高等代数北大版课件9.5子空间PPT推荐.ppt

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22标准正交基标准正交基标准正交基标准正交基33同构同构同构同构44正交变换正交变换正交变换正交变换11定义与基本性质定义与基本性质定义与基本性质定义与基本性质66对称矩阵的标准形对称矩阵的标准形对称矩阵的标准形对称矩阵的标准形88酉空间介绍酉空间介绍酉空间介绍酉空间介绍77向量到子空间的向量到子空间的向量到子空间的向量到子空间的距离最小二乘法距离最小二乘法距离最小二乘法距离最小二乘法小结与习题小结与习题小结与习题小结与习题第九章欧氏空间第九章欧氏空间第九章欧氏空间第九章欧氏空间55子空间子空间子空间子空间9.59.5子空间子空间子空间子空间一、一、一、一、正交子空间正交子空间正交子空间正交子空间9.59.5子空间子空间子空间子空间二、子空间的正交补二、子空间的正交补二、子空间的正交补二、子空间的正交补9.59.5子空间子空间子空间子空间一、一、一、一、欧氏空间中的正交子空间欧氏空间中的正交子空间欧氏空间中的正交子空间欧氏空间中的正交子空间11定义：

@#@定义：

@#@1）与是欧氏空间与是欧氏空间V中的两个子空间，如果对中的两个子空间，如果对1V2V（,）0,abab=则称子空间与为则称子空间与为正交的正交的，记作，记作2V1V12.VV（,）0,abab=则称向量与子空间正交，记作则称向量与子空间正交，记作aa1.Vaa1V12,VVabab挝挝恒有恒有2）对给定向量如果对恒有对给定向量如果对恒有,Vaa1,Vbb9.59.5子空间子空间子空间子空间注：

@#@注：

@#@注：

@#@注：

@#@当且仅当中每个向量都与正交当且仅当中每个向量都与正交12VV1V2V12120.VVVVII当且时，必有当且时，必有1Vaa1Vaa0.aa=（）12（,）00.VVaaaaaaaa=无=无QIQI9.59.5子空间子空间子空间子空间证明：

@#@设子空间两两正交，证明：

@#@设子空间两两正交，12,sVVVLL22两两正交的子空间的和必是直和两两正交的子空间的和必是直和12,sVVV排排LL要证明要证明中零向量分解式唯一中零向量分解式唯一12sVVV+LL只须证：

@#@只须证：

@#@设设120,1,2,siiVisaaaaaaaa+=+=LLLL,ijVVijQQ12（,0）（,）（,）0iisiiaaaaaaaaaaaaaa=+=+=LL由内积的正定性，可知由内积的正定性，可知0,1,2,.iisaa=LL9.59.5子空间子空间子空间子空间二、二、二、二、子空间的正交补子空间的正交补子空间的正交补子空间的正交补11定义：

@#@定义：

@#@如果欧氏空间如果欧氏空间V的子空间满足并且的子空间满足并且12,VV12,VV则称为的则称为的正交补正交补.2V1V12,VVV+=+=22维欧氏空间维欧氏空间V的每个子空间都有唯一正交补的每个子空间都有唯一正交补.1Vn证明：

@#@当时，证明：

@#@当时，V就是的唯一正交就是的唯一正交补补10V=1V当时，也是有限维欧氏空间当时，也是有限维欧氏空间.1V10V12,meeeeeeLL取的一组正交基取的一组正交基1V9.59.5子空间子空间子空间子空间由定理由定理1，它可扩充成，它可扩充成V的一组正交基的一组正交基121,mmneeeeeeeeee+LLLL记子空间记子空间（）12,.mnLVeeee+=LL12.VVV+=+=显然显然,又对又对11221,mmxxxVaeeeaeee=+=+LL112,mmnnxxVbeebee+=+=+LL1111（,）（,）（,）0mnmniijjijijijmijmxxxxabeeeeabeeee=+=+=+=+=邋邋邋邋12.VV即为的正交补即为的正交补.2V1V9.59.5子空间子空间子空间子空间再证唯一性再证唯一性.设是的正交补，则设是的正交补，则23,VV1V1213VVVVV=131,aaaaaaaa1131（,）（,）aaaaaaaaaa=+=+由此可得由此可得10,aa=23.VV对由上式知对由上式知2,Vaa13VVaa闻闻131133,VVaaaaaaaaaa=+挝=+挝即有即有又又1213,VVVV0=11（,）aaaa=1131（,）（,）aaaaaaaa=+=+从而有从而有3Vaa即有即有同理可证同理可证32,VV23.VV=唯一性得证唯一性得证.9.59.5子空间子空间子空间子空间维欧氏空间维欧氏空间V的子空间的子空间W满足满足:

@#@n子空间子空间W的正交补记为即的正交补记为即.Wi）（）WW=ii）dimdimdimWWVn+=+=iii）WWV注：

@#@注：

@#@注：

@#@注：

@#@）W的正交补必是的正交补必是W的余子空间的余子空间.W但一般地，子空间W的余子空间未必是其正交补.WVWaaaa=蝆=蝆9.59.5子空间子空间子空间子空间称为在子空间称为在子空间W上的上的内射影内射影.1aaaa33内射影内射影,VWW=设设W是欧氏空间是欧氏空间V的子空间，由的子空间，由对有唯一的使对有唯一的使12,WWaaaa挝挝,Vaa12