函数极值求法及其应用毕业论文文档格式.doc

1、摘 要:函数极值是函数性态的一个重要内容,在许多数学问题中都有应用.为此,本文不仅论述了一元函数和多元函数极值的求法及其应用,而且对泛函极值的求法做了简单的探讨,并给出了相关的应用.关键词: 函数极值; 条件极值; 泛函极值; 应用The Extreme Value Method and Application of FunctionAbstract: The extreme of function is an important content of the function natural form and has a generally application in a lot of m

2、ath problem. For this reason, the paper not only discussed the extreme value method and application of the function and multiple function, but also discussed the extreme value method and application of the function and multiple function, but also taken a simple discussion of functional extreme value

3、 the method, and give the relevant application at the same time.Key words: the extreme value of function, conditional extreme, functional extreme ,Application目 录引言11.一元函数的极值1 1.1一元函数的极值第一充分条件1 1.2一元函数的极值第二充分条件2 1.3一元函数的极值第三充分条件32.多元函数的极值4 2.1二元函数极值4 2.1.1二元函数取极值的充分条件4 2.2 元函数极值5 2.2.1.利用二次型求多元函数极值5

4、2.2.2.利用梯度及内积计算多元函数的极值6 2.2.3利用方向导数判断多元函数的极值7 2.3函数极值的应用（用极值的方法证明不等式）83.条件极值9 3.1条件极值的解法93.2利用条件极值证明不等式124.泛函极值及其应用13 4.1泛函的定义13 4.2相对极值13 4.2.1绝对极值与相对极值的定义13 4.2.2相对极值的必要条件13 4.3 泛函极值的应用15 4.3.1 最小旋转面问题15 4.3.2最速降线问题 15结束语17参考文献18致谢19经济增长：在优化结构、提高效益和降低消耗的基础上，“十一五”期市GDP年均增长12%以上（现14%以上），2010年达到650亿元

5、以上，人均GDP力争1000美元；财政收入达到80亿元；规模以上工业销售达到550亿以上；全社会固定资产投资年均长20%，五年累计1000亿元；社会消费品销售额260亿元，年均增长20%，外贸进口总额2.5亿美元，年均增长15%；五年累计招商引资突破500亿元，力争达到600亿元数学与统计学院2012届毕业论文马富荣（天水师范学院 数学与统计学院 甘肃 天水 ）函数极值是函数性态的一个重要内容,在许多数学问题中都有应用.为此,本文不仅论述了一元函数和多元函数极值的求法及其应用问题,而且对泛函极值的求法做了简单的探讨,并给出了相关的应用. 条件极值; 泛函极值; 应用引言 函数的极值问题是高等数

6、学中的一个重要内容.在导数应用中起着桥梁的作用,也是研究函数变化形态的纽带,在微积分学中占有很重要的地位.在各类大型考试中,极值也是重要的考点,常以该知识点的证明及应用出现.函数极值问题也是培养发散思维与创新性思维的重要手段之一,能有效提高解题和应用能力.鉴于其解法较为灵活、综合性强、能力要求高.故在解决这类问题时,要求掌握很多数学知识,综合应用各种数学技能,灵活选择合理的解题方法.1一元函数的极值定义 设函数在的某领域U（）内有定义.如果对于取心邻域U（）内的任,有或.那么就称是函数的一个极大值或极小值.（将改为,则称为严格极大值或严格极小值）.1.1一元函数的极值第一充分条件设函数在处连续

7、且在的某去心邻域U（）内可导.（1）若（,）时, 0,而（,）时, 0,则在处取极大值.（2）若（,）时, 0,则在处取极小值.（3）若U（,）时,符号保持不变,则在处没有极值.例1. 求=的极值.解 先求导数 再求出驻点:当时,.判断函数的极值如下表所示:x+极大极小无所以在=-2时取极大值,在时取极小值.1.2一元函数的极值第二充分条件设函数在点具有二阶导数,且=0,0.则:（1）当0,函数在点取极小值.（3）当=0,其情形不一定.例2. 求函数的极值.解 由得的驻点为.=,所以在处取得极小值,在处由第二充分条件无法判定,由第一充分条件得:在处都没有极值.1.3一元函数的极值第三充分条件设

