材料力学教案第5章弯曲应力.docx

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材料力学教案第5章弯曲应力

第五章弯曲应力

§5.1纯弯曲

§5.2纯弯曲时的正应力

§5-3横力弯曲（剪切弯曲）时的正应力

§5.4弯曲切应力

§5.6提高弯曲强度的措施

§5.1纯弯曲

1.弯曲

横力弯曲

纯弯曲

Fs,M

Fs0,M

const.

0,

2.观察变形

以矩形截面梁为例

（1）变形前的直线aa、bb变形后

成为曲线aa、bb，变形前的mm,nn变形后仍为直线mm、mn，然

而却相对转过了一个角度，且仍与aa、bb曲线相垂直

1

a

a

丿b

b

m

AX

n

1

（2）

mn

平面假设

根据实验结果，可以假设变形前原为平面的梁的横截面变形后仍为平面，且仍垂直于变形后的梁轴线，这就是弯曲变形的平面假设。

（3）设想

设想梁是由平行于轴线的众多纤维组成。

在纯弯曲过程中各纤维之间互不挤压，只发生伸长和缩短变形。

显然，凸边一侧的纤维发生伸长，凹边一侧的纤维缩短。

由平面假设纤维由伸长变为缩短，连续变化，中间一定有一层纤维称既不伸长，也不缩短，这一层纤维为中性层。

（4）中性轴

中性层与横截面的交线称为中性轴，由于整体变形的对称性，中性轴由与纵向对称面垂直。

P139

note：

可以证明，中性轴为形心主轴。

§5.2纯弯曲时的正应力

1.正应力分布规律：

r①变形几何关系

Y②物理关系

•③静力关系

（1）变形几何关系

取dx微段来研究，竖直对称轴为为z轴，距中性层为y的任一纤维bb

yddy

d

（2）物理关系

因为纵向纤维之间无正应和，每一纤维都是单向拉伸或者单向压缩,

当应力小于比例极限时，由胡克定律

此式表明：

任意纵向纤维的正应力与它到中性层的距离成正比。

在横截面上，任意点的正应力与该点到中性轴的距离成正比。

亦即沿截面高度，正应力按直线规律变化。

（3）静力关系

横截面上的微内力。

dA组成垂直于横截面的空间平行力学。

这一力

系可能简化为三个内力分量:

dA

A

zdA

A

ydA

A

Miy

Miz

横截面上的内力与截面左侧的外力必须平衡。

在纯弯曲情况下，截面左侧的外力只有对z轴的力偶矩Me。

由于内外力必须满足平衡方程，故：

①

Fx0

AdA

式（b）代入式（c）

dA

const

…ydASz（

A

结论：

Z轴（中性轴）通过形心。

②My0

Miy

zdA

A

（d）

式（b）代入式（d）

zdA

A

EyzdA0

A

yzdA

A

Iyz0

结论：

y轴为对称轴,

③M

上式自然满足

0

Me

MizM

AydA（e）

式（b）代入式（e）

My

A

y2dA

A

dA—

y2dA

A

（f）

Iz

•••式（f）可写成

1M

EIz

（g）

式中1为梁轴线变形后的曲率，Elz称为梁的抗弯刚度。

2.纯弯曲时梁的正应力计算公式由式（g）和式（b）中消去丄得

讨论：

（1）导出公式时用了矩形截面，但未涉及任何矩形的几何特性，因此，公式具有普遍性。

（2）只要梁有一纵向对称面，且载荷作用于对称面内，公式都适用

（3）横截上任一点处的应力是拉应力还是压应力可直接判定，不需用y坐标的正负来判定。

§5-3横力弯曲（剪切弯曲）时的正应力

1.纯弯曲正应力公式推广应用于横力弯曲

My

lz

讨论：

公式的适用条件

（1）平面弯曲

（2）纯弯曲或l/h>5的横力弯曲（c,t）

（3）应力小于比例极限。

2.最大正应力

Mmaxymax

lz

max

W——抗弯截面系数（m3）讨论：

（1）等直梁而言。

max发生在最大弯矩断面，距中性轴最远处ymax

（2）对于变截面梁不应只注意最大弯矩Mmax截面，而应综合考虑弯矩和抗弯截面系数Wz两个因素。

3.强度条件

max

max

WZ

（1）对抗拉抗压强度相同的材料，只要即可max

（2）对抗拉抗压强度不等的材料（如铸铁）则应同时满足:

tmaxt

cmax

4.强度计算

（1）强度校核

（3）确定许用载荷：

MmaxWz

Examplel空气泵操作杆，右端受力Fi=8.5kN,1-1、2-2截面相同,

均为h/b=3的矩形，若[（T]=50MPa，试选用1-1、2-2截面尺寸。

M1=8.5X（0.72-0.08）=5.44kNm•

M2=16.1X（0.38-0.08）=4.38kNm•

故:

