函数极值求法及其应用毕业论文文档格式.doc

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摘要:

函数极值是函数性态的一个重要内容,在许多数学问题中都有应用.为此,本文不仅论述了一元函数和多元函数极值的求法及其应用,而且对泛函极值的求法做了简单的探讨,并给出了相关的应用.

关键词:

函数极值;

条件极值;

泛函极值;

应用

TheExtremeValueMethodandApplicationofFunction

Abstract:

Theextremeoffunctionisanimportantcontentofthefunctionnaturalformandhasagenerallyapplicationinalotofmathproblem.Forthisreason,thepapernotonlydiscussedtheextremevaluemethodandapplicationofthefunctionandmultiplefunction,butalsodiscussedtheextremevaluemethodandapplicationofthefunctionandmultiplefunction,butalsotakenasimplediscussionoffunctionalextremevaluethemethod,andgivetherelevantapplicationatthesametime.

Keywords:

theextremevalueoffunction,conditionalextreme,functionalextreme,

Application

目录

引言 1

1.一元函数的极值 1

1.1一元函数的极值第一充分条件 1

1.2一元函数的极值第二充分条件 2

1.3一元函数的极值第三充分条件 3

2.多元函数的极值 4

2.1二元函数极值 4

2.1.1二元函数取极值的充分条件 4

2.2元函数极值 5

2.2.1.利用二次型求多元函数极值 5

2.2.2.利用梯度及内积计算多元函数的极值 6

2.2.3利用方向导数判断多元函数的极值 7

2.3函数极值的应用（用极值的方法证明不等式） 8

3.条件极值 9

3.1条件极值的解法 9

3.2利用条件极值证明不等式 12

4.泛函极值及其应用 13

4.1泛函的定义 13

4.2相对极值 13

4.2.1绝对极值与相对极值的定义 13

4.2.2相对极值的必要条件 13

4.3泛函极值的应用 15

4.3.1最小旋转面问题 15

4.3.2最速降线问题 15

结束语 17

参考文献 18

致谢 19

经济增长：

在优化结构、提高效益和降低消耗的基础上，“十一五”期市GDP年均增长12%以上（现14%以上），2010年达到650亿元以上，人均GDP力争1000美元；

财政收入达到80亿元；

规模以上工业销售达到550亿以上；

全社会固定资产投资年均长20%，五年累计1000亿元；

社会消费品销售额260亿元，年均增长20%，外贸进口总额2.5亿美元，年均增长15%；

五年累计招商引资突破500亿元，力争达到600亿元

数学与统计学院2012届毕业论文

马富荣

（天水师范学院数学与统计学院甘肃天水）

函数极值是函数性态的一个重要内容,在许多数学问题中都有应用.为此,本文不仅论述了一元函数和多元函数极值的求法及其应用问题,而且对泛函极值的求法做了简单的探讨,并给出了相关的应用.

条件极值;

泛函极值;

应用

引言

函数的极值问题是高等数学中的一个重要内容.在导数应用中起着桥梁的作用,也是研究函数变化形态的纽带,在微积分学中占有很重要的地位.

在各类大型考试中,极值也是重要的考点,常以该知识点的证明及应用出现.函数极值问题也是培养发散思维与创新性思维的重要手段之一,能有效提高解题和应用能力.鉴于其解法较为灵活、综合性强、能力要求高.故在解决这类问题时,要求掌握很多数学知识,综合应用各种数学技能,灵活选择合理的解题方法.

1．一元函数的极值

定义设函数在的某领域U（）内有定义.如果对于取心邻域U（）内的任,有或.那么就称是函数的一个极大值或极小值.（将改为<

或将改为>

则称为严格极大值或严格极小值）.

1.1一元函数的极值第一充分条件

设函数在处连续且在的某去心邻域U（）内可导.

（1）若∈（,）时,>

0,而∈（,）时,<

0,则在处取极大值.

（2）若∈（,）时,<

0,而x∈（,）时,>

0,则在处取极小值.

（3）若∈U（,）时,符号保持不变,则在处没有极值.

例1.求=的极值.

解先求导数

再求出驻点:

当时,.

判断函数的极值如下表所示:

x

+

极大

极小

无

所以在=-2时取极大值,在时取极小值.

1.2一元函数的极值第二充分条件

设函数在点具有二阶导数,且=0,≠0.则:

（1）当<

0,函数在点取极大值.

