高等代数北大版课件9.5子空间PPT推荐.ppt

1、 2 2 标准正交基标准正交基标准正交基标准正交基3 3 同构同构同构同构4 4 正交变换正交变换正交变换正交变换1 1 定义与基本性质定义与基本性质定义与基本性质定义与基本性质6 6 对称矩阵的标准形对称矩阵的标准形对称矩阵的标准形对称矩阵的标准形88 酉空间介绍酉空间介绍酉空间介绍酉空间介绍7 7 向量到子空间的向量到子空间的向量到子空间的向量到子空间的 距离最小二乘法 距离最小二乘法 距离最小二乘法 距离最小二乘法小结与习题小结与习题小结与习题小结与习题第九章 欧氏空间第九章 欧氏空间第九章 欧氏空间第九章 欧氏空间5 5 子空间子空间子空间子空间 9.59.5 子空间子空间子空间子空间

2、一、一、一、一、正交子空间正交子空间正交子空间正交子空间 9.5 9.5 子空间子空间子空间子空间二、子空间的正交补二、子空间的正交补二、子空间的正交补二、子空间的正交补 9.59.5 子空间子空间子空间子空间一、一、一、一、欧氏空间中的正交子空间欧氏空间中的正交子空间欧氏空间中的正交子空间欧氏空间中的正交子空间1 1 定义：#定义：#1）与 是欧氏空间与 是欧氏空间 V 中的两个子空间，如果对中的两个子空间，如果对1V2V（,）0,a ba b=则称子空间 与 为则称子空间 与 为正交的正交的，记作，记作2V1V12.VV（,）0,a ba b=则称向量与子空间 正交，记作则称向量与子空间

3、正交，记作a a1.Va a 1V12,VVabab挝挝恒有恒有2）对给定向量 如果对 恒有对给定向量 如果对 恒有,Va a1,Vb b 9.59.5 子空间子空间子空间子空间注：#注：#注：#注：#当且仅当 中每个向量都与 正交当且仅当 中每个向量都与 正交 12VV 1V2V12120.VVVVI I 当 且 时，必有当 且 时，必有 1Va a 1Va a0.a a=（）12（,）00.VVaa aaaa aa=无=无QIQI 9.59.5 子空间子空间子空间子空间证明：#设子空间 两两正交，证明：#设子空间 两两正交，12,sV VVLL2 2 两两正交的子空间的和必是直和两两正交的

4、子空间的和必是直和12,sVVV排排LL要证明要证明中零向量分解式唯一中零向量分解式唯一12sVVV+LL只须证：#只须证：#设 设 120,1,2,siiVisaaaaaaaa+=+=LLLL,ijVV ij QQ12（,0）（,）（,）0iisiiaa aaaa aaa aaaa a=+=+=LL由内积的正定性，可知由内积的正定性，可知 0,1,2,.iisa a=LL 9.59.5 子空间子空间子空间子空间二、二、二、二、子空间的正交补子空间的正交补子空间的正交补子空间的正交补1 1 定义：#定义：#如果欧氏空间如果欧氏空间 V 的子空间 满足并且的子空间 满足并且12,V V12,VV

5、 则称 为 的则称 为 的正交补正交补.2V1V12,VVV+=+=2 2 维欧氏空间维欧氏空间 V 的每个子空间 都有唯一正交补的每个子空间 都有唯一正交补.1Vn证明：#当 时，证明：#当 时，V 就是 的唯一正交就是 的唯一正交补补 10V=1V当 时，也是有限维欧氏空间当 时，也是有限维欧氏空间.1V10V12,me eee eeLL取 的一组正交基取 的一组正交基1V 9.59.5 子空间子空间子空间子空间由定理由定理 1，它可扩充成，它可扩充成 V 的一组正交基的一组正交基121,mmne eeeee eeee+LLLL记子空间记子空间（）12,.mnLVeeee+=LL12.VV

6、V+=+=显然显然,又对又对 1 1221,mmxxxVaeeeaeee=+=+LL112,mmnnxxVbeebee+=+=+LL1111（,）（,）（,）0mnmniijjijijij mij mxxx xa beee ea beee e=+=+=+=+=邋邋邋邋12.VV即 为 的正交补即 为 的正交补.2V1V 9.59.5 子空间子空间子空间子空间再证唯一性再证唯一性.设 是 的正交补，则设 是 的正交补，则23,V V1V1213VVVVV=131,aa aaaa aa1131（,）（,）a aaa aa aaa a=+=+由此可得由此可得10,a a=23.VV对 由上式知对 由

7、上式知 2,Va a 13VVa a闻闻131133,VVaaaaaaaaaa=+挝=+挝即有即有 又又1213,VVVV0=11（,）a aa a=1131（,）（,）a aa aa aa a=+=+从而有从而有3Va a 即有即有 同理可证同理可证32,VV23.VV=唯一性得证唯一性得证.9.59.5 子空间子空间子空间子空间 维欧氏空间维欧氏空间 V 的子空间的子空间 W 满足满足:#n 子空间子空间 W 的正交补记为即 的正交补记为即 .W i）（）WW=ii）dimdimdimWWVn+=+=iii）WWV 注：#注：#注：#注：#）W 的正交补 必是的正交补 必是 W 的余子空间的余子空间.W 但一般地，子空间 W 的余子空间未必是其正交补.WVWaaaa=蝆=蝆 9.59.5 子空间子空间子空间子空间称 为在子空间称 为在子空间 W 上的上的内射影内射影.1aaaa3 3 内射影内射影,VWW=设设 W 是欧氏空间是欧氏空间 V 的子空间，由的子空间，由对 有唯一的使对 有唯一的使12,WWaaaa 挝挝,Va a 12