的正负来判定。 5-3横力弯曲（剪切弯曲）时的正应力1.纯弯曲正应力公式推广应用于横力弯曲M ylz讨论：公式的适用条件（1） 平面弯曲（2） 纯弯曲或l/h 5的横力弯曲（c,t）（3） 应力小于比例极限。2.最大正应力M max y maxlzmaxW抗弯截面系数（m3） 讨论：(1) 等直梁而言。max发生在最大弯矩断面，距中性轴最远处 ymax(2) 对于变截面梁不应只注意最大弯矩 Mmax截面，而应综合考虑 弯矩和抗弯截面系数Wz两个因素。3.强度条件maxmaxWZ(1)对抗拉抗压强度相同的材料，只要 即可 max(2)对抗拉抗压强度不等的材料(如铸铁)则应同时满足:t max t

6、cmax4.强度计算(1)强度校核(3)确定许用载荷：Mmax WzExamplel空气泵操作杆，右端受力 Fi=8.5kN, 1-1、2-2截面相同,均为h/b=3的矩形，若(T =50MPa，试选用1-1、2-2截面尺寸。M1=8.5X (0.72-0.08)=5.44kN m M2=16.1X (0.38-0.08)=4.38kN m 故:设计截面h=125mm 5.4弯曲切应力 横力弯曲MFs切应力的分布规律与梁的横截面形状有关，因此以梁的横截面形状 不同分别加以讨论。1.矩形截面梁(1)切应力的分布规律切应力的方向与剪力Fs平行 假设切应力沿截面宽度均匀分布当hb时，按上述假设得到的

7、解答与精确解相比有足够的准确度。(2)切应力沿截面高度的变化规律1从梁中取出dx段，而微段上无载荷作用截面上的C和T的分布如图研究微块的平衡式。F2 . dA . M dM y-dAI ；A*A*M dM a* yidAM dM *I式中：SZ A* y-dA为离中性轴为y的横线以下面积对中性轴之静矩。 AMy. M MS；F 1 dA -dA ；1 A* A* A； ；考虑到微块顶面上相切的内力系的合dFsbdx(c)Fx(a)*%dAIz(b)F 2 F 1 dFs 0(d)(a)、(b)、(c)dM j M jSz工dM S；代入式(d)(e)bdx 0P7 /dx I Zb(d)由切应

8、力互等定理,dMdxFs*FSSZIzb横截面上pq线处切应力为*FsS；I；b这就是矩形截面梁弯曲切应力计算公讨论:a.横力弯曲下梁的纵向纤维层之间存在切应力b.矩形截面如图dA bd y-i Szh /2A* y1 dA y b%dy1(f)(g)2y orSZ A* y2Jh h 、1、b 2、2(2 y) b(2 y) 2(2 y) 2( 4 y)Fs212h2 24 yc. 当y 时，2T =O当y=0时,maxFsh281；d.考虑到I； bh12max3 Fs2 bh1.5空 bh2.工字形截面梁(1)计算表明：截面上剪力Fs 的 9597%说明切应力T沿截面高度按抛物线规律变化

9、由腹板承担，故只考虑腹板上的切应力分布规 律，而腹板是一个狭长矩形，矩形截面切应力 两个假设均适用(T方向与 Fs 一致， 均布),米用矩形截面方法可得：*FsS；I；boh设宽度max9Tiin式中：S；h2 ho2bo h：以 y=0， yI；bo弘代入上式得2h0bo2h24maxminFsbh2I；bo 8Fs bh2I；b0 8b h： boI8t bobT maxT min于是近似认为Fsmaxboh(2)翼缘中切应力分布比较复杂，且数量很小，无实际意义，不予 讨论。(3)工字梁翼缘的全部面都距中性轴较远， 每一点的正应力都很大, 所以工字梁的最大特点是，用翼缘承担大部分弯矩，腹板

10、承担大部分剪 力。(2)圆环形截面2 FSmaxA4.弯曲切应力的强度校核(1)强度条件*f s s max Z maxmax IzbSZmax中性轴以上或以下截面面积对中性轴之静矩(2)细长梁而言，强度控制因素，通常是弯曲正应力，一般只按正 应力强度条件进行强度计算，不需要对弯曲切应力进行强度校核。(3)只在下述情况下，才进行弯曲切应力强度校核：1梁的跨度较短。2在梁的支座附近作用较大的载荷，以致梁的弯矩较小，而剪力颇 大。3铆接或焊接的工字梁，如腹板较薄而截面高度颇大，以致厚度与 高度的比值小于型钢的相应比值，这时对腹板进行切应力校核。4经焊接，铆接或胶而成的梁，对焊缝、铆钉或胶合面一般进

11、行剪 切计算。 5.6提高弯曲强度的措施弯曲正应力为控制梁的主要因素。梁的强度条件：M maxmax合理安排梁的受力情况，降低 Mmax 采用合理截面形状，提高WZ1 .合理安排梁的受力情况，降低(1)合理布置梁的支座(2)合理布置载荷1载荷置于合理位置2将集中力分为较小的集中力3将集中力分为分布力M maxMiMlrrrrrj-|伍書冲2期A/加屯1 ；5 5QATrTrmtrini11inITnnnirnnrnTTrn 占術I 豎価 牛#2l “4i 1-FlmuF IK.F/22.梁的合理截面，提高WZ由强度条件M max Wz可见Wz越大，梁承受的弯矩就越大。（1）矩形截面梁竖放：Wz

12、 也，由A=bh，用6衡量截面形状的合理性和经济性。K1 Wl h 0.167hA 6hb2平放：W ，由A=bh6K2 Wl b 0.167bA 6显然：因为hb，故QK2，所以，K矩形截面梁竖放比平放要好。（2）截面合理性，经济性用 W 比A值来评价，引入W Kh，K值越Ah3.等强度梁的设计（1）等截面梁是按最大弯矩设计maxi11i(2)等强度梁是按变截面设计wx M2(2)等强度梁为变截面梁各横截面上的最大正应力。 max都相等，且等于许用应力(T 。M (x)max W(x)4.举例Example图示受集中力作用的简支梁，若设计成等强度梁，截面为矩形。设 h=c on st,而 b=b(x)即:2当x=0时，b=0。这显然不能满足剪切条件。必须根据截面上中性 轴处的最大切应力来论最小的宽度 bmin。3根据max3 F s max 3 F / 22 A 2 bmin h b.王min .4h(3)叠板弹簧梁的构成将厚度为h的钢，切割成bmin的钢板条，当然钢板条长度不同叠起来，构成叠板梁如图示。(4)鱼腹梁的设计设：b co nsth h xW xMx F/2 x即：bh2 xFx62又：h x3Fxb3 Fsmax 3 F /2max2 A 2 bhmin故：hmin3F4bhmax3Fl2b鱼腹梁形成。