（2）当>

0,函数在点取极小值.

（3）当=0,其情形不一定.

例2.求函数的极值.

解

由得

的驻点为.=,

所以在处取得极小值,在处由第二充分条件无法判定,

由第一充分条件得:

在处都没有极值.

1.3一元函数的极值第三充分条件

设任意函数在有阶导数,且直到导数都为零,而阶导数不为零.

（1）当为偶数时在取极值,当（）<

0时取极大值,（）>

0时取极小值.

（2）当为奇数时在点不取得极值.

上面给出了求函数极值的3种充分条件,第1充分条件适合于所有的连续函数,第3充分条件也就是第2充分条件的特殊情况,每种求极值的充分条件的方法和步骤都是一样的.

总结一元函数求极值的方法步骤

（1）求可疑点,可疑点包括

（ⅰ）稳定点（亦称为驻点或逗留点,皆指一阶导数等于零的点）;

（ⅱ）导数不存在的点;

（ⅲ）区间端点.

（2）对可疑点进行判断,其方法是

（ⅰ）直接利用定义判断;

（ⅱ）利用实际背景来判断;

（ⅲ）查看一阶导数的符号,当从左向右穿越可疑点时,若的符号

a.由“正”变为“负”,则为严格极大值;

b.由“负”变为“正”,则为严格极小值;

c.不变号,则不是极值.

（ⅳ）若=0,

（ⅴ）…

若为偶数,则为极值:

若为奇数,则不是极值.

2.多元函数的极值

2.1二元函数极值

在现实的社会研究中,关系到二元函数极值的问题更为广泛,它与实践联系的更紧密,所以研究二元函数的极值意义是重大的.

定义设函数在点的某邻域内有定义,对于该邻域内异于的点;

如果适合不等式<

则称函数在点有极大值;

如果都适合不等式>

则称函数在点有极小值.

2.1.1二元函数取极值的充分条件

若函数在点的某领域内具有一阶和二阶连续偏导数,且=0,=0.令,,则:

（1）当时,有极值.且当时取极大值,当时取极小值.

（2）当时,没有极值.

（3）当时,不能确定.

例3.求的极值.

解设,则

,,,

解方程组得驻点:

.

对于驻点有

,,

故.

因此在点取得极小值.

对于驻点,有,,.

故.

因此在点不取得极值.

2.2元函数极值

2.2.1利用二次型求多元函数极值

定义设函数在点有连续的二阶偏导,称矩阵

为函数在点的海瑟矩阵.

定理1（充分条件）如果函数,E,在驻点的某邻域U（）内,具有Hesse矩阵A,则

（1）若A为正定（或半正定）矩阵时,在点取严格极大（或极大）值;

（2）若A为负定（或半负定）矩阵时,在点取极小（或极小）值;

（3）若A为非定号阵,在点不取极值.

求函数的极值时,应首先求出驻点或偏导数不存在的点,然后对所有可能的极值点进行检验,确定函数的极值点并求出函数极值.

总结利用二次型求n元函数极值的方法步骤

第一步:

求出函数可能的极值点.

首先,求出函数的驻点,根据极值存在的必要条件,解方程组,方程组的解即为驻点.

再考虑一阶偏导数不存在的点.

第二步:

对每一个可能的极值点进行检验.根据极值存在的充分条件,首先,计算在点的Hesse矩阵,

.再根据定理1判定是否为极值点并求出极值.

例4.求函数的极值.

解在二阶偏导数连续且可微,先求稳定点,

令

求得稳定点为和.

二阶偏导数为,.

①在点为正定矩阵,所以在处有极小值;

②在点为负定矩阵,所以在处有极大值;

③在点和处,为不定矩阵,所以它们都不是极值点.

2.2.2利用梯度及内积计算多元函数的极值

定义若在点存在对所有自变量的偏导数,则称向量为函数在的梯度,记作.

引理1设在点连续,在内可微,

（ⅰ）若,有,则在点取极大值;

（ⅱ）若,有,则在点取极小值;

对于有些多元函数我们也可以利用梯度及内积的方法求极值.现将上述引理推广到多元函数的情况并举例说明.

定理2设多元函数在点连续,在内可微,

（ⅰ）,有,则在点取得极大值;

（ⅱ）,,则在点取得极小值.

由于极值只可能在稳定点或偏导数至少有一个不存在的