8、任意函数在有阶导数,且直到导数都为零,而阶导数不为零.（1）当为偶数时在取极值,当 （）0时取极小值. （2）当为奇数时在点不取得极值.上面给出了求函数极值的3种充分条件,第1充分条件适合于所有的连续函数,第3充分条件也就是第2充分条件的特殊情况,每种求极值的充分条件的方法和步骤都是一样的.总结 一元函数求极值的方法步骤（1）求可疑点,可疑点包括（）稳定点（亦称为驻点或逗留点,皆指一阶导数等于零的点）;（）导数不存在的点;（）区间端点.（2）对可疑点进行判断,其方法是（）直接利用定义判断;（）利用实际背景来判断;（）查看一阶导数的符号,当从左向右穿越可疑点时,若的符号a.由“正”变为“负”,则

9、为严格极大值;b.由“负”变为“正”,则为严格极小值;c.不变号,则不是极值. （）若=0, （）若为偶数,则为极值:若为奇数,则不是极值.2.多元函数的极值2.1 二元函数极值在现实的社会研究中,关系到二元函数极值的问题更为广泛,它与实践联系的更紧密,所以研究二元函数的极值意义是重大的.定义 设函数在点的某邻域内有定义,对于该邻域内异于的点;如果适合不等式则称函数在点有极小值.2.1.1二元函数取极值的充分条件若函数在点的某领域内具有一阶和二阶连续偏导数,且=0,=0.令,则:（1）当时,有极值.且当时取极大值,当时取极小值.（2）当时,没有极值. （3）当时,不能确定.例3. 求的极值.解

10、 设,则,解方程组 得驻点: .对于驻点有,故 .因此 在点取得极小值.对于驻点,有,.故 .因此 在点不取得极值.2.2 元函数极值2.2.1利用二次型求多元函数极值定义 设函数在点有连续的二阶偏导,称矩阵 为函数在点的海瑟矩阵.定理 1 （ 充分条件） 如果函数, E, 在驻点的某邻域U（） 内, 具有Hesse矩阵A, 则（ 1） 若A为正定（或半正定） 矩阵时, 在点取严格极大（或极大） 值;（ 2） 若A为负定（或半负定） 矩阵时, 在点 取极小（或极小） 值;（ 3） 若A为非定号阵, 在点不取极值.求函数 的极值时, 应首先求出驻点或偏导数不存在的点, 然后对所有可能的极值点进行

11、检验, 确定函数的极值点并求出函数极值. 总结 利用二次型求n元函数极值的方法步骤第一步: 求出函数可能的极值点.首先, 求出函数的驻点, 根据极值存在的必要条件, 解方程组 ,方程组的解即为驻点.再考虑一阶偏导数不存在的点.第二步: 对每一个可能的极值点进行检验. 根据极值存在的充分条件, 首先, 计算在点的Hesse矩阵,.再根据定理1判定 是否为极值点并求出极值.例4. 求函数的极值.解 在二阶偏导数连续且可微,先求稳定点,令求得稳定点为 和.二阶偏导数为 ,.在点为正定矩阵,所以在处有极小值;在点为负定矩阵,所以在处有极大值;在点和处,为不定矩阵,所以它们都不是极值点.2.2.2 利用梯度及内积计算多元函数的极值定义 若在点存在对所有自变量的偏导数,则称向量为函数在的梯度,记作.引理1 设在点连续,在内可微,（）若,有,则在点取极大值;（）若,有,则在点取极小值;对于有些多元函数我们也可以利用梯度及内积的方法求极值. 现将上述引理推广到多元函数的情况并举例说明. 定理2 设多元函数在点连续,在内可微, （）,有,则在点取得极大值; （）,则在点取得极小值. 由于极值只可能在稳定点或偏导数至少有一个不存在的