③设计截面

h=125mm

§5.4弯曲切应力横力弯曲M

Fs

切应力的分布规律与梁的横截面形状有关，因此以梁的横截面形状不同分别加以讨论。

1.矩形截面梁

（1）切应力的分布规律

切应力的方向与剪力Fs平行假设

切应力沿截面宽度均匀分布

当h>b时，按上述假设得到的解答与精确解

相比有足够的准确度。

（2）切应力沿截面高度的变化规律

1从梁中取出dx段，而微段上无载荷作用

②截面上的C和T的分布如图

③研究微块的平衡

式。

F2.dA..MdMy-dA

I；

A*

A*

MdM

—a*yidA

MdM*

I

式中：

SZA*y-dA为离中性轴为y的横线以下面积对中性轴之静矩。

A

My.M—MS；

F1dA-dA；

1A*A*A

；；

考虑到微块顶面上相切的内力系的合

dFs

bdx

（c）

Fx

（a）

*%dA

Iz

（b）

F2F1dFs0（d）

（a）、（b）、（c）

dMjMj

「Sz工

dMS；

代入式（d）

（e）

bdx0

P

7/

dxIZb

（d）

由切应力互等定理,

dM

dx

Fs

*

FSSZ

Izb

横截面上pq线处切应力为

*

FsS；

I；b

这就是矩形截面梁弯曲切应力计算公

④讨论:

a.横力弯曲下梁的纵向纤维层之间存在

切应力

b.矩形截面如图

dAbdy-iSz

h/2

A*y1dAyb%dy1

（f）

（g）

2

yor

SZA*[y

2

Jhh、1』、b」2、

2（2y）]b（2y）2（2y）2（4y）

Fs

212

h22

4y

c.当y—时，

2

T=O

当y=0时,

max

Fsh2

81；

d.考虑到I；bh

12

max

3Fs

2bh

1.5空bh

2.工字形截面梁

（1）计算表明：

截面上剪力

Fs的95〜97%

说明切应力T沿截面高度按抛物线规律变化

由腹板承担，故只考虑腹板上的切应力分布规律，而腹板是一个狭长矩形，矩形截面切应力两个假设均适用（T方向与Fs一致，均布）,米用矩形截面方法可得：

*

FsS；

I；bo

h

设宽度

max

9

Tiin

式中：

S；

h2ho2

boh：

以y=0，y

I；bo

弘代入上式得

2

h0

bo

2

h2

4

max

min

Fs

bh2

I；bo8

Fsbh2

I；b08

bh：

boI

8

tbo«b

…Tmax~Tmin

于是近似认为

Fs

max

boh

（2）翼缘中切应力分布比较复杂，且数量很小，无实际意义，不予讨论。

（3）工字梁翼缘的全部面都距中性轴较远，每一点的正应力都很大,所以工字梁的最大特点是，用翼缘承担大部分弯矩，腹板承担大部分剪力。

（2）圆环形截面

2FS

max

A

4.弯曲切应力的强度校核

（1）强度条件

*

fssmaxZmax

maxIzb

SZmax——中性轴以上或以下截面面积对中性轴之静矩

（2）细长梁而言，强度控制因素，通常是弯曲正应力，一般只按正应力强度条件进行强度计算，不需要对弯曲切应力进行强度校核。

（3）只在下述情况下，才进行弯曲切应力强度校核：

1梁的跨度较短。

2在梁的支座附近作用较大的载荷，以致梁的弯矩较小，而剪力颇大。

3铆接或焊接的工字梁，如腹板较薄而截面高度颇大，以致厚度与高度的比值小于型钢的相应比值，这时对腹板进行切应力校核。

4经焊接，铆接或胶而成的梁，对焊缝、铆钉或胶合面一般进行剪切计算。

§5.6提高弯曲强度的措施

弯曲正应力为控制梁的主要因素。

梁的强度条件：

Mmax

max

合理安排梁的受力情况，降低Mmax采用合理截面形状，提高WZ

1.合理安排梁的受力情况，降低

（1）合理布置梁的支座

（2）合理布置载荷

1载荷置于合理位置

2将集中力分为较小的集中力

3将集中力分为分布力

Mmax

Mi

Ml

rrrrrj

-■-

|伍］

書冲2期

A/加屯1；

55Q

AT

rTrmtrini11in[IT[^nnnirnnrnTTrn■—£

占術I豎価牛

#2

l“4

i1-

Fl

mu

FIK.

F/2

2.梁的合理截面，提高WZ

由强度条件

MmaxWz

可见Wz越大，梁承受的弯矩就越大。

（1）矩形截面梁

竖放：

Wz也，由A=bh，用

6

衡量截面形状的合理性和经济性。

K1Wlh0.167h

A6

hb2

平放：

W，由A=bh

6

K2Wlb0.167b

A6

显然：

因为h>b，故Q>K2，所以，

K

矩形截面梁竖放比平放要好。

（2）截面合理性，经济性用W比

A

值来评价，引入WKh，K值越

A

h

3.等强度梁的设计

（1）等截面梁是按最大弯矩设计

max

i

1

1

•

i

（2）等强度梁是按变截面设计

wxM2

（2）等强度梁为变截面梁各横截面上的最大正应力。

max都相

等，且等于许用应力［（T］。

M（x）

maxW（x）

4.举例

Example图示受集中力作用的简支梁，若设计成等强度梁，截面为

矩形。

设h=const,而b=b（x）

即:

2当x=0时，b=0。

这显然不能满足剪切条件。

必须根据截面上中性轴处的最大切应力来论最小的宽度bmin。

3根据

max

3Fsmax3F/2

2A2bminhb.王

min.

4h

（3）叠板弹簧梁的构成

将厚度为h的钢，切割成bmin的钢板条，当然钢板条长度不同叠起

来，构成叠板梁如图示。

（4）鱼腹梁的设计

设：

bconst

hhx

Wx

M

xF/2x

即：

bh2x

Fx

6

2

又：

hx

3Fx

b

3Fsmax3F/2

max

2A2bhmin

故：

hmin

3F

4b

hmax

3Fl

2b

鱼腹梁形成。